Esercizi sulla norma indotta da un prodotto scalare

In questa pagina vi proponiamo una raccolta di esercizi sulla norma indotta da un prodotto scalare qualsiasi. Tutti gli esercizi sono risolti e spiegati passaggio per passaggio, con tutti i calcoli necessari per arrivare alla soluzione.

 

Prima di procedere è necessaria una breve disambiguazione. Attenzione: qui ci occupiamo della norma definita da un prodotto scalare qualsiasi e non solamente della classica norma indotta dal prodotto scalare euclideo, che abbiamo trattato nel corso dedicato a Matrici e Vettori.

 

È tutto, possiamo cominciare! ;) Per la teoria, gli esempi svolti e i metodi di risoluzione, vi rimandiamo alla lezione sulla norma indotta da un prodotto scalare.

 

Esercizi risolti sulla norma indotta da un prodotto scalare qualsiasi

 

I) Si considerino i seguenti vettori di \mathbb{R}^3:

 

\mathbf{v}_1=(1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,0,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(0,-3,3)

 

e il prodotto scalare su \mathbb{R}^3 tale che

 

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = 2x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+x_3y_3

 

Indicata con || \cdot || la norma indotta da esso, calcolare ||\mathbf{v}_1||, \ ||\mathbf{v}_2||, \ ||\mathbf{v}_3||.

 

II) Sia \langle \ , \ \rangle il prodotto scalare su \mathbb{R}^2 definito da

 

\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 2x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2

 

Dopo aver verificato che è definito positivo, esplicitare la norma indotta e normalizzare il vettore \mathbf{v}=(1,1).

 

III) Normalizzare i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,0,2,-2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=\left(2,3\sqrt{2},0,\sqrt{3}\right)

 

rispetto al prodotto scalare \langle \ ,\ \rangle su \mathbb{R}^4 la cui matrice associata rispetto alla base canonica è:

 

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 3\end{pmatrix}

 

IV) Sia \mathcal{B} la base di \mathbb{R}^3 definita da

 

\mathcal{B}=\{(1,-2,0), \ (-1,0,-2), \ (0,-2,-1)\}

 

Stabilire se \mathcal{B} è una base ortonormale rispetto al seguente prodotto scalare definito positivo su \mathbb{R}^3:

 

\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = 5x_1y_1+4x_1y_3+5x_2y_2+2x_2y_3+4x_3y_1+2x_3y_2+5x_3y_3

 

V) Sia data la seguente base di \mathbb{R}^2:

 

\mathcal{B}=\{(1,0), \ (2,1)\}

 

e il prodotto scalare su \mathbb{R}^2 tale che

 

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = x_1y_1-2x_1y_2-2x_2y_1+5x_2y_2

 

Verificare che il prodotto scalare è definito positivo, che \mathcal{B} è una base ortogonale rispetto a \langle \ , \ \rangle e, infine, ortonormalizzarla.

 

VI) Siano V uno spazio vettoriale reale di dimensione n, \langle \ , \ \rangle un prodotto scalare definito positivo su V e \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base ortonormale di V rispetto a \langle \ , \ \rangle.

 

Dimostrare che la matrice associata a \langle \ , \ \rangle rispetto a \mathcal{B} è la matrice identità di ordine n.

 

VII) Siano V=\mathbb{R}_2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi nell'indeterminata x, a coefficienti reali e di grado minore o uguale a due, e \langle \ , \ \rangle : V \times V \to \mathbb{R} il prodotto scalare definito da:

 

\langle p(x) , q(x) \rangle = p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)

 

Dopo aver verificato che è definito positivo determinare la norma indotta e normalizzare il polinomio

 

p(x)=-1+x+x^2

 

VIII) Siano \mathbb{R}_1[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali e di grado minore o uguale a uno nell'indeterminata x, e \langle \ , \ \rangle : \mathbb{R}_1[x] \times \mathbb{R}_1[x] \to \mathbb{R} l'applicazione definita da:

 

\langle p(x), q(x) \rangle = \int_{0}^{1} p(x) q(x) dx

 

1) Verificare che \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare su \mathbb{R}_1[x].

 

2) Calcolare la matrice associata a \langle \ , \ \rangle rispetto alla base canonica di \mathbb{R}_1[x].

 

3) Stabilire se \langle \ , \ \rangle è definito positivo e, in caso di risposta affermativa, determinare la norma indotta da \langle \ , \ \rangle.

 

4) Verificare che \mathcal{B}=\{1, \sqrt{3}-2\sqrt{3}x\} è una base ortonormale di \mathbb{R}_1[x] rispetto a \langle \ , \ \rangle.

 

IX) Si consideri M_2(\mathbb{R}), lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali, e sia \langle \ , \ \rangle il prodotto scalare su M_2(\mathbb{R}) definito da:

 

\langle A , B \rangle = \sum_{i,j=1}^2 a_{ij}b_{ij}

 

(a) Si calcoli la matrice associata rispetto alla base canonica di M_2(\mathbb{R});

 

(b) si verifichi che è definito positivo;

 

(c) si determini la norma indotta e si metta in evidenza una base ortonormale di M_2(\mathbb{R});

 

(d) si calcoli la norma della matrice

 

D=\begin{pmatrix}0 & 6 \\ 2 & 3\end{pmatrix}

 

X) Sia data la seguente matrice

 

P=\begin{pmatrix}2&0 \\ 0&1\end{pmatrix}

 

e sia \langle \ , \ \rangle : M_2(\mathbb{R}) \times M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} l'applicazione definita da

 

\langle A,B \rangle = \mbox{tr}(B^T P A)

 

Dimostrare che \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare definito positivo, esplicitare la norma indotta e calcolare le norme delle matrici

 

C=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ D=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ E=\begin{pmatrix}3 & -2 \\ -1 & 3\end{pmatrix}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolare le norme di alcuni vettori con prodotto scalare non euclideo

 

II) Prodotto scalare definito positivo, norma indotta e normalizzazione di un vettore

 

III) Normalizzazione di un vettore rispetto a un prodotto scalare definito da una matrice

 

IV) Stabilire se una base è ortonormale rispetto a un prodotto scalare non canonico

 

V) Ortonormalizzare una base ortogonale con prodotto scalare non canonico

 

VI) Matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una base ortonormale

 

VII) Prodotto scalare in uno spazio di polinomi: definita positività, norma indotta e normalizzazione di un polinomio

 

VIII) Prodotto scalare definito da un integrale: verifica, norma indotta e base ortonormale

 

IX) Norma indotta da un prodotto scalare definito positivo su uno spazio di matrici

 

X) Applicazione in uno spazio di matrici: verifica prodotto scalare definito positivo e norme di più matrici

 

 

Lezione correlata

 
 

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