Esercizi su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo

Se avete già affrontato il corso su matrici e vettori presente su YouMath, le nozioni di autovalore e autovettore di una matrice vi saranno sicuramente già note; e se non vi siete persi le precedenti puntate del corso sulle applicazioni lineari, saprete di per certo del legame che sussiste tra matrici e applicazioni lineari...

Gli esercizi risolti su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo servono proprio ad affrontare l'argomento contemplando l'altra faccia della medaglia ;)

- se volete ripassare le definizioni e i metodi di risoluzione degli esercizi, nonché vedere alcuni esempi svolti, potete leggere la lezione su autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo;

- dopo aver finito qui, vi raccomandiamo di passare agli esercizi sugli endomorfismi diagonalizzabili.

Esercizi risolti sul calcolo di autovalori, autovettori e autospazi di endomorfismi

I) Si consideri l'applicazione lineare $F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definita da

$F(x,y,z)=(-2x+y, \ -2y, \ x+y)$

Verificare, usando la definizione, che i vettori

$\mathbf{v}_1=(0,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-2,0,1)$

sono autovettori di relativi, rispettivamente, agli autovalori:

$\lambda_1=0 \ \ ; \ \ \lambda_2=-2$

II) Sia l'endomorfismo di $\mathbb{R}^4$ tale che

$F(x_1,x_2,x_3,x_4) = (7x_1+2x_2+5x_4, \ 6x_1+3x_2+2x_4, \ 4x_1+2x_2+3x_3, \ 3x_4)$

Stabilire se il vettore

$\mathbf{v}_1=(1,-3,1,0)$

è un autovettore di e, in caso affermativo, calcolare l'autovalore corrispondente.

III) Calcolare autovalori e autovettori dell'endomorfismo $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definito da

$f(x,y,z)=(5x+11y+16z, \ 4x+3y+7z, \ -5x-7y-12z)$

IV) Si consideri l'endomorfismo $f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ dato da

$f(x,y,z,t)=(2x+y+z+t, \ 2y+z+t, \ z+t, \ z+t)$

Si determinino:

1) la matrice associata a rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^4$ ;

2) gli autovalori di con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche;

3) gli autospazi relativi agli autovalori calcolati precedentemente.

V) Dato il seguente endomorfismo di $\mathbb{R}^3$ :

$f(x,y,z)=(2x, \ 6x, \ 10x+2y+6z)$

calcolare la dimensione e una base del nucleo e dell'immagine di , i suoi autovalori e i rispettivi autovettori.

VI) Detto $V=Mat(3,2,\mathbb{R})$ lo spazio vettoriale delle matrici $3 \times 2$ a elementi reali, si dimostri che l'applicazione $T:V \to V$ tale che

$T\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{31} & a_{12} \\ a_{11} & a_{22} \\ a_{21} & a_{32}\end{pmatrix}$

è un endomorfismo e si determinino autovalori e autovettori.

VII) Sia $f:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x]$ l'endomorfismo tra spazi di polinomi definito da

Calcolare autovalori, autospazi e autovettori di .

VIII) Calcolare, se esistono, i valori del parametro $h \in \mathbb{R}$ tali per cui il vettore

$\mathbf{v}=(1,h,0)$

è un autovettore dell'endomorfismo $F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definito da

$F(x,y,z)=(-3x+2z, \ x+y-2z, \ z)$

IX) Sia $F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ l'applicazione lineare tale che

$\\ F(1,0,0)=(1,0,0) \\ \\ F(0,1,0)=(2,1,-1) \\ \\ F(0,0,1)=(0,2,-2)$

1) Stabilire se esiste e se è unica;

2) determinare la rappresentazione di per generica immagine;

3) calcolare le dimensioni del nucleo e dell'immagine di ;

4) è un automorfismo? Perché?

5) Trovare, se esistono, i valori del parametro $h \in \mathbb{R}$ tali che il vettore

$\mathbf{v}=(1, \ h+1, \ h+1)$

è un autovettore per e calcolare gli autovalori corrispondenti.

X) Se possibile, si determini un'applicazione lineare $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ tale che $\mathbf{e}_2$ sia un autovettore di relativo autovalore $\lambda_0=-7$ .

Svolgimenti e soluzioni

I) Verifica autovalori e autovettori di un'applicazione lineare con la definizione

II) Stabilire se un vettore è un autovettore di un endomorfismo definito per generica immagine

III) Determinare autovalori e autovettori di un endomorfismo

IV) Autovalori e autospazi di un endomorfismo di R^4

V) Calcolare nucleo, immagine, autovalori e autovettori di un endomorfismo

VI) Autovalori e autovettori di un endomorfismo tra spazi di matrici

VII) Determinare autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo tra spazi di polinomi

VIII) Calcolare i valori di un parametro per cui un vettore è un autovettore di un endomorfismo

IX) Dimensioni del nucleo e dell'immagine e valori di un parametro per cui un vettore è un autovettore

X) Determinare un'applicazione lineare essendo noti un autovettore e il relativo autovalore

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