Esercizi su endomorfismi diagonalizzabili e basi di autovettori

State leggendo la scheda di esercizi su endomorfismi diagonalizzabili e su basi di autovettori: sono tutti risolti e spiegati nel dettaglio, nonché ordinati per livelli crescenti di difficoltà.

 

Prima di affrontare le tracce sullo studio della diagonalizzabilità degli endomorfismi e sul calcolo di una base di autovettori, è essenziale aver risolto gli esercizi su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo. Nel caso vi raccomandiamo di ripartire da lì, e all'occorrenza di dare un'occhiata alla relativa lezione.

 

Per quanto riguarda endomorfismi diagonalizzabili e basi di autovettori, invece, e in particolare per definizioni, metodi di svolgimento ed esempi risolti, vi rimandiamo alla lezione dell'omonimo link.

 

Esercizi svolti su endomorfismi diagonalizzabili e sul calcolo di una base di autovettori

 

I) Sia dato l'operatore lineare F:R^3 → R^3 definito da

 

F(x,y,z) = (x, y+3z, x+y-z)

 

Stabilire se F è iniettivo e/o suriettivo e se è diagonalizzabile. 

 

II) Sia f:R^3 → R^3 l'endomorfismo tale che

 

f(x,y,z) = (2x+z, -x+y-z, z)

 

a) Calcolare gli autovalori di f;

 

b) calcolare gli autospazi di f;

 

c) dire se f è diagonalizzabile e giustificare la risposta.

 

III) Sia T:R^3 → R^3 l'endomorfismo dato da

 

T(x,y,z) = (2x+y, 3y, 2z)

 

Se possibile, diagonalizzare T specificando qual è una matrice diagonalizzante.

 

IV) Laddove fosse possibile calcolare una base di R^4 formata da autovettori dell'endomorfismo F definito da

 

F(x,y,z,t) = (x+2y, x+2y, z, 2z+2t)

 

V) Siano h ∈ R e f:R^3 → R^3 l'endomorfismo definito da:

 

f(x,y,z) = (hx+y+z, x-hy+z, z)

 

Stabilire per quali valori di h l'operatore f è semplice, ossia diagonalizzabile.

 

VI) Siano h un parametro reale, mathcalB = v_1, v_2, v_3 una base di R^3 e T:R^3 → R^3 l'endomorfismo tale che:

 

 T(v_1) = hv_1+(h-1)v_2-v_3 ; T(v_2) = v_2+v_3 ; T(v_1+ mathbfv_2+v_3) = h v_1+hv_2+(h-1)v_3

 

Calcolare gli autovalori di T e determinare gli eventuali valori di h per cui T è diagonalizzabile.

 

VII) Si consideri l'operatore lineare tra spazi di polinomi T:R_2[x] → R_2[x] definito da:

 

T(p(x)) = p(2)-2p'(x)

 

1) Scrivere la matrice associata a T rispetto alla base canonica di R_2[x].

 

2) Calcolare la dimensione e una base di nucleo e immagine, rispettivamente Ker(T) e di Im(T).

 

3) Determinare gli autovalori di T con le proprie molteplicità algebriche e geometriche.

 

4) Stabilire se T è diagonalizzabile, motivando la risposta.

 

VIII) Data la matrice

 

M = [1 0 ;-1 3]

 

e detto M_2(R) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali, si consideri l'endomorfismo T:M_2(R) → M_2(R) definito da

 

T(X) = 2X+MX

 

1) Calcolare la matrice associata a T rispetto alla base canonica di M_2(R).

 

2) Determinare la dimensione e una base sia del nucleo che dell'immagine di T.

 

3) Calcolare gli autovalori di T con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche.

 

4) Stabilire se T è diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare una base di autovettori.

 

IX) Siano a un numero reale e f: R^3 → R^3 un'applicazione lineare tale che

 

 f(1,1,1) = (0,1,1) ; f(0,1,1) = (-1,-1,-1) ; f(2,2,0) = f(a,4,3) ; f(1,2,3) = (0,0,0)

 

Supposto che f sia un endomorfismo di R^3, determinare a e dire se f è diagonalizzabile.

 

X) Sia F:R^(4) → R^(4) l'operatore lineare definito dalle seguenti condizioni:

 

- il vettore (1,1,1,1) è l'autovettore di autovalore 2;

 

- il vettore (1,0,0,0) è l'autovettore di autovalore 1;

 

- il nucleo dell'applicazione Ker(F) è il sottospazio definito dalle equazioni

 

x_1+x_2 = 0 ; x_3+x_4 = 0

 

1. Determinare la matrice A_(F) rispetto alla base standard di R^(4) presa come base di partenza e di arrivo.

 

2. Determinare una base dell'immagine di F.

 

3. Dire se F è un endomorfismo diagonalizzabile.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Diagonalizzazione di un operatore lineare

 

II) Calcolare autovalori e autospazi di un endomorfismo e stabilire se è diagonalizzabile

 

III) Calcolare la matrice diagonalizzante di un endomorfismo

 

IV) Determinare una base di autovettori di un endomorfismo

 

V) Valori di un parametro per cui un endomorfismo è semplice

 

VI) Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo parametrico definito per immagini

 

VII) Matrice associata, nucleo, immagine, polinomio caratteristico e diagonalizzabilità di un endomorfismo tra spazi di polinomi

 

VIII) Nucleo, immagine e studio della diagonalizzabilità di un'applicazione tra spazi di matrici

 

IX) Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo definito per immagini

 

X) Diagonalizzazione di un endomorfismo, nucleo e immagine

 

 

Lezione correlata

 
 

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