Esercizi su piani paralleli e piani coincidenti

State consultando la scheda di esercizi sul parallelismo tra piani. Gli esercizi elencati in questa pagina sono tutti svolti passaggio per passaggio e riguardano lo studio delle posizioni reciproche tra due piani nello spazio, con un occhio di riguardo al caso di piani paralleli esterni e di piani paralleli coincidenti.

Per affrontare le tracce al meglio è importante saper lavorare con le varie rappresentazioni dei piani tramite equazioni, e tenere a mente la nozione di vettore direttore di un piano.

A questo proposito, prima di cominciare, potete:

- cimentarvi con gli esercizi sulle equazioni del piano e con gli esercizi sui coefficienti direttori del piano;

- ripassare la teoria leggendo la lezione sul parallelismo tra piani.

Esercizi risolti sul parallelismo tra piani

I) Stabilire se le seguenti equazioni cartesiane individuano una coppia di piani paralleli e, in caso affermativo, dire se sono coincidenti o meno.

π_1: 3x−2y+5z+1 = 0 ; π_2: 6x−4y+10z+4 = 0

II) Dati i piani di equazioni cartesiane

π_1: x+2y−3z−1 = 0 ; π_2: −4x−8y+12z−3 = 0 endcases

stabilire se sono paralleli studiando il sistema lineare composto dalle due relazioni.

III) Mostrare che i piani di equazioni cartesiane

π_1: 2x−3y+z−1 = 0 ; π_2: 2x−3y+2z−3 = 0

non sono paralleli, giustificando adeguatamente i passaggi.

IV) Utilizzare la teoria sui sistemi lineari per mostrare che i piani di equazioni cartesiane

π_1: x+2y+3z−1 = 0 ; π_2: −2x−4y−6z+2 = 0

sono paralleli coincidenti.

V) Dati i piani di equazioni parametriche

π_(1): x = 1+s+t ; y = s−t ; z = 1+2t ; ; π_2: x = 3+3s ; y = 1−s+2t ; z = 4s−2t

al variare di

(a) Trovare le loro rappresentazioni cartesiane.

(b) Stabilire se i due piani sono paralleli, specificando, in caso affermativo, se sono distinti o coincidenti.

VI) Verificare che i piani individuati dalle equazioni parametriche

π_1: x = 1+s+t ; y = −1+2t ; z = s ; π_2: x = 2+t ; y = −1−2s+2t ; z = 1+s

con , sono paralleli o meno. Stabilire, inoltre, se sono coincidenti o distinti.

VII) Stabilire se i piani definiti dalle equazioni:

π_1: x+4y+z−1 = 0 ; π_2: x = 1+s−t ; y = 1+s+t ; z = 5−5s−3t con s,t∈R

sono paralleli o meno.

VIII) Scrivere l'equazione del piano passante per il punto e parallelo al piano di equazione

IX) Trovare le equazioni parametriche del piano parallelo al piano di equazioni parametriche

π_2: x = 1+5s−t ; y = 2+s−3t ; z = 1−s−3t

e passante per l'origine degli assi.

X) Determinare il valore del parametro reale affinché i piani di equazioni cartesiane

π_1: kx+(k^2−k)y+(2k−1)z−k+5 = 0 ; π_2: 2x+2y+3z+3 = 0

siano paralleli.

Svolgimenti e soluzioni

I) Stabilire se due piani sono paralleli dalle equazioni cartesiane

II) Studiare la posizione di due piani con le equazioni cartesiane

III) Dimostrare che due piani in forma cartesiana non sono paralleli

IV) Dimostrare che due piani paralleli sono coincidenti dalle equazioni cartesiane

V) Posizione reciproca di due piani dalle equazioni parametriche

VI) Studiare la posizione di due piani in forma parametrica

VII) Posizione di due piani in forma parametrica e cartesiana

VIII) Trovare il piano passante per un punto e parallelo a un altro piano

IX) Equazioni parametriche di un piano parallelo a un altro piano

X) Posizione reciproca di due piani dipendenti da un parametro

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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Ultima modifica: 16/05/2023