Esercizi sui prodotti scalari qualsiasi

State leggendo la pagina di esercizi sui prodotti scalari, tutti risolti e spiegati nel dettaglio. Attenzione perché qui ci occupiamo di prodotti scalari qualsiasi e non solamente del prodotto scalare euclideo; se foste interessati a quest'ultimo, potete ripartire dall'omonima lezione del corso su matrici e vettori e passare successivamente alla scheda di esercizi correlati.

 

Gli esercizi proposti in questa scheda si riconducono alla teoria sui prodotti scalari qualsiasi che abbiamo presentato nelle seguenti lezioni:

 

prodotto scalare qualsiasi

 

matrice associata a un prodotto scalare

 

segno di un prodotto scalare 

 

prodotto scalare degenere e radicale di un prodotto scalare

 

Prima di procedere alla risoluzione vi raccomandiamo quindi di leggerle in blocco, in modo da avere un quadro completo sulle definizioni e sui metodi di risoluzione degli esercizi, nonché di consultare svariati esempi risolti.

 

Esercizi risolti sui prodotti scalari qualsiasi: definizione, matrice associata, segno e radicale

 

I) Date le seguenti applicazioni

 

F_1, F_2, F_3 : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

 

stabilire se sono prodotti scalari o forme bilineari, motivando le risposte.

 

\\ F_1((x_1,x_2), (y_1,y_2)) = x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_1-x_2y_2 \\ \\ F_2((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 2x_1y_1 - 7 x_2y_2 \\ \\ F_3((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 3x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1-x_2y_2

 

II) Si considerino i seguenti vettori di \mathbb{R}^3:

 

\mathbf{v}_1=(1,0,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=\left(0,\frac{1}{2},1\right)

 

1) Verificare che \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} è una base di \mathbb{R}^3.

 

2) Verificare che l'applicazione \varphi: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} definita da

 

\varphi((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = x_1y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+2x_3y_3

 

è un prodotto scalare su \mathbb{R}^3.

 

3) Stabilire se \mathcal{B} è una base ortogonale rispetto al prodotto scalare \varphi.

 

III) Siano \mathcal{B} la base di \mathbb{R}^3 formata dai vettori

 

\mathbf{v}_1=(-1,0,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,1,0)

 

e g: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} il prodotto scalare dato da:

 

g(\mathbf{x}, \mathbf{y})=4x_1 y_1+2 x_2 y_2 -3 x_2 y_3 -3 x_3 y_2+9 x_3 y_3

 

1) Calcolare la matrice A_{\mathcal{B}} rappresentativa di g rispetto a \mathcal{B} e la matrice A_{\mathcal{C}} che rappresenta g rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3.

 

2) Dimostrare che A_{\mathcal{B}}, A_{\mathcal{C}} sono matrici congruenti.

 

IV) Sia V=\mathbb{R}_1[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a uno a coefficienti reali, e si consideri il prodotto scalare g: V \times V \to \mathbb{R} definito da

 

g(a_0+a_1x, \ b_0+b_1x) = a_0b_0 + a_0b_1 + a_1b_0 + 2a_1b_1

 

Calcolare la matrice che rappresenta g rispetto alla base \mathcal{B}=\{2,1+x\} di V.

 

V) Siano V uno spazio vettoriale reale di dimensione n, \langle \ , \ \rangle un prodotto scalare su V e \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base ortogonale di V rispetto a \langle \ , \ \rangle.

 

Dimostrare che la matrice associata a \langle \ , \ \rangle rispetto a \mathcal{B} è una matrice diagonale.

 

VI) Sia dato il prodotto scalare \langle \ , \ \rangle : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} tale che

 

\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+x_2y_2

 

Si stabilisca se è definito positivo, definito negativo, semidefinito positivo, semidefinito negativo o indefinito usando la definizione e ricorrendo al calcolo degli autovalori della matrice associata.

 

VII) Stabilire se il prodotto scalare \langle \ , \ \rangle : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} tale che

 

\langle \mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle = 4x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+8x_3y_3

 

è definito positivo, motivando la risposta.

 

VIII) Siano k un parametro reale e \langle \ , \ \rangle : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} il prodotto scalare definito da

 

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = kx_1y_1+kx_2y_2+kx_3y_3+2x_1y_3-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2

 

Studiarne il segno al variare di k \in \mathbb{R} evidenziando i valori di k per cui è indefinito.

 

IX) Verificare che il prodotto scalare \langle \ , \ \rangle definito da

 

\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = -2x_1y_2+x_1y_2+2x_1y_3+x_2y_1+3x_2y_2-x_2y_3+2x_3y_1-x_3y_2+5x_3y_3

 

è indefinito e non degenere.

 

X) Calcolare la dimensione e una base del nucleo del prodotto scalare \langle \ , \ \rangle:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} tale che:

 

\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = x_1y_1+2x_2y_2+8x_3y_3-4x_2y_3-4x_3y_2

 

XI) Si consideri il prodotto scalare \langle \ , \ \rangle di \mathbb{R}^3 la cui matrice associata rispetto alla base canonica è

 

A=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}

 

1) Studiare la definitezza del prodotto scalare.

 

2) Determinare la dimensione e una base del suo nucleo.

 

3) Trovare un vettore non nullo \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 tale che \langle \mathbf{v} , \mathbf{v}\rangle=0.

 

XII) Sia data l'applicazione \langle \ , \ \rangle : \mathbb{R}^4 \times \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} definita da

 

\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \rangle = v_1w_1+2v_1w_2+2v_2w_1+4v_2w_2+4v_3w_3+2v_3w_4+2v_4w_3+v_4w_4

 

(a) Verifica che \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare su \mathbb{R}^4.

 

(b) Scrivi la matrice associata a \langle \ , \ \rangle rispetto a una base a tua scelta.

 

(c) Studia il segno del prodotto scalare.

 

(d) Stabilisci se \langle \ , \ \rangle è degenere e, se lo è, calcola una base del radicale.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio sulla definizione di prodotto scalare e differenza con una forma bilineare

 

II) Base ortogonale rispetto a un prodotto scalare

 

III) Calcolo della matrice associata a un prodotto scalare

 

IV) Matrice associata a un prodotto scalare su uno spazio di polinomi

 

V) Matrice associata a un prodotto scalare rispetto a una base ortogonale

 

VI) Calcolo del segno di un prodotto scalare con la definizione e con la matrice associata

 

VII) Stabilire se un prodotto scalare è definito positivo

 

VIII) Prodotto scalare indefinito con parametro

 

IX) Prodotto scalare indefinito e non degenere

 

X) Dimensione e base del nucleo di un prodotto scalare

 

XI) Vettore che annulla un prodotto scalare definito da una matrice

 

XII) Esercizio di riepilogo sul prodotto scalare: verifica, matrice associata, segno e radicale

 

 

Lezione correlata

 
 

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