Esercizi su forme sesquilineari e prodotti hermitiani

Benvenuti nella scheda di esercizi sulle forme sesquilineari e di esercizi sui prodotti hermitiani. In questa pagina potete consultare un elenco di esercizi svolti e spiegati passo dopo passo, con tutti i calcoli necessari per arrivare alla soluzione.

 

Prima di cimentarvi nella risoluzione delle tracce vi suggeriamo un ripasso della teoria, che abbiamo trattato in dettaglio nelle lezioni correlate sulle forme sesquilineari e sul prodotto hermitiano, e in cui abbiamo fornito le definizioni, tutte le relative proprietà e numerosi esempi svolti.

 

In particolare nel caso delle forme sesquilineari ci siamo concentrati sulla nozione di matrice associata e sulla classificazione delle forme sesquilineari degeneri, non degeneri e simmetriche; per quanto riguarda i prodotti hermitiani, abbiamo presentato il concetto di matrice associata per poi virare su segno e norma indotta.

 

Esercizi risolti sulle forme sesquilineari e sui prodotti hermitiani

 

I) Si consideri l'applicazione \varphi: \mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C} tale che

 

\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = -v_1\overline{w_1}+\imath v_1 \overline{w_2} + 2 v_2\overline{w_2}

 

(a) Dimostrare che \varphi è una forma sesquilineare su \mathbb{C}^2.

 

(b) Calcolare le matrici associate a \varphi rispetto alle basi

 

\\ \mathcal{B}=\{(1,0), \ (0,1)\} \\ \\ \mathcal{B}'=\{(1,1), \ (1,2)\}

 

II) Siano \mathcal{B} la seguente base di \mathbb{C}^3

 

\mathcal{B}=\{(1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

 

e A la seguente matrice riferita alla base \mathcal{B}:

 

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & \imath \\ -1+\imath & 0 & 0 \\ 2+\imath & -1 & 0\end{pmatrix}

 

Scrivere la forma sesquilineare G definita da A.

 

III) Verificare che l'applicazione F:\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C} tale che

 

F(\mathbf{v},\mathbf{w})=v_1\overline{w_1}-2\imath v_2\overline{w_1}+2 \imath v_1 \overline{w_2} + 3 v_2 \overline{w_2}

 

è una forma sesquilineare su \mathbb{C}^2 e stabilire se è un prodotto hermitiano.

 

IV) Si verifichi che l'applicazione

 

g(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2)= v_1\overline{w_1} + 2 v_2 \overline{w_2} + (3-\imath)v_2\overline{w_3} + (3+\imath)v_3\overline{w_2} + v_3\overline{w_3}

 

è un prodotto hermitiano su \mathbb{C}^3 e si calcoli la sua matrice rappresentativa rispetto alla base

 

\mathcal{B}=\{(1,0,0), \ (0,-1,0), \ (0,1,1)\}

 

V) Calcolare il prodotto hermitiano canonico tra i vettori

 

\\ \mathbf{v}=(2-3\imath, \ 1-\imath, \ 3-\imath) \\ \\ \mathbf{w}=(1+\imath, \ -2\imath, \ 2)

 

e le rispettive norme.

 

VI) In \mathbb{C}^3, munito del prodotto hermitiano canonico, si consideri il vettore

 

\mathbf{v}=(\imath, \imath, k)

 

dove k \in \mathbb{C}.

 

Calcolare i valori di k tali che \mathbf{v} è ortogonale al vettore

 

\mathbf{w}=(\imath, 1, 1+\imath)

 

VII) Stabilire se il prodotto hermitiano su \mathbb{C}^3 definito da

 

\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = 2\imath x_1\overline{y_3}+3x_2\overline{y_2}+(1+\imath)x_2\overline{y_3}-2\imath x_3\overline{y_1}+(1-\imath)x_3\overline{y_2} +x_3\overline{y_3}

 

è definito positivo, definito negativo, semidefinito (positivo o negativo) o indefinito.

 

VIII) Verificare che il prodotto hermitiano su \mathbb{C}^2 definito da:

 

\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = 2x_1\overline{y_1}+2 \imath x_1 \overline{y_2} - 2 \imath x_2 \overline{y_1} + 4 x_2 \overline{y_2}

 

è definito positivo, determinare la norma indotta e calcolare la norma del vettore

 

\mathbf{v}=(2, -1+\imath)

 

IX) Siano \mathbf{v} il seguente vettore di \mathbb{C}^3:

 

\mathbf{v}=(1,\imath,-2\imath)

 

e \langle \ , \ \rangle il prodotto hermitiano definito da:

 

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = 2x_1\overline{y_1} + \imath x_1 \overline{y_2} + x_1\overline{y_3} - \imath x_2 \overline{y_1} + 2 x_2 \overline{y_2} + x_3 \overline{y_1} + 3 x_3 \overline{y_3}

 

Dimostrare che \langle \ , \ \rangle è definito positivo e normalizzare il vettore \mathbf{v}.

 

X) Sia \mathbb{C}_2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2, nell'indeterminata x e a coefficienti complessi.

 

(a) Dimostrare che l'applicazione \langle \ , \ \rangle : \mathbb{C}_2[x] \times \mathbb{C}_2[x] \to \mathbb{C} definita da

 

\langle p(x) , q(x) \rangle = p(0)\overline{q(0)} + p(1)\overline{q(1)} + p(\imath)\overline{q(\imath)}

 

è un prodotto hermitiano su \mathbb{C}_2[x].

 

(b) Calcolare la matrice associata a \langle \ , \ \rangle rispetto alla base base \mathcal{B}=\{1,x,x^2\}.

 

(c) Verificare che \langle \ , \ \rangle è definito positivo.

 

(d) Calcolare la norma del polinomio

 

p(x)=1+\imath x -\imath x^2

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Forma sesquilineare: verifica e matrici associate rispetto a basi diverse

 

II) Forma sesquilineare definita da una matrice

 

III) Stabilire se una forma sesquilineare è un prodotto hermitiano

 

IV) Prodotto hermitiano: verifica e calcolo della matrice associata rispetto a una base

 

V) Calcolo del prodotto hermitiano canonico tra due vettori e rispettive norme

 

VI) Valore di un parametro per cui due vettori sono ortogonali rispetto al prodotto hermitiano canonico

 

VII) Studio del segno di un prodotto hermitiano

 

VIII) Esercizio: prodotto hermitiano è definito positivo e norma indotta

 

IX) Normalizzare un vettore rispetto a un prodotto hermitiano

 

X) Prodotto hermitiano definito nello spazio di polinomi

 

 

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