Esercizi sulle forme quadratiche
Benvenuti nella scheda di esercizi sulle forme quadratiche: tutti gli esercizi di questa raccolta sono risolti nel dettaglio e corredati da svolgimenti guidati passo-passo.
Questa scheda di esercizi condensa la teoria che abbiamo presentato in diverse lezioni, e ricopre tutte le nozioni e le varie richieste d'esame che riguardano le forme quadratiche. In particolare:
- matrice associata a una forma quadratica
- segno di una forma quadratica
- forma canonica e forma normale di una forma quadratica
Non perdetevele! In ciascuna di esse abbiamo presentato le definizioni e i vari metodi di risoluzione degli esercizi, nonché svariati esempi svolti e commentati. Che altro aggiungere, se non... Buon lavoro! ;)
Esercizi risolti sulle forme quadratiche: definizione, matrice associata, segno e rappresentazioni
I) Usando la formula di polarizzazione determinare la forma polare della forma quadratica tale che
II) (a) Si scrivano la matrice e il prodotto scalare associati alla forma quadratica
(b) Stabilire se il prodotto scalare trovato è degenere e se è definito positivo.
III) Si calcoli la forma quadratica associata alla matrice
rispetto alla base canonica di .
IV) Nello spazio euclideo , definito dalla forma quadratica
calcolare la proiezione ortogonale del generico vettore
sul sottospazio
definito dall'equazione cartesiana
V) Classificare, in base al segno, la forma quadratica
VI) Studiare il segno della forma quadratica definita da:
mediante lo studio del segno dei suoi minori.
VII) Siano un parametro reale e
la forma quadratica tale che
Scrivere la matrice associata alla forma quadratica e studiarne il segno al variare di
.
VIII) Data la forma quadratica
(a) si calcoli la matrice a essa associata;
(b) si scriva in forma canonica specificando la base attraverso cui si realizza.
IX) Sia una matrice simmetrica di ordine 3 che definisce la forma quadratica
. È noto che
ammette come autovalori
e che l'autospazio ha equazione
.
Calcolare la forma canonica della forma quadratica e la base rispetto cui si realizza.
X) Si consideri la forma quadratica data da:
(a) Scrivere la matrice associata;
(b) studiare il segno di ;
(c) calcolare la forma canonica e la forma normale di e le basi con cui si realizzano.
Svolgimenti e soluzioni
I) Forma polare di una forma quadratica
II) Matrice e prodotto scalare associati a una forma quadratica
III) Forma quadratica associata a una matrice
IV) Proiezione ortogonale con forma quadratica
V) Classificazione di una forma quadratica in base al segno
VI) Segno di una forma quadratica con i minori
VII) Matrice associata a una forma quadratica parametrica e studio del segno
VIII) Forma quadratica: matrice associata e forma canonica
IX) Forma canonica di una forma quadratica e base rispetto cui si realizza
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