Esercizi sulle forme quadratiche

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Benvenuti nella scheda di esercizi sulle forme quadratiche: tutti gli esercizi di questa raccolta sono risolti nel dettaglio e corredati da svolgimenti guidati passo-passo.

 

Questa scheda di esercizi condensa la teoria che abbiamo presentato in diverse lezioni, e ricopre tutte le nozioni e le varie richieste d'esame che riguardano le forme quadratiche. In particolare:

 

- forme quadratiche

 

- matrice associata a una forma quadratica

 

- segno di una forma quadratica

 

- forma canonica e forma normale di una forma quadratica

 

Non perdetevele! In ciascuna di esse abbiamo presentato le definizioni e i vari metodi di risoluzione degli esercizi, nonché svariati esempi svolti e commentati. Che altro aggiungere, se non... Buon lavoro! ;)

 

Esercizi risolti sulle forme quadratiche: definizione, matrice associata, segno e rappresentazioni

 

I) Usando la formula di polarizzazione determinare la forma polare della forma quadratica Q:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} tale che

 

Q(x_1,x_2) = x_1^2-6x_1x_2+2x_2^2

 

II) (a) Si scrivano la matrice e il prodotto scalare associati alla forma quadratica

 

Q(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2-16x_1x_2-3x_1x_3+x_3^2

 

(b) Stabilire se il prodotto scalare trovato è degenere e se è definito positivo.

 

III) Si calcoli la forma quadratica associata alla matrice

 

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}

 

rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3.

 

IV) Nello spazio euclideo \left(\mathbb{R}^3, \ \langle \ , \ \rangle\right), definito dalla forma quadratica

 

Q(x_1,x_2,x_3) = 3x_1^2-2x_1x_2+8x_1x_3+x_2^2-2x_2x_3+6x_3^2

 

calcolare la proiezione ortogonale P_U(\mathbf{v}) del generico vettore \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 sul sottospazio U definito dall'equazione cartesiana

 

x_1-x_2+x_3=0

 

V) Classificare, in base al segno, la forma quadratica

 

Q(x_1,x_2)=-x_1^2+4x_1x_2-2x_2^2

 

VI) Studiare il segno della forma quadratica Q:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} definita da:

 

Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_1x_2+5x_2^2-x_2x_3+4x_3^2

 

mediante lo studio del segno dei suoi minori.

 

VII) Siano k un parametro reale e Q:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} la forma quadratica tale che

 

Q(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1^2-kx_2^2+kx_3^2+x_4^2

 

Scrivere la matrice associata alla forma quadratica Q e studiarne il segno al variare di k \in \mathbb{R}.

 

VIII) Data la forma quadratica

 

Q(x_1,x_2)=5x_1^2-4x_1x_2+5x_2^2

 

(a) si calcoli la matrice a essa associata;

 

(b) si scriva Q in forma canonica specificando la base attraverso cui si realizza.

 

IX) Sia A una matrice simmetrica di ordine 3 che definisce la forma quadratica Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A \mathbf{x}. È noto che A ammette come autovalori

 

\lambda_1=-1 \ \ ; \ \ \lambda_2=2

 

e che l'autospazio V_2 ha equazione x+y-2z=0.

 

Calcolare la forma canonica della forma quadratica Q e la base rispetto cui si realizza.

 

X) Si consideri la forma quadratica Q:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} data da:

 

Q(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+2x_2^2-2\sqrt{3}x_1x_3+5x_3^2

 

(a) Scrivere la matrice associata;

 

(b) studiare il segno di Q;

 

(c) calcolare la forma canonica e la forma normale di Q e le basi con cui si realizzano.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Forma polare di una forma quadratica

 

II) Matrice e prodotto scalare associati a una forma quadratica

 

III) Forma quadratica associata a una matrice

 

IV) Proiezione ortogonale con forma quadratica

 

V) Classificazione di una forma quadratica in base al segno

 

VI) Segno di una forma quadratica con i minori

 

VII) Matrice associata a una forma quadratica parametrica e studio del segno

 

VIII) Forma quadratica: matrice associata e forma canonica

 

IX) Forma canonica di una forma quadratica e base rispetto cui si realizza

 

X) Esercizio di riepilogo sulle forme quadratiche: matrice associata, segno, forma normale e forma canonica

 

 

Lezione correlata

 
 

Tags: scheda di esercizi risolti sulle forme quadratiche - esercizi svolti sulle matrici associate e sul segno delle forme quadratiche.