Esercizi su piani paralleli e piani coincidenti

State consultando la scheda di esercizi sul parallelismo tra piani. Gli esercizi elencati in questa pagina sono tutti svolti passaggio per passaggio e riguardano lo studio delle posizioni reciproche tra due piani nello spazio, con un occhio di riguardo al caso di piani paralleli esterni e di piani paralleli coincidenti.

 

Per affrontare le tracce al meglio è importante saper lavorare con le varie rappresentazioni dei piani tramite equazioni, e tenere a mente la nozione di vettore direttore di un piano.

 

A questo proposito, prima di cominciare, potete:

 

- cimentarvi con gli esercizi sulle equazioni del piano e con gli esercizi sui coefficienti direttori del piano;

 

- ripassare la teoria leggendo la lezione sul parallelismo tra piani.

 

Esercizi risolti sul parallelismo tra piani

 

I) Stabilire se le seguenti equazioni cartesiane individuano una coppia di piani paralleli e, in caso affermativo, dire se sono coincidenti o meno.

 

\\ \pi_1:\ 3x-2y+5z+1=0 \\ \\ \pi_2:\ 6x-4y+10z+4=0

 

II) Dati i piani \pi_1, \pi_2 di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1:\  x+2y-3z-1=0 \\ \\ \pi_2:\ -4x-8y+12z-3=0\end{cases}

 

stabilire se sono paralleli studiando il sistema lineare composto dalle due relazioni.

 

III) Mostrare che i piani \pi_1,\pi_2 di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1:\ 2x-3y+z-1=0 \\ \\ \pi_2:\ 2x-3y+2z-3=0

 

non sono paralleli, giustificando adeguatamente i passaggi.

 

IV) Utilizzare la teoria sui sistemi lineari per mostrare che i piani \pi_1, \pi_2 di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1:\ x+2y+3z-1=0\\ \\ \pi_2:\ -2x-4y-6z+2=0

 

sono paralleli coincidenti.

 

V) Dati i piani \pi_1, \pi_2 di equazioni parametriche

 

\\ \pi_{1}:\ \begin{cases}x=1+s+t\\ y=s-t\\ z=1+2t\end{cases} \\  \\ \\ \pi_2:\ \begin{cases}x=3+3s\\ y=1-s+2t\\ z=4s-2t\end{cases}

 

al variare di s,t\in\mathbb{R}.

 

(a) Trovare le loro rappresentazioni cartesiane.

 

(b) Stabilire se i due piani sono paralleli, specificando, in caso affermativo, se sono distinti o coincidenti.

 

VI) Verificare che i piani \pi_1,\pi_2 individuati dalle equazioni parametriche

 

\\ \pi_1:\ \begin{cases}x=1+s+t\\ y=-1+2t\\ z=s\end{cases} \\ \\ \\ \pi_2: \ \begin{cases}x=2+t\\ y=-1-2s+2t\\ z=1+s\end{cases}

 

con s,t\in\mathbb{R}, sono paralleli o meno. Stabilire, inoltre, se sono coincidenti o distinti.

 

VII) Stabilire se i piani \pi_1,\pi_2 definiti dalle equazioni:

 

\\ \pi_1:\ x+4y+z-1=0 \\ \\ \pi_2:\ \begin{cases}x=1+s-t\\ y=1+s+t\\ z=5-5s-3t\end{cases} \ \ \ \mbox{con}\ s,t\in\mathbb{R}

 

sono paralleli o meno.

 

VIII) Scrivere l'equazione del piano \pi_1 passante per il punto P(3,1,1) e parallelo al piano \pi_2 di equazione

 

\pi_2:\ 2x+y-z+3=0

 

IX) Trovare le equazioni parametriche del piano \pi_1 parallelo al piano \pi_2 di equazioni parametriche

 

\pi_2:\ \begin{cases}x=1+5s-t\\ y=2+s-3t\\ z=1-s-3t\end{cases}

 

e passante per l'origine degli assi.

 

X) Determinare il valore del parametro reale k affinché i piani \pi_1, \pi_2 di equazioni cartesiane

 

\\ \pi_1:\ kx+(k^2-k)y+(2k-1)z-k+5=0\\ \\ \pi_2:\ 2x+2y+3z+3=0

 

siano paralleli.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Stabilire se due piani sono paralleli dalle equazioni cartesiane 

 

II) Studiare la posizione di due piani con le equazioni cartesiane

 

III) Dimostrare che due piani in forma cartesiana non sono paralleli

 

IV) Dimostrare che due piani paralleli sono coincidenti dalle equazioni cartesiane

 

V) Posizione reciproca di due piani dalle equazioni parametriche

 

VI) Studiare la posizione di due piani in forma parametrica

 

VII) Posizione di due piani in forma parametrica e cartesiana

 

VIII) Trovare il piano passante per un punto e parallelo a un altro piano

 

IX) Equazioni parametriche di un piano parallelo a un altro piano

 

X) Posizione reciproca di due piani dipendenti da un parametro

 

 

Lezione correlata

 
 

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