Esercizi sul complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale

Benvenuti nella scheda di esercizi sul complemento ortogonale di un sottospazio! Tutte le tracce sono risolte e commentate nel dettaglio, con tutti i passaggi e i calcoli necessari per giungere alla soluzione.

 

Prima di affrontare gli esercizi sul complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale, casomai non l'aveste ancora fatto, vi raccomandiamo di leggere le lezioni correlate:

 

complemento ortogonale di un sottospazio

 

base del complemento ortogonale di un sottospazio.

 

in cui abbiamo presentato la definizione, le proprietà, il procedimento per risolvere gli esercizi e svariati esempi svolti.

 

Esercizi risolti sul complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale

 

I) Si considerino i seguenti vettori di \mathbb{R}^3:

 

\mathbf{w}_1=(1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{w}_2=(2,0,2) \ \ ; \ \ \mathbf{w}_3=(-1,1,-1)

 

e sia W il sottospazio vettoriale da essi generato.

 

Si determini il complemento ortogonale di W.

 

II) Si determini il complemento ortogonale del sottospazio

 

W=\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x_1-x_2-x_3=0 \ ; \ 3x_3+x_4=0\}

 

III) Calcolare la dimensione e una base del complemento ortogonale, rispetto al prodotto scalare canonico, del sottospazio di \mathbb{R}^5 così definito:

 

W=\{(x,y,z,t,w) \in \mathbb{R}^5 \ | \ x-z=0 \ ; \ y-w=0 \ ; \ y-t=0\}

 

IV) Siano \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 i vettori della base canonica di \mathbb{R}^3 e W il sottospazio di \mathbb{R}^3 generato dai vettori

 

\\ \mathbf{w}_1=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3 \\ \\ \mathbf{w}_2=\mathbf{e}_2-4\mathbf{e}_3 \\ \\ \mathbf{w}_3=2\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_3

 

(a) Calcolare la dimensione e una base di W.

 

(b) Determinare una base ortonormale di W^{\perp} rispetto al prodotto scalare canonico.

 

V) Sia f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 l'applicazione lineare definita da:

 

\\ f(1,3,0,1)=(2,0,0,0) \\ \\ f(2,-1,1,0)=(1,-1,0,0) \\ \\ f(0,0,1,0)=(2,-3,1,0) \\ \\ f(-1,2,0,0)=(1,0,0,-1)

 

1) Verificare che f esiste ed è unica.

 

2) Calcolare la dimensione e una base di \mbox{Ker}(f) e di \mbox{Im}(f).

 

3) Determinare i sottospazi \left(\mbox{Ker}(f)\right)^{\perp} e \left(\mbox{Im}(f)\right)^{\perp} rispetto al prodotto scalare canonico su \mathbb{R}^4.

 

VI) Sia V il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 generato dai vettori:

 

\mathbf{v}_1=(0,1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(4,-2,0,2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(4,1,3,2)

 

Determinare la dimensione e una base di V e calcolare, rispetto al prodotto scalare canonico, una base ortogonale di V e una base del complemento ortogonale di V.

 

VII) Determinare una base del complemento ortogonale di

 

U=\mbox{Span}((2,0,2,1), \ (0,1,0,0))

 

rispetto al prodotto scalare

 

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = x_1y_1+x_2y_2-x_3y_4-x_4y_3

 

VIII) Sia V il sottospazio di Mat(2,2,\mathbb{R}) generato dalle matrici

 

A_1=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 4\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ A_2=\begin{pmatrix}0&0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

 

e si consideri il prodotto scalare su Mat(2,2,\mathbb{R}) definito da

 

\langle A,B \rangle = \mbox{tr}(B^TA)

 

Si calcoli il complemento ortogonale di V.

 

IX) Siano \mathbb{R}_2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a due, a coefficienti reali, nell'indeterminata x, e V il seguente insieme

 

V=\{p(x) \in \mathbb{R}_2[x] \ | \ p(0)=0\}

 

1) Dimostrare che V è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}_2[x].

 

2) Calcolare la dimensione e una base di V.

 

3) Dimostrare che l'applicazione \langle \ , \ \rangle: V \times V \to \mathbb{R} tale che

 

\langle p(x) , q(x) \rangle =p(0)q(0)+p(1)q(1)

 

è un prodotto scalare su \mathbb{R}_2[x].

 

4) Determinare una base del complemento ortogonale di V rispetto a \langle \ , \ \rangle.

 

X) Siano k \in \mathbb{R} e \langle \ , \ \rangle il prodotto scalare su \mathbb{R}^3 definito da

 

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = x_1y_1 - 2x_1y_3 + x_2y_2 + x_2y_3 - 2 x_3y_1 + x_3y_2 + kx_3y_3

 

Determinare, al variare di k \in \mathbb{R}, il complemento ortogonale, rispetto a \langle \ , \ \rangle, del sottospazio

 

W=\{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x_1-x_2-2x_3=0\}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Determinare il complemento ortogonale di un sottospazio generato da tre vettori

 

II) Complemento ortogonale di un sottospazio di R^4 in forma cartesiana

 

III) Dimensione e base del complemento ortogonale di un sottospazio definito da tre equazioni

 

IV) Base ortonormale del complemento ortogonale di un sottospazio generato da combinazioni lineari

 

V) Complemento ortogonale del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare

 

VI) Base ortogonale e base del complemento ortogonale di un sottospazio

 

VII) Complemento ortogonale con prodotto scalare non canonico

 

VIII) Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale generato da matrici

 

IX) Verifica prodotto scalare e complemento ortogonale di un sottospazio di polinomi

 

X) Complemento ortogonale rispetto a un prodotto scalare qualsiasi con parametro

 

 

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