Esercizi su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo

Se avete già affrontato il corso su matrici e vettori presente su YouMath, le nozioni di autovalore e autovettore di una matrice vi saranno sicuramente già note; e se non vi siete persi le precedenti puntate del corso sulle applicazioni lineari, saprete di per certo del legame che sussiste tra matrici e applicazioni lineari...

 

Gli esercizi risolti su autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo servono proprio ad affrontare l'argomento contemplando l'altra faccia della medaglia ;)

 

- se volete ripassare le definizioni e i metodi di risoluzione degli esercizi, nonché vedere alcuni esempi svolti, potete leggere la lezione su autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo;

 

- dopo aver finito qui, vi raccomandiamo di passare agli esercizi sugli endomorfismi diagonalizzabili.

 

Esercizi risolti sul calcolo di autovalori, autovettori e autospazi di endomorfismi

 

I) Si consideri l'applicazione lineare F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definita da

 

F(x,y,z)=(-2x+y, \ -2y, \ x+y)

 

Verificare, usando la definizione, che i vettori

 

\mathbf{v}_1=(0,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-2,0,1)

 

sono autovettori di F relativi, rispettivamente, agli autovalori:

 

\lambda_1=0 \ \ ; \ \ \lambda_2=-2

 

II) Sia F l'endomorfismo di \mathbb{R}^4 tale che

 

F(x_1,x_2,x_3,x_4) = (7x_1+2x_2+5x_4, \ 6x_1+3x_2+2x_4, \ 4x_1+2x_2+3x_3, \ 3x_4)

 

Stabilire se il vettore

 

\mathbf{v}_1=(1,-3,1,0)

 

è un autovettore di F e, in caso affermativo, calcolare l'autovalore corrispondente.

 

III) Calcolare autovalori e autovettori dell'endomorfismo f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definito da

 

f(x,y,z)=(5x+11y+16z, \ 4x+3y+7z, \ -5x-7y-12z)

 

IV) Si consideri l'endomorfismo f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 dato da

 

f(x,y,z,t)=(2x+y+z+t, \ 2y+z+t, \ z+t, \ z+t)

 

Si determinino:

 

1) la matrice associata a f rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^4;

 

2) gli autovalori di f con le rispettive molteplicità algebriche e geometriche;

 

3) gli autospazi relativi agli autovalori calcolati precedentemente.

 

V) Dato il seguente endomorfismo di \mathbb{R}^3:

 

f(x,y,z)=(2x, \ 6x, \ 10x+2y+6z)

 

calcolare la dimensione e una base del nucleo e dell'immagine di f, i suoi autovalori e i rispettivi autovettori.

 

VI) Detto V=Mat(3,2,\mathbb{R}) lo spazio vettoriale delle matrici 3 \times 2 a elementi reali, si dimostri che l'applicazione T:V \to V tale che

 

T\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{31} & a_{12} \\ a_{11} & a_{22} \\ a_{21} & a_{32}\end{pmatrix}

 

è un endomorfismo e si determinino autovalori e autovettori.

 

VII) Sia f:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x] l'endomorfismo tra spazi di polinomi definito da

 

f(a+bx+cx^2)=-b+ax+cx^2

 

Calcolare autovalori, autospazi e autovettori di f.

 

VIII) Calcolare, se esistono, i valori del parametro h \in \mathbb{R} tali per cui il vettore

 

\mathbf{v}=(1,h,0)

 

è un autovettore dell'endomorfismo F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definito da

 

F(x,y,z)=(-3x+2z, \ x+y-2z, \ z)

 

IX) Sia F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 l'applicazione lineare tale che

 

\\ F(1,0,0)=(1,0,0) \\ \\ F(0,1,0)=(2,1,-1) \\ \\ F(0,0,1)=(0,2,-2)

 

1) Stabilire se F esiste e se è unica;

 

2) determinare la rappresentazione di F per generica immagine;

 

3) calcolare le dimensioni del nucleo e dell'immagine di F;

 

4) F è un automorfismo? Perché?

 

5) Trovare, se esistono, i valori del parametro h \in \mathbb{R} tali che il vettore

 

\mathbf{v}=(1, \ h+1, \ h+1)

 

è un autovettore per F e calcolare gli autovalori corrispondenti.

 

X) Se possibile, si determini un'applicazione lineare T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 tale che \mathbf{e}_2 sia un autovettore di T relativo autovalore \lambda_0=-7.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Verifica autovalori e autovettori di un'applicazione lineare con la definizione

 

II) Stabilire se un vettore è un autovettore di un endomorfismo definito per generica immagine

 

III) Determinare autovalori e autovettori di un endomorfismo

 

IV) Autovalori e autospazi di un endomorfismo di R^4

 

V) Calcolare nucleo, immagine, autovalori e autovettori di un endomorfismo

 

VI) Autovalori e autovettori di un endomorfismo tra spazi di matrici

 

VII) Determinare autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo tra spazi di polinomi

 

VIII) Calcolare i valori di un parametro per cui un vettore è un autovettore di un endomorfismo

 

IX) Dimensioni del nucleo e dell'immagine e valori di un parametro per cui un vettore è un autovettore

 

X) Determinare un'applicazione lineare essendo noti un autovettore e il relativo autovalore

 

 

Lezione correlata

 
 

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