Esercizi sui coefficienti direttori del piano

Benvenuti nella scheda di esercizi sui parametri direttori del piano nello spazio. Tutti gli esercizi proposti in questa pagina sono svolti e spiegati nel dettaglio, con tutti i calcoli e le osservazioni del caso, e sono elencati per livelli di difficoltà crescenti.

Le tracce che seguono sono incentrate sul concetto di vettore direttore di un piano, detto anche vettore dei parametri direttori del piano o vettore dei coefficienti direttori del piano.

Ci concentriamo in particolare sugli utilizzi pratici di tale nozione: chi ha già letto la lezione correlata saprà infatti che il vettore direttore di un piano è di grande aiuto nella scrittura delle sue equazioni, come pure nello studio della posizione reciproca tra piani nello spazio.

Se non lo avete già fatto, vi consigliamo eventualmente di fermarvi e di ripartire dagli esercizi sulle equazioni del piano. Quando avrete finito qui, invece, potrete passare alla scheda di esercizi sul parallelismo tra piani. ;)

Esercizi risolti sui coefficienti direttori del piano

I) Scrivere il vettore dei coefficienti direttori del piano avente equazione cartesiana

II) Date le equazioni parametriche del piano

(a) Esplicitare i vettori di giacitura associate alla rappresentazione.

(b) Calcolare il vettore dei coefficienti direttori del piano moltiplicando vettorialmente .

III) Scrivere l'equazione cartesiana del piano a partire dalla sua rappresentazione parametrica:

e ricavare in seguito il vettore dei coefficienti direttori di associato.

IV) Scrivere l'equazione cartesiana del piano passante per l'origine e sapendo che il suo vettore dei parametri direttori è .

V) Calcolare il vettore dei coefficienti direttori di un piano sapendo che

sono due suoi vettori di giacitura.

VI) Determinare l'equazione cartesiana del piano ortogonale al vettore e passante per il punto .

VII) Determinare le equazioni parametriche del piano che passa per il punto e con vettore dei parametri direttori .

VIII) Trovare le equazioni in forma cartesiana e in forma parametrica del piano passante per e ortogonale al vettore di estremi e , orientato da a .

IX) Determinare i valori di affinché il seguente sistema

sia effettivamente una rappresentazione parametrica di un piano , dopodiché si calcolino i coefficienti direttori associati alla rappresentazione scelta.

X) Determinare i valori dei parametri tali che

individui l'equazione cartesiana di un piano avente coefficienti direttori .

Svolgimenti e soluzioni

I) Vettore dei coefficienti direttori di un piano dall'equazione cartesiana 

II) Coefficienti direttori di un piano dalle equazioni parametriche

III) Parametri direttori di un piano e equazione cartesiana dalla forma parametrica

IV) Equazione cartesiana del piano noti i coefficienti direttori e un punto

V) Calcolo del vettore dei coefficienti direttori dai vettori di giacitura

VI) Equazione cartesiana del piano con punto e vettore ortogonale

VII) Equazioni parametriche del piano con punto di passaggio e vettore direttore

VIII) Forma cartesiana e parametrica di un piano, vettore ortogonale con estremi

IX) Piano parametrico e vettore direttore della rappresentazione

X) Equazione cartesiana di un piano con 3 parametri e vettore direttore

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