Esercizi su endomorfismi simmetrici e teorema spettrale

Pronti per affrontare gli esercizi sugli endomorfismi simmetrici e gli esercizi sul teorema spettrale nel caso reale? In questa scheda elenchiamo una serie di esercizi risolti nel dettaglio, con svolgimenti completi e commentati passaggio per passaggio.

Prima di cimentarvi con gli esercizi è fondamentale che abbiate piena dimestichezza con la teoria: gli argomenti in questione sono estremamente frequenti nelle prove d'esame scritte e orali. Per le lezioni di riferimento, vi rimandiamo a quella sugli endomorfismi simmetrici e a quella sul teorema spettrale in R.

Per il resto vi anticipiamo che la raccolta di tracce è estremamente variegata, in modo da coprire tutte le potenziali richieste che si presentano negli esami scritti. Non sottovalutate nulla... E buon lavoro! ;)

Nota bene: il teorema spettrale in C viene trattato a parte e non viene contemplato dagli esercizi di questa pagina.

Esercizi svolti sul teorema spettrale nel caso reale e sugli endomorfismi simmetrici

I) Sia dato il seguente endomorfismo di :

Verificare che è simmetrico e calcolare una base ortonormale di formata da autovettori di .

II) Sia la base di formata dai vettori

e sia l'endomorfismo di la cui matrice associata rispetto alla base è:

Stabilire se è un endomorfismo simmetrico.

III) Si calcoli, se possibile, una base ortonormale di che diagonalizza la matrice

IV) Calcolare, se possibile, una base ortonormale di formata da autovettori dell'endomorfismo individuato dalla seguente matrice rispetto alla base canonica di

V) Sia l'endomorfismo di avente come autovettori i vettori

associati, rispettivamente, agli autovalori

(a) Calcolare la matrice associata a rispetto alla base canonica di .

(b) Stabilire se è un endomorfismo simmetrico.

(c) Calcolare, se esiste, una base ortonormale di formata da autovettori di .

VI) Si stabilisca per quali valori del parametro la matrice

è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale. Per i valori di trovati si calcoli una matrice ortogonale tale che è una matrice diagonale.

VII) Sia il seguente endomorfismo di

dove è un parametro reale.

Si stabilisca per quali valori di esiste una base ortonormale di formata da autovettori di e la si calcoli.

VIII) Fissato il vettore

sia l'endomorfismo di definito da:

dove indica il prodotto scalare canonico.

Stabilire se esiste una base ortonormale di formata da autovettori di e, in caso affermativo, calcolarla.

IX) Siano la forma bilineare tale che

e l'endomorfismo tale che

(a) Verificare che è un prodotto scalare definito positivo su .

(b) Dimostrare che è un endomorfismo simmetrico.

(c) Calcolare una base ortonormale di formata da autovettori di .

X) Detto lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali, sia l'endomorfismo dato da:

Si consideri, poi, il prodotto scalare definito positivo su tale che

(a) Verificare che la base canonica di è una base ortonormale di rispetto a .

(b) Calcolare la matrice associata a rispetto a .

(c) Stabilire se esiste una base ortonormale di formata da autovettori di e, se esiste, calcolarla.

Svolgimenti e soluzioni

I) Verificare che un endomorfismo è simmetrico e calcolare una base ortonormale di autovettori

II) Stabilire se un endomorfismo definito da una matrice è simmetrico

III) Diagonalizzare una matrice rispetto a una base ortonormale

IV) Base ortonormale di autovettori di un endomorfismo definito da una matrice

V) Stabilire se un endomorfismo è simmetrico da autovalori e autovettori

VI) Matrice parametrica diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale

VII) Valori di un parametro per base ortonormale formata da autovettori di un endomorfismo

VIII) Esistenza e calcolo di una base ortonormale di autovettori di un endomorfismo

IX) Base ortonormale di autovettori di un endomorfismo con prodotto scalare non canonico

X) Esistenza e calcolo di una base ortonormale di autovettori di un endomorfismo tra spazi di matrici

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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Tags: scheda di esercizi svolti sul teorema spettrale reale - esercizi risolti sugli endomorfismi simmetrici.

Ultima modifica: 16/05/2023