Esercizi su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo

Se avete già affrontato il corso su matrici e vettori presente su YouMath, le nozioni di autovalore e autovettore di una matrice vi saranno sicuramente già note; e se non vi siete persi le precedenti puntate del corso sulle applicazioni lineari, saprete di per certo del legame che sussiste tra matrici e applicazioni lineari...

Gli esercizi risolti su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo servono proprio ad affrontare l'argomento contemplando l'altra faccia della medaglia ;)

- se volete ripassare le definizioni e i metodi di risoluzione degli esercizi, nonché vedere alcuni esempi svolti, potete leggere la lezione su autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo;

- dopo aver finito qui, vi raccomandiamo di passare agli esercizi sugli endomorfismi diagonalizzabili.

Esercizi risolti sul calcolo di autovalori, autovettori e autospazi di endomorfismi

I) Si consideri l'applicazione lineare definita da

Verificare, usando la definizione, che i vettori

sono autovettori di relativi, rispettivamente, agli autovalori:

II) Sia l'endomorfismo di tale che

Stabilire se il vettore

è un autovettore di e, in caso affermativo, calcolare l'autovalore corrispondente.

III) Calcolare autovalori e autovettori dell'endomorfismo definito da

IV) Si consideri l'endomorfismo dato da

Si determinino:

1) la matrice associata a rispetto alla base canonica di ;

2) gli autovalori di con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche;

3) gli autospazi relativi agli autovalori calcolati precedentemente.

V) Dato il seguente endomorfismo di :

calcolare la dimensione e una base del nucleo e dell'immagine di , i suoi autovalori e i rispettivi autovettori.

VI) Detto lo spazio vettoriale delle matrici a elementi reali, si dimostri che l'applicazione tale che

è un endomorfismo e si determinino autovalori e autovettori.

VII) Sia l'endomorfismo tra spazi di polinomi definito da

Calcolare autovalori, autospazi e autovettori di .

VIII) Calcolare, se esistono, i valori del parametro tali per cui il vettore

è un autovettore dell'endomorfismo definito da

IX) Sia l'applicazione lineare tale che

1) Stabilire se esiste e se è unica;

2) determinare la rappresentazione di per generica immagine;

3) calcolare le dimensioni del nucleo e dell'immagine di ;

4) è un automorfismo? Perché?

5) Trovare, se esistono, i valori del parametro tali che il vettore

è un autovettore per e calcolare gli autovalori corrispondenti.

X) Se possibile, si determini un'applicazione lineare tale che sia un autovettore di relativo autovalore .

Svolgimenti e soluzioni

I) Verifica autovalori e autovettori di un'applicazione lineare con la definizione

II) Stabilire se un vettore è un autovettore di un endomorfismo definito per generica immagine

III) Determinare autovalori e autovettori di un endomorfismo

IV) Autovalori e autospazi di un endomorfismo di R^4

V) Calcolare nucleo, immagine, autovalori e autovettori di un endomorfismo

VI) Autovalori e autovettori di un endomorfismo tra spazi di matrici

VII) Determinare autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo tra spazi di polinomi

VIII) Calcolare i valori di un parametro per cui un vettore è un autovettore di un endomorfismo

IX) Dimensioni del nucleo e dell'immagine e valori di un parametro per cui un vettore è un autovettore

X) Determinare un'applicazione lineare essendo noti un autovettore e il relativo autovalore

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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