Esercizi su endomorfismi simmetrici e teorema spettrale

Pronti per affrontare gli esercizi sugli endomorfismi simmetrici e gli esercizi sul teorema spettrale nel caso reale? In questa scheda elenchiamo una serie di esercizi risolti nel dettaglio, con svolgimenti completi e commentati passaggio per passaggio.

 

Prima di cimentarvi con gli esercizi è fondamentale che abbiate piena dimestichezza con la teoria: gli argomenti in questione sono estremamente frequenti nelle prove d'esame scritte e orali. Per le lezioni di riferimento, vi rimandiamo a quella sugli endomorfismi simmetrici e a quella sul teorema spettrale in R.

 

Per il resto vi anticipiamo che la raccolta di tracce è estremamente variegata, in modo da coprire tutte le potenziali richieste che si presentano negli esami scritti. Non sottovalutate nulla... E buon lavoro! ;)

 

Nota bene: il teorema spettrale in C viene trattato a parte e non viene contemplato dagli esercizi di questa pagina.

 

Esercizi svolti sul teorema spettrale nel caso reale e sugli endomorfismi simmetrici

 

I) Sia dato il seguente endomorfismo di \mathbb{R}^3:

 

T(x,y,z)=(2x+4z, \ 6y, \ 4x+2z)

 

Verificare che T è simmetrico e calcolare una base ortonormale di \mathbb{R}^3 formata da autovettori di T.

 

II) Sia \mathcal{B} la base di \mathbb{R}^3 formata dai vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,0,1)

 

e sia F l'endomorfismo di \mathbb{R}^3 la cui matrice associata rispetto alla base \mathcal{B} è:

 

A_F^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}6 & 1 & 3 \\ -3 & 1 & -2 \\ -3 & -1 & -1\end{pmatrix}

 

Stabilire se F è un endomorfismo simmetrico.

 

III) Si calcoli, se possibile, una base ortonormale di \mathbb{R}^3 che diagonalizza la matrice

 

A=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

 

IV) Calcolare, se possibile, una base ortonormale di \mathbb{R}^3 formata da autovettori dell'endomorfismo f individuato dalla seguente matrice A rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3

 

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}

 

V) Sia F l'endomorfismo di \mathbb{R}^3 avente come autovettori i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(0,0,1)

 

associati, rispettivamente, agli autovalori

 

\lambda_1=1 \ \ ; \ \ \lambda_2=1 \ \ ; \ \ \lambda_3=2

 

(a) Calcolare la matrice associata a F rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3.

 

(b) Stabilire se F è un endomorfismo simmetrico.

 

(c) Calcolare, se esiste, una base ortonormale di \mathbb{R}^3 formata da autovettori di F.

 

VI) Si stabilisca per quali valori del parametro k \in \mathbb{R} la matrice

 

A=\begin{pmatrix}1 & 2k & 0 \\ k+1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & k\end{pmatrix}

 

è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale. Per i valori di k trovati si calcoli una matrice ortogonale P tale che P^{-1} A P è una matrice diagonale.

 

VII) Sia T il seguente endomorfismo di \mathbb{R}^3

 

T(x,y,z)=(x+3y, \ kx-2y-z, \ -y+z)

 

dove k è un parametro reale.

 

Si stabilisca per quali valori di k esiste una base ortonormale di \mathbb{R}^3 formata da autovettori di T e la si calcoli.

 

VIII) Fissato il vettore

 

\mathbf{w}=(2,0,1)

 

sia f l'endomorfismo di \mathbb{R}^3 definito da:

 

f(\mathbf{v}) = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \mathbf{w}

 

dove \cdot indica il prodotto scalare canonico.

 

Stabilire se esiste una base ortonormale di \mathbb{R}^3 formata da autovettori di f e, in caso affermativo, calcolarla.

 

IX) Siano g:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} la forma bilineare tale che

 

g((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 5x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+x_2y_2

 

e F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 l'endomorfismo tale che

 

F(x,y)=(-3x+3y, \ 7x-7y)

 

(a) Verificare che g è un prodotto scalare definito positivo su \mathbb{R}^2.

 

(b) Dimostrare che F è un endomorfismo simmetrico.

 

(c) Calcolare una base ortonormale di \mathbb{R}^2 formata da autovettori di F.

 

X) Detto V=M_2(\mathbb{R}) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali, sia T:V \to V l'endomorfismo dato da:

 

T \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11} & 2a_{12} \\ a_{21}+a_{22} & a_{21}+a_{22}\end{pmatrix}

 

Si consideri, poi, il prodotto scalare definito positivo su V tale che

 

\langle A,B \rangle = \mbox{tr}(B^T A)

 

(a) Verificare che la base canonica \mathcal{C} di V è una base ortonormale di V rispetto a \langle \ ,\ \rangle.

 

(b) Calcolare la matrice associata a T rispetto a \mathcal{C}.

 

(c) Stabilire se esiste una base ortonormale di V formata da autovettori di T e, se esiste, calcolarla.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Verificare che un endomorfismo è simmetrico e calcolare una base ortonormale di autovettori

 

II) Stabilire se un endomorfismo definito da una matrice è simmetrico

 

III) Diagonalizzare una matrice rispetto a una base ortonormale

 

IV) Base ortonormale di autovettori di un endomorfismo definito da una matrice

 

V) Stabilire se un endomorfismo è simmetrico da autovalori e autovettori

 

VI) Matrice parametrica diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale

 

VII) Valori di un parametro per base ortonormale formata da autovettori di un endomorfismo

 

VIII) Esistenza e calcolo di una base ortonormale di autovettori di un endomorfismo

 

IX) Base ortonormale di autovettori di un endomorfismo con prodotto scalare non canonico

 

X) Esistenza e calcolo di una base ortonormale di autovettori di un endomorfismo tra spazi di matrici

 

 

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