Esercizi su equazioni parametriche e cartesiana del piano

State leggendo la scheda di esercizi su equazioni parametriche ed equazioni cartesiane del piano nello spazio. Gli esercizi in elenco sono interamente risolti, commentati in ogni singolo passaggio e sono proposti in ordine di difficoltà crescente.

 

Per affrontare al meglio gli esercizi svolti sulle equazioni del piano nello spazio raccomandiamo di leggere, e possibilmente digerire, le seguenti lezioni ;)

 

- equazione cartesiana del piano

 

- equazioni parametriche del piano

 

- dalla forma cartesiana di un piano alla parametrica

 

- dalla forma parametrica di un piano alla cartesiana

 

Buon allenamento! Una volta che avrete finito, non perdetevi la scheda di esercizi sui coefficienti direttori del piano. :)

 

Esercizi risolti su equazioni parametriche e cartesiana del piano

 

I) Considerati i vettori

 

\mathbf{v}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \ \ \ ,\ \ \ \mathbf{w}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}

 

determinare l'equazione parametrica del piano \alpha generato da essi e passante per il punto P_0=(1,0,1)

 

II) Determinare le equazioni parametriche del piano \pi passante per il punto P_{0}(0,1,1) e parallelo ai vettori

 

\mathbf{v}=(2,1,1)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \mathbf{w}=(1,3,1)

 

III) Dati i punti

 

A(1,1,0), \ B(1,2,0),\ C(2,1,1)

 

(a) Verificare che A,B,C non sono allineati.

 

(b) Determinare le equazioni parametriche del piano \pi passante per i tre punti, specificando i vettori di giacitura utilizzati.

 

IV) In un sistema di riferimento cartesiano RC (O,x,y,z), sono dati i vettori

 

\mathbf{v}=(1,1,2) \ \ \ , \ \ \ \mathbf{w}=(1,1,1)

 

(a) Determinare le equazioni parametriche del piano \pi passante per l'origine e avente \mathbf{v}\ \mbox{e} \ \mathbf{w} come vettori di giacitura;

 

(b) Stabilire se i seguenti punti appartengono al piano

 

A(3,3,5) \ \ \ , \ \ \ B(0,0,-1) \ \ \ , \ \ \ C(1,0,0)

 

V) Scrivere le equazioni parametriche del piano \pi ortogonale al vettore \mathbf{n}=(1,0,1) e passante per il punto P_{0}(1,2,0).

 

VI) Dati i vettori

 

\mathbf{v}=(\alpha^2,\alpha,\alpha-1) \ \ \ , \ \ \ \mathbf{w}=(1,1,0)

 

(a) Calcolare gli eventuali valori di \alpha\in\mathbb{R} per i quali \mathbf{v},\mathbf{w} siano i vettori di giacitura di un piano.

 

(b) Scrivere le equazioni parametriche del piano \pi passante per il punto P_{0}(1,2,1) e parallelo ai vettori \mathbf{v},\mathbf{w}.

 

(c) Determinare il valore di \alpha affinché il punto Q(\alpha,1,1) appartenga a \pi.

 

VII) Scrivere l'equazione del piano \alpha passante per i punti:

 

A(1,0,0),\ B(1,0,1), \ C(0,1,1)

 

VIII) Siano dati i punti

 

A=(3,7,8),\ B=(1,0-1),\ C=(1,2,3)

 

(a) Verificare che A,B,C non sono allineati.

 

(b) Determinare l'equazione cartesiana del piano passante per i tre punti.

 

IX) Rappresentare in forma cartesiana il piano \alpha che contiene i punti

 

A=(0,1,3), \ B=(1,0,0), \ C=(1,2,4)

 

X) Scrivere l'equazione cartesiana del piano \pi passante per i punti

 

A(2,3,0),\ B(-3,2,-1),\ C(4,6,2)

 

dopo aver calcolato un vettore ortogonale a \pi.

 

XI) Determinare i valori dei parametri \alpha,\beta\in\mathbb{R} per i quali il piano \pi di equazione cartesiana

 

(\alpha+\beta)x+(\alpha-2\beta)y-(\alpha-\beta-1)z+1+2\alpha-2\beta=0

 

contenga il punto A(1,1,0) e passi per l'origine.

 

XII) Ricavare le rappresentazioni cartesiane dei piani a partire dalle rispettive equazioni parametriche.

 

\\ (a) \ \ \ \pi_1:\ \begin{cases}x=3\\ y=5s+t\\ z=2+t\end{cases}\\ \\ \\ (b)\ \ \ \pi_2: \ \begin{cases}x=1+t\\ y=1+s\\ z=1+s+t\end{cases}\\ \\ \\ (c) \ \ \ \pi_3:\ \begin{cases}x=1+s+t\\ y=2+s+2t\\ z=1+4s+2t\end{cases}

 

con s,t\in\mathbb{R}.

 

XIII) Scrivere l'equazione parametrica del piano \pi passante per l'origine e con vettori di giacitura

 

\mathbf{v}=(1,1,0)\ \ \ ,\ \ \ \mathbf{w}=(0,0,1)

 

Scrivere l'equazione cartesiana a partire dalla rappresentazione parametrica ottenuta.

 

XIV) Scrivere l'equazione parametrica del piano \pi passante per i punti non allineati

 

A(0,1,2), \ B(0,1,4), \ C(0,2,4)

 

Dedurre la rappresentazione cartesiana a partire dalla equazione parametrica.

 

XV) Determinare le equazioni parametriche del piano \pi passante per P_{0}(0,0,1) e ortogonale al vettore \mathbf{n}=(1,1,1). Ricavare l'equazione cartesiana di \pi a partire dalla sua rappresentazione parametrica.

 

XVI) Stabilire i valori del parametro reale a affinché le relazioni

 

\begin{cases}x=1+s+(a-1)t\\ y=2+as+2t\\ z=1+(a-2)s\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

 

costituiscano la rappresentazione parametrica di un piano nello spazio. Scrivere l'equazione cartesiana associata a partire dalle equazioni parametriche.

 

XVII) Trovare la forma parametrica del piano di equazione cartesiana

 

\pi : \ x-5y+z=0

 

XVIII) Scrivere le equazioni parametriche dei piani \pi_1,\,\pi_2,\,\pi_3 partendo dalle rispettive equazioni cartesiane.

 

\\ (a) \ \ \ \pi_1 :\ 2y-4=0\\ \\ (b) \ \ \ \pi_2:\ x+2y-1=0 \\ \\ (c) \ \ \ \pi_3:\ 2x-y+z-1=0

 

XIX) Scrivere le equazioni in forma cartesiana e in forma parametrica del piano \pi ortogonale al vettore \mathbf{n}=(1,2,1) e passante per l'origine degli assi.

 

XX) Dati i punti A(2-\alpha,\alpha,\alpha), \ B(1,\alpha,\alpha),\ C(1,0,0) con \alpha parametro reale.

 

(a) Calcolare i valori di \alpha\in\mathbb{R} per cui A,B,C non sono allineati.

 

(b) Scrivere l'equazione cartesiana del piano \pi passante per i tre punti.

 

(c) Determinare le equazioni parametriche del piano a partire dalla sua rappresentazione cartesiana.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Equazione del piano nello spazio dati due vettori

 

II) Equazioni parametriche di un piano per un punto parallelo a due vettori

 

III) Equazioni parametriche di un piano per tre punti non allineati

 

IV) Equazioni parametriche del piano con i vettori di giacitura

 

V) Equazioni parametriche del piano ortogonale a un vettore e passante per un punto

 

VI) Equazioni del piano e vettori di giacitura con parametro

 

VII) Equazione cartesiana del piano per tre punti non allineati

 

VIII) Esercizio equazione del piano per 3 punti non allineati dello spazio

 

IX) Scrivere l'equazione del piano contenente tre punti

 

X) Esercizio su vettore ortogonale ed equazione cartesiana di un piano per tre punti

 

XI) Esercizio con equazione cartesiana di un piano con due parametri

 

XII) Ricavare l'equazione cartesiana dalle equazioni parametriche di tre piani

 

XIII) Esercizio su forma parametrica e cartesiana di un piano

 

XIV) Scrivere l'equazione parametrica di un piano e ricavare quella cartesiana

 

XV) Piano per un punto ortogonale a un vettore in forma cartesiana e parametrica

 

XVI) Esercizio su piano con parametro ed equazione cartesiana

 

XVII) Esercizio: passare dalle equazioni parametriche di un piano all'equazione cartesiana

 

XVIII) Esercizio: passare dalle equazioni cartesiane del piano alla forma parametrica

 

XIX) Piano ortogonale a un vettore e passante per l'origine

 

XX) Equazioni parametriche e cartesiane di un piano per tre punti parametrici

 

 

Lezione correlata.....Lezione correlata

 
 

Tags: scheda di esercizi svolti sulle equazioni parametriche del piano - esercizi risolti sulle equazioni cartesiane del piano nello spazio.