Esercizi su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo
Se avete già affrontato il corso su matrici e vettori presente su YouMath, le nozioni di autovalore e autovettore di una matrice vi saranno sicuramente già note; e se non vi siete persi le precedenti puntate del corso sulle applicazioni lineari, saprete di per certo del legame che sussiste tra matrici e applicazioni lineari...
Gli esercizi risolti su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo servono proprio ad affrontare l'argomento contemplando l'altra faccia della medaglia ;)
- se volete ripassare le definizioni e i metodi di risoluzione degli esercizi, nonché vedere alcuni esempi svolti, potete leggere la lezione su autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo;
- dopo aver finito qui, vi raccomandiamo di passare agli esercizi sugli endomorfismi diagonalizzabili.
Esercizi risolti sul calcolo di autovalori, autovettori e autospazi di endomorfismi
I) Si consideri l'applicazione lineare definita da
Verificare, usando la definizione, che i vettori
sono autovettori di relativi, rispettivamente, agli autovalori:
II) Sia l'endomorfismo di
tale che
Stabilire se il vettore
è un autovettore di e, in caso affermativo, calcolare l'autovalore corrispondente.
III) Calcolare autovalori e autovettori dell'endomorfismo definito da
IV) Si consideri l'endomorfismo dato da
Si determinino:
1) la matrice associata a rispetto alla base canonica di
;
2) gli autovalori di con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche;
3) gli autospazi relativi agli autovalori calcolati precedentemente.
V) Dato il seguente endomorfismo di :
calcolare la dimensione e una base del nucleo e dell'immagine di , i suoi autovalori e i rispettivi autovettori.
VI) Detto lo spazio vettoriale delle matrici
a elementi reali, si dimostri che l'applicazione
tale che
è un endomorfismo e si determinino autovalori e autovettori.
VII) Sia l'endomorfismo tra spazi di polinomi definito da
Calcolare autovalori, autospazi e autovettori di .
VIII) Calcolare, se esistono, i valori del parametro tali per cui il vettore
è un autovettore dell'endomorfismo definito da
IX) Sia l'applicazione lineare tale che
1) Stabilire se esiste e se è unica;
2) determinare la rappresentazione di per generica immagine;
3) calcolare le dimensioni del nucleo e dell'immagine di ;
4) è un automorfismo? Perché?
5) Trovare, se esistono, i valori del parametro tali che il vettore
è un autovettore per e calcolare gli autovalori corrispondenti.
X) Se possibile, si determini un'applicazione lineare tale che
sia un autovettore di
relativo autovalore
.
Svolgimenti e soluzioni
I) Verifica autovalori e autovettori di un'applicazione lineare con la definizione
II) Stabilire se un vettore è un autovettore di un endomorfismo definito per generica immagine
III) Determinare autovalori e autovettori di un endomorfismo
IV) Autovalori e autospazi di un endomorfismo di R^4
V) Calcolare nucleo, immagine, autovalori e autovettori di un endomorfismo
VI) Autovalori e autovettori di un endomorfismo tra spazi di matrici
VII) Determinare autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo tra spazi di polinomi
VIII) Calcolare i valori di un parametro per cui un vettore è un autovettore di un endomorfismo
IX) Dimensioni del nucleo e dell'immagine e valori di un parametro per cui un vettore è un autovettore
X) Determinare un'applicazione lineare essendo noti un autovettore e il relativo autovalore
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