Esercizi su endomorfismi diagonalizzabili e basi di autovettori

State leggendo la scheda di esercizi su endomorfismi diagonalizzabili e su basi di autovettori: sono tutti risolti e spiegati nel dettaglio, nonché ordinati per livelli crescenti di difficoltà.

 

Prima di affrontare le tracce sullo studio della diagonalizzabilità degli endomorfismi e sul calcolo di una base di autovettori, è essenziale aver risolto gli esercizi su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo. Nel caso vi raccomandiamo di ripartire da lì, e all'occorrenza di dare un'occhiata alla relativa lezione.

 

Per quanto riguarda endomorfismi diagonalizzabili e basi di autovettori, invece, e in particolare per definizioni, metodi di svolgimento ed esempi risolti, vi rimandiamo alla lezione dell'omonimo link.

 

Esercizi svolti su endomorfismi diagonalizzabili e sul calcolo di una base di autovettori

 

I) Sia dato l'operatore lineare F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definito da

 

F(x,y,z)=(x, \ y+3z, \ x+y-z)

 

Stabilire se F è iniettivo e/o suriettivo e se è diagonalizzabile. 

 

II) Sia f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 l'endomorfismo tale che

 

f(x,y,z)=(2x+z, \ -x+y-z, \ z)

 

a) Calcolare gli autovalori di f;

 

b) calcolare gli autospazi di f;

 

c) dire se f è diagonalizzabile e giustificare la risposta.

 

III) Sia T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 l'endomorfismo dato da

 

T(x,y,z)=(2x+y, \ 3y, \ 2z)

 

Se possibile, diagonalizzare T specificando qual è una matrice diagonalizzante.

 

IV) Laddove fosse possibile calcolare una base di \mathbb{R}^4 formata da autovettori dell'endomorfismo F definito da

 

F(x,y,z,t)=(x+2y, \ x+2y, \ z, \ 2z+2t)

 

V) Siano h \in \mathbb{R} e f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 l'endomorfismo definito da:

 

f(x,y,z)=(hx+y+z, \ x-hy+z, \ z)

 

Stabilire per quali valori di h l'operatore f è semplice, ossia diagonalizzabile.

 

VI) Siano h un parametro reale, \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} una base di \mathbb{R}^3 e T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 l'endomorfismo tale che:

 

\\ T(\mathbf{v}_1)=h\mathbf{v}_1+(h-1)\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3 \\ \\ T(\mathbf{v}_2)=\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3 \\ \\ T(\mathbf{v_1+\mathbf{v}_2}+\mathbf{v}_3)=h \mathbf{v}_1+h\mathbf{v}_2+(h-1)\mathbf{v}_3

 

Calcolare gli autovalori di T e determinare gli eventuali valori di h per cui T è diagonalizzabile.

 

VII) Si consideri l'operatore lineare tra spazi di polinomi T:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x] definito da:

 

T(p(x))=p(2)-2p'(x)

 

1) Scrivere la matrice associata a T rispetto alla base canonica di \mathbb{R}_2[x].

 

2) Calcolare la dimensione e una base di nucleo e immagine, rispettivamente \mbox{Ker}(T) e di \mbox{Im}(T).

 

3) Determinare gli autovalori di T con le proprie molteplicità algebriche e geometriche.

 

4) Stabilire se T è diagonalizzabile, motivando la risposta.

 

VIII) Data la matrice

 

M=\begin{pmatrix}1 &0 \\ -1 & 3\end{pmatrix}

 

e detto M_2(\mathbb{R}) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali, si consideri l'endomorfismo T:M_2(\mathbb{R}) \to M_2(\mathbb{R}) definito da

 

T(X)=2X+MX

 

1) Calcolare la matrice associata a T rispetto alla base canonica di M_2(\mathbb{R}).

 

2) Determinare la dimensione e una base sia del nucleo che dell'immagine di T.

 

3) Calcolare gli autovalori di T con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche.

 

4) Stabilire se T è diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare una base di autovettori.

 

IX) Siano a un numero reale e f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 un'applicazione lineare tale che

 

\\ f(1,1,1)=(0,1,1) \\ \\ f(0,1,1)=(-1,-1,-1) \\ \\ f(2,2,0)=f(a,4,3) \\ \\ f(1,2,3)=(0,0,0)

 

Supposto che f sia un endomorfismo di \mathbb{R}^3, determinare a e dire se f è diagonalizzabile.

 

X) Sia F:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} l'operatore lineare definito dalle seguenti condizioni:

 

- il vettore (1,1,1,1) è l'autovettore di autovalore 2;

 

- il vettore (1,0,0,0) è l'autovettore di autovalore 1;

 

- il nucleo dell'applicazione \mbox{Ker}(F) è il sottospazio definito dalle equazioni

 

x_1+x_2=0 \ \ ; \ \ x_3+x_4=0

 

1. Determinare la matrice A_{F} rispetto alla base standard di \mathbb{R}^{4} presa come base di partenza e di arrivo.

 

2. Determinare una base dell'immagine di F.

 

3. Dire se F è un endomorfismo diagonalizzabile.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Diagonalizzazione di un operatore lineare

 

II) Calcolare autovalori e autospazi di un endomorfismo e stabilire se è diagonalizzabile

 

III) Calcolare la matrice diagonalizzante di un endomorfismo

 

IV) Determinare una base di autovettori di un endomorfismo

 

V) Valori di un parametro per cui un endomorfismo è semplice

 

VI) Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo parametrico definito per immagini

 

VII) Matrice associata, nucleo, immagine, polinomio caratteristico e diagonalizzabilità di un endomorfismo tra spazi di polinomi

 

VIII) Nucleo, immagine e studio della diagonalizzabilità di un'applicazione tra spazi di matrici

 

IX) Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo definito per immagini

 

X) Diagonalizzazione di un endomorfismo, nucleo e immagine

 

 

Lezione correlata

 
 

Tags: scheda di esercizi risolti sugli endomorfismi diagonalizzabili - esercizi svolti sul calcolo di una base di autovettori di un endomorfismo.