Esercizi su endomorfismi diagonalizzabili e basi di autovettori
State leggendo la scheda di esercizi su endomorfismi diagonalizzabili e su basi di autovettori: sono tutti risolti e spiegati nel dettaglio, nonché ordinati per livelli crescenti di difficoltà.
Prima di affrontare le tracce sullo studio della diagonalizzabilità degli endomorfismi e sul calcolo di una base di autovettori, è essenziale aver risolto gli esercizi su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo. Nel caso vi raccomandiamo di ripartire da lì, e all'occorrenza di dare un'occhiata alla relativa lezione.
Per quanto riguarda endomorfismi diagonalizzabili e basi di autovettori, invece, e in particolare per definizioni, metodi di svolgimento ed esempi risolti, vi rimandiamo alla lezione dell'omonimo link.
Esercizi svolti su endomorfismi diagonalizzabili e sul calcolo di una base di autovettori
I) Sia dato l'operatore lineare definito da
Stabilire se è iniettivo e/o suriettivo e se è diagonalizzabile.
II) Sia l'endomorfismo tale che
a) Calcolare gli autovalori di ;
b) calcolare gli autospazi di ;
c) dire se è diagonalizzabile e giustificare la risposta.
III) Sia l'endomorfismo dato da
Se possibile, diagonalizzare specificando qual è una matrice diagonalizzante.
IV) Laddove fosse possibile calcolare una base di formata da autovettori dell'endomorfismo
definito da
V) Siano e
l'endomorfismo definito da:
Stabilire per quali valori di l'operatore
è semplice, ossia diagonalizzabile.
VI) Siano un parametro reale,
una base di
e
l'endomorfismo tale che:
Calcolare gli autovalori di e determinare gli eventuali valori di
per cui
è diagonalizzabile.
VII) Si consideri l'operatore lineare tra spazi di polinomi definito da:
1) Scrivere la matrice associata a rispetto alla base canonica di
.
2) Calcolare la dimensione e una base di nucleo e immagine, rispettivamente e di
.
3) Determinare gli autovalori di con le proprie molteplicità algebriche e geometriche.
4) Stabilire se è diagonalizzabile, motivando la risposta.
VIII) Data la matrice
e detto lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali, si consideri l'endomorfismo
definito da
1) Calcolare la matrice associata a rispetto alla base canonica di
.
2) Determinare la dimensione e una base sia del nucleo che dell'immagine di .
3) Calcolare gli autovalori di con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche.
4) Stabilire se è diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare una base di autovettori.
IX) Siano un numero reale e
un'applicazione lineare tale che
Supposto che sia un endomorfismo di
, determinare
e dire se
è diagonalizzabile.
X) Sia l'operatore lineare definito dalle seguenti condizioni:
- il vettore è l'autovettore di autovalore
;
- il vettore è l'autovettore di autovalore
;
- il nucleo dell'applicazione è il sottospazio definito dalle equazioni
1. Determinare la matrice rispetto alla base standard di
presa come base di partenza e di arrivo.
2. Determinare una base dell'immagine di .
3. Dire se è un endomorfismo diagonalizzabile.
Svolgimenti e soluzioni
I) Diagonalizzazione di un operatore lineare
II) Calcolare autovalori e autospazi di un endomorfismo e stabilire se è diagonalizzabile
III) Calcolare la matrice diagonalizzante di un endomorfismo
IV) Determinare una base di autovettori di un endomorfismo
V) Valori di un parametro per cui un endomorfismo è semplice
VI) Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo parametrico definito per immagini
VIII) Nucleo, immagine e studio della diagonalizzabilità di un'applicazione tra spazi di matrici
IX) Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo definito per immagini
X) Diagonalizzazione di un endomorfismo, nucleo e immagine
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