Esercizi sulla norma indotta da un prodotto scalare

  1. Home
  2. Esercizi di Matematica
  3. Esercizi Algebra Lineare
  4. Esercizi sulle applicazioni lineari

In questa pagina vi proponiamo una raccolta di esercizi sulla norma indotta da un prodotto scalare qualsiasi. Tutti gli esercizi sono risolti e spiegati passaggio per passaggio, con tutti i calcoli necessari per arrivare alla soluzione.

 

Prima di procedere è necessaria una breve disambiguazione. Attenzione: qui ci occupiamo della norma definita da un prodotto scalare qualsiasi e non solamente della classica norma indotta dal prodotto scalare euclideo, che abbiamo trattato nel corso dedicato a Matrici e Vettori.

 

È tutto, possiamo cominciare! ;) Per la teoria, gli esempi svolti e i metodi di risoluzione, vi rimandiamo alla lezione sulla norma indotta da un prodotto scalare.

 

Esercizi risolti sulla norma indotta da un prodotto scalare qualsiasi

 

I) Si considerino i seguenti vettori di R^3:

 

v_1 = (1,1,1) ; v_2 = (2,0,-1) ; v_3 = (0,-3,3)

 

e il prodotto scalare su R^3 tale che

 

langle x , y rangle = 2x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+x_3y_3

 

Indicata con ||·|| la norma indotta da esso, calcolare ||v_1||, ||v_2||, ||v_3||.

 

II) Sia langle , rangle il prodotto scalare su R^2 definito da

 

langle x, y rangle = 2x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2

 

Dopo aver verificato che è definito positivo, esplicitare la norma indotta e normalizzare il vettore v = (1,1).

 

III) Normalizzare i vettori

 

v_1 = (1,1,1,1) ; v_2 = (-1,0,2,-2) ; v_3 = (2,3√(2),0,√(3))

 

rispetto al prodotto scalare langle , rangle su R^4 la cui matrice associata rispetto alla base canonica è:

 

A = [1 0 0 0 ; 0 2 -1 0 ; 0 -1 1 -1 ; 0 0 -1 3]

 

IV) Sia mathcalB la base di R^3 definita da

 

mathcalB = (1,-2,0), (-1,0,-2), (0,-2,-1)

 

Stabilire se mathcalB è una base ortonormale rispetto al seguente prodotto scalare definito positivo su R^3:

 

langle x,y rangle = 5x_1y_1+4x_1y_3+5x_2y_2+2x_2y_3+4x_3y_1+2x_3y_2+5x_3y_3

 

V) Sia data la seguente base di R^2:

 

mathcalB = (1,0), (2,1)

 

e il prodotto scalare su R^2 tale che

 

langle x , y rangle = x_1y_1-2x_1y_2-2x_2y_1+5x_2y_2

 

Verificare che il prodotto scalare è definito positivo, che mathcalB è una base ortogonale rispetto a langle , rangle e, infine, ortonormalizzarla.

 

VI) Siano V uno spazio vettoriale reale di dimensione n, langle , rangle un prodotto scalare definito positivo su V e mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n una base ortonormale di V rispetto a langle , rangle.

 

Dimostrare che la matrice associata a langle , rangle rispetto a mathcalB è la matrice identità di ordine n.

 

VII) Siano V = R_2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi nell'indeterminata x, a coefficienti reali e di grado minore o uguale a due, e langle , rangle : V×V → R il prodotto scalare definito da:

 

langle p(x) , q(x) rangle = p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)

 

Dopo aver verificato che è definito positivo determinare la norma indotta e normalizzare il polinomio

 

p(x) = -1+x+x^2

 

VIII) Siano R_1[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali e di grado minore o uguale a uno nell'indeterminata x, e langle , rangle : R_1[x]×R_1[x] → R l'applicazione definita da:

 

langle p(x), q(x) rangle = ∫_(0)^(1) p(x) q(x) dx

 

1) Verificare che langle , rangle è un prodotto scalare su R_1[x].

 

2) Calcolare la matrice associata a langle , rangle rispetto alla base canonica di R_1[x].

 

3) Stabilire se langle , rangle è definito positivo e, in caso di risposta affermativa, determinare la norma indotta da langle , rangle.

 

4) Verificare che mathcalB = 1, √(3)-2√(3)x è una base ortonormale di R_1[x] rispetto a langle , rangle.

 

IX) Si consideri M_2(R), lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali, e sia langle , rangle il prodotto scalare su M_2(R) definito da:

 

langle A , B rangle = Σ_(i,j = 1)^2 a_(ij)b_(ij)

 

(a) Si calcoli la matrice associata rispetto alla base canonica di M_2(R);

 

(b) si verifichi che è definito positivo;

 

(c) si determini la norma indotta e si metta in evidenza una base ortonormale di M_2(R);

 

(d) si calcoli la norma della matrice

 

D = [0 6 ; 2 3]

 

X) Sia data la seguente matrice

 

P = [2 0 ; 0 1]

 

e sia langle , rangle : M_2(R)×M_2(R) → R l'applicazione definita da

 

langle A,B rangle = tr(B^T P A)

 

Dimostrare che langle , rangle è un prodotto scalare definito positivo, esplicitare la norma indotta e calcolare le norme delle matrici

 

C = [2 1 ;-1 1] ; D = [0 -1 ; 1 -1] ; E = [3 -2 ;-1 3]

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolare le norme di alcuni vettori con prodotto scalare non euclideo

 

II) Prodotto scalare definito positivo, norma indotta e normalizzazione di un vettore

 

III) Normalizzazione di un vettore rispetto a un prodotto scalare definito da una matrice

 

IV) Stabilire se una base è ortonormale rispetto a un prodotto scalare non canonico

 

V) Ortonormalizzare una base ortogonale con prodotto scalare non canonico

 

VI) Matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una base ortonormale

 

VII) Prodotto scalare in uno spazio di polinomi: definita positività, norma indotta e normalizzazione di un polinomio

 

VIII) Prodotto scalare definito da un integrale: verifica, norma indotta e base ortonormale

 

IX) Norma indotta da un prodotto scalare definito positivo su uno spazio di matrici

 

X) Applicazione in uno spazio di matrici: verifica prodotto scalare definito positivo e norme di più matrici

 

 

Lezione correlata

 
 

Tags: scheda di esercizi svolti su definizione e calcolo della norma indotta da un prodotto scalare - esercizi di vario tipo sulla norma associata a un prodotto scalare.