Esercizi sulla proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio vettoriale

In questa scheda vi proponiamo una raccolta di esercizi sulla proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Gli esercizi sono interamente risolti e spiegati nel dettaglio, e corredati da tutti i calcoli e i commenti del caso. ;)

 

Se volete ripassare la teoria, vedere alcuni esempi svolti e leggere i metodi di risoluzione in termini generali, vi raccomandiamo la lettura delle due lezioni correlate:

 

- in primo luogo quella introduttiva e più teorica, con la definizione di proiezione ortogonale come applicazione lineare e con la rassegna delle proprietà che la caratterizzano;

 

- successivamente, la lezione in cui spieghiamo come calcolare la proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio.

 

Non ci resta che augurarvi un buon divertimento! ;)

 

Esercizi risolti sul calcolo della proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio vettoriale

 

I) Determinare l'endomorfismo P_S dato dalla proiezione ortogonale sul sottospazio vettoriale

 

S=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x-2y+2z=0\}

 

rispetto al prodotto scalare canonico.

 

II) Si consideri il seguente sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^2

 

T=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 2x-y=0\}

 

e sia P_T l'endomorfismo che a ogni vettore di \mathbb{R}^2 associa la sua proiezione ortogonale su T rispetto al prodotto scalare canonico.

 

Calcolare la matrice associata a P_T riferita alla base canonica di \mathbb{R}^2.

 

III) Determinare un endomorfismo F di \mathbb{R}^3 tale da soddisfare le seguenti condizioni:

 

(a) i suoi unici autovalori sono \lambda_0=0 \ \ ; \ \ \lambda_1=1

 

(b) l'immagine di F è il sottospazio di \mathbb{R}^3 così definito: \mbox{Im}(F)=\mbox{Span}(1,0,1)

 

IV) Calcolare la proiezione ortogonale del vettore

 

\mathbf{v}=(1,1,3)

 

sul sottospazio S generato dai vettori

 

\mathbf{v}_1=(0,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,1,1)

 

V) Si consideri, in \mathbb{R}^4, il sottospazio U definito da:

 

U=\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x+2y-3z+4t=0 \ ; \ x+y-2z+3t=0\}

 

1) Si calcolino una base di U e una sua base ortonormale;

 

2) si determini la proiezione del vettore \mathbf{v}=(1,0,1,0) su U in riferimento al prodotto scalare canonico.

 

VI) Siano U il seguente sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3

 

U=\{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x_1-x_2+x_3=0\}

 

e \langle \ , \ \rangle il prodotto scalare definito positivo su \mathbb{R}^3 tale che:

 

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = 3x_1y_1-x_1y_2+4x_1y_3-x_2y_1+x_2y_2-x_2y_3+4x_3y_1-x_3y_2+6x_3y_3

 

Calcolare la proiezione ortogonale del vettore \mathbf{v}=(2,1,3) su U.

 

VII) Sia U il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 di equazione cartesiana 2x+y-z=0.

 

(a) Determinare una base di U.

 

(b) Calcolare le equazioni cartesiane e una base di U^{\perp} rispetto al prodotto scalare canonico.

 

(c) Dato il vettore \mathbf{v}=(1,0,0,1), calcolare le proiezioni ortogonali di \mathbf{v} sui sottospazi U^{\perp} e U.

 

VIII) Nello spazio euclideo \mathbb{R}^4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali:

 

\\ V_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \ | \ 2x_1+3x_2+x_3+x_4=0\ ;\ -x_1-x_2+x_3=0\} \\ \\ V_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \ | \ -x_1+x_2+x_3-x_4=0\}

 

e sia V=V_1\cap V_2 il sottospazio intersezione.

 

(a) Determinare la dimensione e una base di V;

 

(b) Trovare una base ortogonale di V;

 

(c) Calcolare la proiezione ortogonale del vettore (1, 1, 0, 0) su V.

 

IX) Nello spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali, siano U il sottospazio generato dalle matrici

 

A_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ A_2=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}

 

e \langle \ , \ \rangle il prodotto scalare definito positivo tale che

 

\langle A,B \rangle = \mbox{tr}(AB^T)

 

Calcolare la proiezione ortogonale della matrice

 

A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 3 & 2\end{pmatrix}

 

sul sottospazio U.

 

X) Si consideri \mathbb{R}_2[x], lo spazio vettoriale di polinomi di grado minore o uguale a due, a coefficienti reali e nell'indeterminata x. Sia U il suo sottospazio generato dai polinomi

 

p_1(x)=x \ \ ; \ \ p_2(x)=x^2

 

Calcolare la proiezione ortogonale del polinomio

 

g(x)=(1+x)^2

 

sul sottospazio U rispetto al seguente prodotto scalare definito positivo su \mathbb{R}_2[x]

 

\langle p(x),q(x) \rangle = p(0) q(0) + p(1) q(1) + p(-1)q(-1) + p(2)q(2)

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Endomorfismo definito dalla proiezione ortogonale su un sottospazio 

 

II) Matrice associata all'endomorfismo proiezione ortogonale

 

III) Determinare un endomorfismo con autovalori 0 e 1 e di cui è nota l'immagine

 

IV) Proiezione di un vettore su un sottospazio generato da due vettori

 

V) Calcolo della proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio in forma cartesiana

 

VI) Proiezione ortogonale di un vettore con prodotto scalare non canonico

 

VII) Base per un sottospazio, per il complemento ortogonale e proiezione ortogonale di un vettore

 

VIII) Dimensione, base ortogonale e proiezione ortogonale di un vettore sul sottospazio intersezione

 

IX) Proiezione ortogonale di una matrice su un sottospazio

 

X) Proiezione ortogonale di un polinomio su un sottospazio

 

 

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