Esercizi equazioni cartesiane e parametriche della retta nello spazio

Pronti per cimentarvi con gli esercizi sulle equazioni della retta nello spazio? Tutti gli esercizi elencati in questa pagina sono svolti minuziosamente, con tutti i calcoli e le osservazioni necessarie per arrivare alla soluzione.

 

Le tracce proposte qui di seguito coinvolgono le varie rappresentazioni delle rette nello spazio, oltre alle tecniche per passare da una rappresentazione all'altra. Per un ripasso delle definizioni e delle formule, con esempi svolti e i metodi pratici di risoluzione degli esercizi, potete leggere le lezioni correlate:

 

- equazioni parametriche della retta nello spazio

 

- equazioni cartesiane della retta nello spazio

 

- dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane della retta nello spazio

 

- dalle equazioni cartesiane alle equazioni parametriche della retta nello spazio

 

Una volta che avrete finito con questa scheda vi suggeriamo di passare agli esercizi sulla direzione della retta nello spazio.

 

Esercizi risolti sulle equazioni della retta nello spazio

 

 

Esercizi sulle equazioni parametriche della retta nello spazio

 

I) Trovare le equazioni parametriche della retta dello spazio passante per il punto P(1,-1,2) e parallela al vettore \mathbf{v}=(2,0,4).

 

II) Fissato un riferimento cartesiano ortonormale RC (O,x,y,z), determinare l'equazione parametrica della retta r passante per i punti A=(1,0,1) \ \mbox{e} \ B=(0,2,2)

 

Determinare inoltre le coordinate del punto P\in r la cui ascissa vale x_{P}=3.

 

III) Scrivere una rappresentazione parametrica della retta r, passante per l'origine del sistema di riferimento cartesiano RC(O,x,y,z) e perpendicolare al vettore \mathbf{n}=(2,-1,0).

 

IV) Siano dati il punto P_{0}(1,2,1) e il vettore \mathbf{v}=(-3,4,1). Determinare le equazioni parametriche della retta r passante per P_{0} e parallela a \mathbf{v}.

 

Stabilire inoltre quali dei seguenti punti appartengono alla retta.

 

A(0,1,0) \ \ \ ,\ \ \ B(4,-2,0)

 

V) Sia P_{0}(1,0,1) un punto dello spazio su cui è stato definito il sistema di riferimento ortogonale RC(O,x,y,z) e sia dato il vettore \mathbf{v}=(1,1,2).

 

(a) Scrivere una rappresentazione parametrica della retta r, passante per P_{0} e parallela a \mathbf{v}.

 

(b) Per quali valori dei parametri h,k\in\mathbb{R} il punto P=(2h+k,k,k) appartiene alla retta?

 

 

Esercizi sulle equazioni cartesiane della retta nello spazio

 

VI) Scrivere le equazioni cartesiane della retta r sapendo che passa per il punto P_{0}(1,1,2) e che è parallela al vettore \mathbf{v}=(1,1,1).

 

VII) Trovare le equazioni cartesiane della retta r sapendo che passa per i punti A(1,1,3) e B(2,1,1).

 

VIII) Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio euclideo tridimensionale, assegnati i punti P(-1,2,-1) e Q(1,4,-1), determinare una rappresentazione cartesiana della retta r passante per P\ \mbox{e}\ Q.

 

IX) Determinare una rappresentazione cartesiana della retta r passante per il punto P_{0}(1,3,1) e perpendicolare al vettore \mathbf{n}=(1,-2,1).

 

X) Scrivere le rappresentazioni cartesiane delle rette r,s,q che sottostano alle seguente condizioni:

 

(a) r passa per P_{r}(-1,-1,-1) ed è parallela al vettore \mathbf{v}_{r}=(0,1,0);

 

(b) s passa per P_{s}(0,0,0) ed è parallela al vettore \mathbf{v}_{s}=(1,0,0);

 

(c) q passa per P_{q}(1,1,1) ed è parallela al vettore \mathbf{v}_{q}=(0,0,1).

 

XI) Stabilire se è vero che il seguente sistema parametrico individua una retta per ogni parametro reale c, giustificando la risposta.

 

\begin{cases}x+2y+(1-c)z-2=0 \\ x+2y-z-1=0\end{cases}

 

 

Esercizi - Passaggio dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane della retta nello spazio

 

XII) Scrivere le equazioni cartesiane della retta r a partire dalle sue equazioni parametriche

 

r:\ \begin{cases}x=2t\\ y=-1-t\\ z=1\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

XIII) Scrivere le equazioni parametriche e le equazioni cartesiane della retta r passante per P(1,-1,0) e parallela a \mathbf{v}=(2,0,1).

 

XIV) Scrivere le equazioni cartesiane della retta r di equazioni parametriche:

 

r:\ \begin{cases}x=4 \\ y=12\\ z=t-2\end{cases} \ \ \ \mbox{con}\ t\in\mathbb{R}

 

XV) Scrivere le equazioni parametriche della retta r passante per il punto medio del segmento di A(3,1,4) e B(1,3,2) e parallela al vettore \mathbf{v}=(-1,2,-2). Determinare inoltre una rappresentazione cartesiana di r a partire da quella parametrica.

 

XVI) Sia r la retta di equazioni parametriche

 

\begin{cases}x=1+at\\ y=1-(a-1)t\\ z=(a-3)t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

 

in cui a è un parametro reale. Ricavare al variare di a una possibile rappresentazione cartesiana di r.

 

 

Esercizi - Dalla forma cartesiana alla forma parametrica della retta nello spazio

 

XVII) Scrivere una possibile rappresentazione parametrica della retta r di equazioni cartesiane

 

r:\ \begin{cases}2x-y+z-1=0\\ x-y+3z-4=0\end{cases}

 

 

XVIII) Scrivere una rappresentazione parametrica della retta r di equazioni cartesiane:

 

r: \begin{cases}x+y+z=5\\2x-y+3z=2\end{cases}

 

XIX) Scrive un'equazione parametrica della retta ottenuta dall'intersezione dei piani di equazioni

 

\\ \pi_1:\ x+y-z=0\\ \\ \pi_2:\ x+y-3z=0

 

XX) Date le rette r,s di equazioni cartesiane

 

\\ r: \ x=y=0 \\ \\ s:\ x-z+2=y-z+3=0

 

scrivere le rispettive rappresentazioni parametriche.

 

XXI) Determinare i valori del parametro reale a affinché i piani \pi_1,\pi_2 di equazioni:

 

\\ \pi_1:\ x+(2a-1)y-z-1=0 \\ \\ \pi_{2}:\ x+(2-a)y-z=2

 

si intersechino in una retta. Detta r tale retta, scrivere una sua rappresentazione parametrica.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Retta per un punto e parallela a un vettore 

 

II) Trovare il punto di una retta nello spazio

 

III) Retta nello spazio per un punto e perpendicolare a un vettore

 

IV) Retta in forma parametrica per un punto e parallela a un vettore

 

V) Esercizio retta nello spazio parallela a un vettore e punto con parametro

 

VI) Retta nello spazio per un punto e parallela a un vettore in forma cartesiana

 

VII) Retta nello spazio passante per due punti in forma cartesiana

 

VIII) Esercizio: retta per due punti nello spazio

 

IX) Retta nello spazio perpendicolare a un vettore in forma cartesiana

 

X) Esercizio su rette nello spazio parallele a dei vettori

 

XI) Stabilire se due equazioni con un parametro definiscono una retta nello spazio

 

XII) Ricavare le equazioni cartesiane di una retta nello spazio dalle equazioni parametriche 

 

XIII) Esercizio su equazioni cartesiane e parametriche di una retta nello spazio

 

XIV) Esercizio sul passaggio da forma parametrica a forma cartesiana di una retta nello spazio

 

XV) Retta nello spazio per il punto medio di un segmento e parallela a un vettore

 

XVI) Retta in forma parametrica con parametro e forma cartesiana

 

XVII) Esercizio: retta nello spazio da forma cartesiana a forma parametrica

 

XVIII) Retta nello spazio dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane

 

XIX) Equazione parametrica vettoriale di una retta data in forma cartesiana

 

XX) Rappresentazioni parametriche di due rette nello spazio in forma cartesiana

 

XXI) Forma parametrica di una retta nello spazio da equazioni cartesiane con parametro

 

 

Lezione correlata.....Lezione correlata

 
 

Tags: scheda di esercizi svolti sulle equazioni parametriche e sulle equazioni cartesiane della retta nello spazio - esercizi risolti sul passaggio dalla forma cartesiana alla forma parametrica della retta nello spazio.