Esercizi su endomorfismi diagonalizzabili e basi di autovettori

State leggendo la scheda di esercizi su endomorfismi diagonalizzabili e su basi di autovettori: sono tutti risolti e spiegati nel dettaglio, nonché ordinati per livelli crescenti di difficoltà.

Prima di affrontare le tracce sullo studio della diagonalizzabilità degli endomorfismi e sul calcolo di una base di autovettori, è essenziale aver risolto gli esercizi su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo. Nel caso vi raccomandiamo di ripartire da lì, e all'occorrenza di dare un'occhiata alla relativa lezione.

Per quanto riguarda endomorfismi diagonalizzabili e basi di autovettori, invece, e in particolare per definizioni, metodi di svolgimento ed esempi risolti, vi rimandiamo alla lezione dell'omonimo link.

Esercizi svolti su endomorfismi diagonalizzabili e sul calcolo di una base di autovettori

I) Sia dato l'operatore lineare $F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definito da

$F(x,y,z)=(x, \ y+3z, \ x+y-z)$

Stabilire se è iniettivo e/o suriettivo e se è diagonalizzabile.

II) Sia $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ l'endomorfismo tale che

$f(x,y,z)=(2x+z, \ -x+y-z, \ z)$

a) Calcolare gli autovalori di ;

b) calcolare gli autospazi di ;

c) dire se è diagonalizzabile e giustificare la risposta.

III) Sia $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ l'endomorfismo dato da

$T(x,y,z)=(2x+y, \ 3y, \ 2z)$

Se possibile, diagonalizzare specificando qual è una matrice diagonalizzante.

IV) Laddove fosse possibile calcolare una base di $\mathbb{R}^4$ formata da autovettori dell'endomorfismo definito da

$F(x,y,z,t)=(x+2y, \ x+2y, \ z, \ 2z+2t)$

V) Siano $h \in \mathbb{R}$ e $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ l'endomorfismo definito da:

$f(x,y,z)=(hx+y+z, \ x-hy+z, \ z)$

Stabilire per quali valori di l'operatore è semplice, ossia diagonalizzabile.

VI) Siano un parametro reale, $\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$ una base di $\mathbb{R}^3$ e $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ l'endomorfismo tale che:

$\\ T(\mathbf{v}_1)=h\mathbf{v}_1+(h-1)\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3 \\ \\ T(\mathbf{v}_2)=\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3 \\ \\ T(\mathbf{v_1+\mathbf{v}_2}+\mathbf{v}_3)=h \mathbf{v}_1+h\mathbf{v}_2+(h-1)\mathbf{v}_3$

Calcolare gli autovalori di e determinare gli eventuali valori di per cui è diagonalizzabile.

VII) Si consideri l'operatore lineare tra spazi di polinomi $T:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x]$ definito da:

1) Scrivere la matrice associata a rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}_2[x]$ .

2) Calcolare la dimensione e una base di nucleo e immagine, rispettivamente $\mbox{Ker}(T)$ e di $\mbox{Im}(T)$ .

3) Determinare gli autovalori di con le proprie molteplicità algebriche e geometriche.

4) Stabilire se è diagonalizzabile, motivando la risposta.

VIII) Data la matrice

$M=\begin{pmatrix}1 &0 \\ -1 & 3\end{pmatrix}$

e detto $M_2(\mathbb{R})$ lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali, si consideri l'endomorfismo $T:M_2(\mathbb{R}) \to M_2(\mathbb{R})$ definito da

1) Calcolare la matrice associata a rispetto alla base canonica di $M_2(\mathbb{R})$ .

2) Determinare la dimensione e una base sia del nucleo che dell'immagine di .

3) Calcolare gli autovalori di con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche.

4) Stabilire se è diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare una base di autovettori.

IX) Siano un numero reale e $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ un'applicazione lineare tale che

$\\ f(1,1,1)=(0,1,1) \\ \\ f(0,1,1)=(-1,-1,-1) \\ \\ f(2,2,0)=f(a,4,3) \\ \\ f(1,2,3)=(0,0,0)$

Supposto che sia un endomorfismo di $\mathbb{R}^3$ , determinare e dire se è diagonalizzabile.

X) Sia $F:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4}$ l'operatore lineare definito dalle seguenti condizioni:

- il vettore è l'autovettore di autovalore ;

- il nucleo dell'applicazione $\mbox{Ker}(F)$ è il sottospazio definito dalle equazioni

$x_1+x_2=0 \ \ ; \ \ x_3+x_4=0$

1. Determinare la matrice $A_{F}$ rispetto alla base standard di $\mathbb{R}^{4}$ presa come base di partenza e di arrivo.

2. Determinare una base dell'immagine di .

3. Dire se è un endomorfismo diagonalizzabile.

Svolgimenti e soluzioni

I) Diagonalizzazione di un operatore lineare

II) Calcolare autovalori e autospazi di un endomorfismo e stabilire se è diagonalizzabile

III) Calcolare la matrice diagonalizzante di un endomorfismo

IV) Determinare una base di autovettori di un endomorfismo

V) Valori di un parametro per cui un endomorfismo è semplice

VI) Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo parametrico definito per immagini

VII) Matrice associata, nucleo, immagine, polinomio caratteristico e diagonalizzabilità di un endomorfismo tra spazi di polinomi

VIII) Nucleo, immagine e studio della diagonalizzabilità di un'applicazione tra spazi di matrici

IX) Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo definito per immagini

X) Diagonalizzazione di un endomorfismo, nucleo e immagine

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