Esercizi sulle forme bilineari

Benvenuti nella scheda di esercizi svolti sulle forme bilineari! Tutti gli esercizi proposti in questa pagina sono interamente risolti e spiegati in ogni singolo passaggio, con tutti i calcoli necessari e le osservazioni teoriche necessarie per arrivare alla soluzione.

 

Gli esercizi sulle forme bilineari coinvolgono diverse tipologie di tracce, ordinate per difficoltà crescente, con lo scopo di fornire una panoramica completa sulle principali richieste d'esame. Tra queste la verifica della definizione per varie tipologie di applicazioni, il calcolo della matrice associata a una forma bilineare e la classificazione dei vari tipi di forme bilineari. Anche se l'argomento potrebbe sembrare astratto vi raccomandiamo di non sottovalutarlo, in quanto estremamente propedeutico per i successivi sviluppi della teoria. ;)

 

Per un ripasso completo sulle forme bilineari - con definizioni, esempi svolti e tecniche di risoluzione degli esercizi - potete leggere la lezione correlata. ;)

 

Esercizi risolti sulle forme bilineari

 

I) Stabilire se le seguenti applicazioni sono forme bilineari su \mathbb{R}^2, motivando le risposte.

 

\\ G((x_1,x_2), \ (y_1,y_2)) = x_1y_1 - x_2y_1 + 2x_1y_2 \\ \\ T((x_1,x_2), \ (y_1,y_2)) = 2x_1y_1 - 3x_2y_2 + 2

 

II) Sia V=\mathbb{R}_2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 2. Verificare che l'applicazione F:V \times V \to \mathbb{R} data da

 

F(p(x), q(x)) = p(0)q(0)-p'(0)q'(1)

 

è una forma bilineare su \mathbb{R}_2[x].

 

III) Siano V=M_3(\mathbb{R}) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 3 a elementi reali e F: V \times V \to \mathbb{R} l'applicazione definita da

 

F(A,B)=a_{11}b_{11}+a_{33}b_{22}

 

dove, per ogni i,j \in \{1,2,3\}, il termine a_{ij} denota l'elemento di A che occupa la posizione (i,j) e b_{ij} è il termine di B nella posizione (i,j).

 

Stabilire se F è una forma bilineare su V.

 

IV) Si consideri la forma bilineare F:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} definita da

 

F(\mathbf{x}, \mathbf{y})=(-3x_1+x_2)y_1+(x_1+2x_2-x_3)y_2-(x_2+x_3)y_3

 

Si determini la matrice associata a F rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3.

 

V) Siano \mathcal{C} la base canonica di \mathbb{R}^3 e \mathcal{B} la base formata dai vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(0,1,2)

 

Sia data la seguente forma bilineare su \mathbb{R}^3

 

F(\mathbf{x}, \mathbf{y})=x_1y_1-x_1y_2-2x_1y_3+3x_2y_2+5x_2y_3+2x_3y_3

 

1) Calcolare la matrice A_F^{\mathcal{B}} associata a F rispetto a \mathcal{B} e la matrice A_F^{\mathcal{C}} che rappresenta F rispetto alla base canonica.

 

2) Dimostrare che A_F^{\mathcal{B}},A_F^{\mathcal{C}} sono matrici congruenti.

 

VI) Sia data l'applicazione T:\mathbb{R}_2[x] \times \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x] definita da:

 

T(p(x), q(x)) = p'(0)q(1)+p'(1)q(0)

 

Calcolare la matrice associata a T rispetto a una base di \mathbb{R}_2[x] a libera scelta.

 

T è degenere?

 

VII) Scrivere la forma bilineare F definita dalla seguente matrice di ordine 3 riferita alla base canonica di \mathbb{R}^3:

 

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & -2\end{pmatrix}

 

VIII) Si considerino la base \mathcal{B} di \mathbb{R}^3 formata dai vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,-1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,-1,1)

 

e sia F una forma bilineare su \mathbb{R}^3 la cui matrice associata rispetto a \mathcal{B} è

 

A_F^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}

 

Si calcoli la matrice rappresentativa di F riferita alla base canonica di \mathbb{R}^3.

 

IX) Stabilire se esiste una forma bilineare simmetrica e degenere F su \mathbb{R}_2[x] tale che:

 

\\ F(1,1)=10 \ \ ; \ \ F(x,x)=1 \\ \\ F(x^2,x^2)=1 \ \ ; \ \ F(x,x^2)=0 \\ \\ F(1,x^2)=1

 

X) Siano B la seguente matrice quadrata di ordine due

 

B=\begin{pmatrix}1&0 \\ 1&1\end{pmatrix}

 

e F:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} la forma bilineare definita come segue:

 

F(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\mathbf{x}^T A \mathbf{y}\\ \\ \mbox{dove }A=B^TB-BB^T

 

1) Calcolare gli autovalori di A e stabilire se è una matrice diagonalizzabile.

 

2) Descrivere i seguenti insiemi:

 

\\ V_1=\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 \ | \ F(\mathbf{x}, \mathbf{x})=1\} \\ \\ V_2=\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 \ | \ F(\mathbf{x}, \mathbf{x})=-1\}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Studio della bilinearità di due applicazioni su R^2

 

II) Verificare che un'applicazione su uno spazio di polinomi è una forma bilineare

 

III) Stabilire se un'applicazione definita su uno spazio di matrici è una forma bilineare

 

IV) Esercizio sul calcolo della matrice rappresentativa di una forma bilineare

 

V) Matrice associata a una forma bilineare rispetto a una base non canonica

 

VI) Determinare la matrice associata a una forma bilineare definita su uno spazio di polinomi

 

VII) Forma bilineare definita da una matrice

 

VIII) Cambiamento di base e matrice associata a una forma bilineare

 

IX) Esistenza di una forma bilineare simmetrica degenere su uno spazio di polinomi

 

X) Descrivere due insiemi definiti da una forma bilineare

 

 

Lezione correlata

 
 

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