Esercizi sui coefficienti direttori del piano

Benvenuti nella scheda di esercizi sui parametri direttori del piano nello spazio. Tutti gli esercizi proposti in questa pagina sono svolti e spiegati nel dettaglio, con tutti i calcoli e le osservazioni del caso, e sono elencati per livelli di difficoltà crescenti.

 

Le tracce che seguono sono incentrate sul concetto di vettore direttore di un piano, detto anche vettore dei parametri direttori del piano o vettore dei coefficienti direttori del piano.

 

Ci concentriamo in particolare sugli utilizzi pratici di tale nozione: chi ha già letto la lezione correlata saprà infatti che il vettore direttore di un piano è di grande aiuto nella scrittura delle sue equazioni, come pure nello studio della posizione reciproca tra piani nello spazio.

 

Se non lo avete già fatto, vi consigliamo eventualmente di fermarvi e di ripartire dagli esercizi sulle equazioni del piano. Quando avrete finito qui, invece, potrete passare alla scheda di esercizi sul parallelismo tra piani. ;)

 

Esercizi risolti sui coefficienti direttori del piano

 

I) Scrivere il vettore dei coefficienti direttori del piano \pi avente equazione cartesiana

 

\pi: \ -x+3y-2z+1=0

 

II) Date le equazioni parametriche del piano \pi

 

\pi:\  \begin{cases}x=1+2s+t\\ y=-3+s+3t\\ z=1+s-2t\end{cases}\ \ \ \mbox{con}\ s,t\in\mathbb{R}

 

(a) Esplicitare i vettori di giacitura \mathbf{v}\ \mbox{e} \ \mathbf{w} associate alla rappresentazione.

 

(b) Calcolare il vettore dei coefficienti direttori del piano moltiplicando vettorialmente \mathbf{v}\ \mbox{e} \ \mathbf{w}.

 

 

III) Scrivere l'equazione cartesiana del piano \pi a partire dalla sua rappresentazione parametrica:

 

\pi:\ \begin{cases}x=1+s+2t\\ y=3+s-t\\ z=1-s-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

 

e ricavare in seguito il vettore dei coefficienti direttori di \pi associato.

 

IV) Scrivere l'equazione cartesiana del piano \pi passante per l'origine e sapendo che il suo vettore dei parametri direttori è \mathbf{n}=(3,-1,-1).

 

V) Calcolare il vettore dei coefficienti direttori di un piano sapendo che

 

\mathbf{v}=(1,2,1)\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \mathbf{w}=(3,1,0)

 

sono due suoi vettori di giacitura.

 

VI) Determinare l'equazione cartesiana del piano \pi ortogonale al vettore \mathbf{n}=(3,0,1) e passante per il punto P_{0}(1,1,0).

 

VII) Determinare le equazioni parametriche del piano \pi che passa per il punto P_{0}(3,1,1) e con vettore dei parametri direttori \mathbf{n}=(-2,1,-1).

 

VIII) Trovare le equazioni in forma cartesiana e in forma parametrica del piano \pi passante per P_{0}(5,1,0) e ortogonale al vettore di estremi A(0,1,0) e B(1,2,1), orientato da A a B.

 

IX) Determinare i valori di \alpha\in\mathbb{R} affinché il seguente sistema

 

\begin{cases}x=2+(2\alpha-4)s+t\\ y=3+(6\alpha-12)s+3t\\ z=-1+(4\alpha-8)s+3t\end{cases}

 

sia effettivamente una rappresentazione parametrica di un piano \pi, dopodiché si calcolino i coefficienti direttori associati alla rappresentazione scelta.

 

X) Determinare i valori dei parametri \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tali che

 

(\alpha+\beta-\gamma-1)x+(2\alpha-\beta+1)y+(3\alpha-2\gamma-3)z+1=0

 

individui l'equazione cartesiana di un piano avente coefficienti direttori a=3,b=2,c=0.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Vettore dei coefficienti direttori di un piano dall'equazione cartesiana 

 

II) Coefficienti direttori di un piano dalle equazioni parametriche

 

III) Parametri direttori di un piano e equazione cartesiana dalla forma parametrica

 

IV) Equazione cartesiana del piano noti i coefficienti direttori e un punto

 

V) Calcolo del vettore dei coefficienti direttori dai vettori di giacitura

 

VI) Equazione cartesiana del piano con punto e vettore ortogonale

 

VII) Equazioni parametriche del piano con punto di passaggio e vettore direttore

 

VIII) Forma cartesiana e parametrica di un piano, vettore ortogonale con estremi

 

IX) Piano parametrico e vettore direttore della rappresentazione

 

X) Equazione cartesiana di un piano con 3 parametri e vettore direttore

 

 

Lezione correlata

 
 

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