Esercizi su endomorfismi diagonalizzabili e basi di autovettori

State leggendo la scheda di esercizi su endomorfismi diagonalizzabili e su basi di autovettori: sono tutti risolti e spiegati nel dettaglio, nonché ordinati per livelli crescenti di difficoltà.

Prima di affrontare le tracce sullo studio della diagonalizzabilità degli endomorfismi e sul calcolo di una base di autovettori, è essenziale aver risolto gli esercizi su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo. Nel caso vi raccomandiamo di ripartire da lì, e all'occorrenza di dare un'occhiata alla relativa lezione.

Per quanto riguarda endomorfismi diagonalizzabili e basi di autovettori, invece, e in particolare per definizioni, metodi di svolgimento ed esempi risolti, vi rimandiamo alla lezione dell'omonimo link.

Esercizi svolti su endomorfismi diagonalizzabili e sul calcolo di una base di autovettori

I) Sia dato l'operatore lineare definito da

Stabilire se è iniettivo e/o suriettivo e se è diagonalizzabile. 

II) Sia l'endomorfismo tale che

a) Calcolare gli autovalori di ;

b) calcolare gli autospazi di ;

c) dire se è diagonalizzabile e giustificare la risposta.

III) Sia l'endomorfismo dato da

Se possibile, diagonalizzare specificando qual è una matrice diagonalizzante.

IV) Laddove fosse possibile calcolare una base di formata da autovettori dell'endomorfismo definito da

V) Siano e l'endomorfismo definito da:

Stabilire per quali valori di l'operatore è semplice, ossia diagonalizzabile.

VI) Siano un parametro reale, una base di e l'endomorfismo tale che:

Calcolare gli autovalori di e determinare gli eventuali valori di per cui è diagonalizzabile.

VII) Si consideri l'operatore lineare tra spazi di polinomi definito da:

1) Scrivere la matrice associata a rispetto alla base canonica di .

2) Calcolare la dimensione e una base di nucleo e immagine, rispettivamente e di .

3) Determinare gli autovalori di con le proprie molteplicità algebriche e geometriche.

4) Stabilire se è diagonalizzabile, motivando la risposta.

VIII) Data la matrice

e detto lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali, si consideri l'endomorfismo definito da

1) Calcolare la matrice associata a rispetto alla base canonica di .

2) Determinare la dimensione e una base sia del nucleo che dell'immagine di .

3) Calcolare gli autovalori di con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche.

4) Stabilire se è diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare una base di autovettori.

IX) Siano un numero reale e un'applicazione lineare tale che

Supposto che sia un endomorfismo di , determinare e dire se è diagonalizzabile.

X) Sia l'operatore lineare definito dalle seguenti condizioni:

- il vettore è l'autovettore di autovalore ;

- il vettore è l'autovettore di autovalore ;

- il nucleo dell'applicazione è il sottospazio definito dalle equazioni

1. Determinare la matrice rispetto alla base standard di presa come base di partenza e di arrivo.

2. Determinare una base dell'immagine di .

3. Dire se è un endomorfismo diagonalizzabile.

Svolgimenti e soluzioni

I) Diagonalizzazione di un operatore lineare

II) Calcolare autovalori e autospazi di un endomorfismo e stabilire se è diagonalizzabile

III) Calcolare la matrice diagonalizzante di un endomorfismo

IV) Determinare una base di autovettori di un endomorfismo

V) Valori di un parametro per cui un endomorfismo è semplice

VI) Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo parametrico definito per immagini

VII) Matrice associata, nucleo, immagine, polinomio caratteristico e diagonalizzabilità di un endomorfismo tra spazi di polinomi

VIII) Nucleo, immagine e studio della diagonalizzabilità di un'applicazione tra spazi di matrici

IX) Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo definito per immagini

X) Diagonalizzazione di un endomorfismo, nucleo e immagine

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