Esercizi sui tipi di omomorfismo

Nella lezione sui tipi di omomorfismi abbiamo spiegato la nomenclatura delle principali tipologie di applicazioni lineari, e abbiamo visto che nomi quali omomorfismo, endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo, automorfismo le classificano in base a dominio, codominio, iniettività e suriettività.

 

Gli esercizi svolti sui tipi di omomorfismo servono proprio a far prendere confidenza con questa terminologia e, al contempo, riprendono le nozioni che abbiamo studiato fino a qui nel corso dedicato alle applicazioni lineari.

 

Le tracce sono ordinate per difficoltà crescente e vi raccomandiamo di non lesinare con un ripasso puntuale degli argomenti su cui vi sentite meno preparati. Che altro aggiungere?... Buon lavoro! :)

 

Esercizi risolti su omomorfismi, endomorfismi, isomorfismi, monomorfismi ed epimorfismi

 

I) Sia f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 l'applicazione lineare definita da

 

f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(2x_1, x_2, 3x_3, 2x_4)

 

Verificare che f è un isomorfismo.

 

II) Dato l'endomorfismo f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 tale che

 

\\ f(1,1)=(2,3) \\ \\ f(1,3)=(-1,3)

 

stabilire se f esiste ed è unico e se è iniettivo e suriettivo.

 

III) Stabilire se ciascuna delle seguenti applicazioni da \mathbb{R}^3 in \mathbb{R}^3 è lineare e, in caso affermativo, dire se è iniettiva, suriettiva, invertibile e se è un automorfismo.

 

\\ f_1(x,y,z)=(2x+3z, \ 2y+z, \ x+y+2z) \\ \\ f_2(x,y,z)=(2x+3z+1, \ 2y+z-1, \ x+y+2z+2) \\ \\ f_3(x,y,z)=(2x+3z, \ 3y+z, \ 2x+2y+z)

 

IV) Detto \mathbb{R}_2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 nell'indeterminata x, sia T:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x] l'omomorfismo definito da

 

T(p(x))=p''(1)+3p(1)+p'(2)x+p'(1)x^2

 

(a) Fornire una rappresentazione di T per generica immagine;

 

(b) calcolare la matrice associata a T rispetto alla base canonica di \mathbb{R}_2[x];

 

(c) stabilire se T è un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo.

 

V) Si consideri l'applicazione lineare f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 definita da:

 

f(x,y,z)=(x+y+z, \ 2x+2y+z)

 

Si dica se le affermazioni che seguono sono vere o false, motivando le risposte.

 

(a) f è un monomorfismo;

 

(b) f è un epimorfismo;

 

(c) f è un isomorfismo.

 

VI) Siano V uno spazio vettoriale finitamente generato su \mathbb{R}, \mathcal{B} una base di V e F:V \to V un endomorfismo.

 

Detta A la matrice associata a F rispetto alla base \mathcal{B}, dimostrare che F è un automorfismo se e solo se il determinante di A è diverso da zero.

 

VII) Siano V,W due spazi vettoriali finitamente generati su un campo \mathbb{K} e si supponga che F:V \to W sia un epimorfismo. Dimostrare che \mbox{dim}(V) \ge \mbox{dim}(W).

 

VIII) Sia T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} una trasformazione lineare. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando le risposte.

 

(a) Se esiste \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2 tale che T(\mathbf{v})\neq 0, allora T è un epimorfismo;

 

(b) T non può essere un monomorfismo;

 

(c) se T è un epimorfismo, allora \mbox{Ker}(T)=\{\mathbf{0}\}.

 

IX) Si consideri l'applicazione lineare L:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 definita da

 

L(x,y,z)=(x+(h-1)y, \ (h-1)x+y+hz)

 

dove h è un parametro reale.

 

Scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio e stabilire per quali valori di h l'applicazione L è un epimorfismo, ossia è suriettiva.

 

X) Siano k un parametro reale e L_A l'applicazione lineare definita dalla matrice

 

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & k\end{pmatrix}

 

Calcolare, se esistono, i valori di k \in \mathbb{R} tali che L_A sia un isomorfismo.

 

XI) Sia f: \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^3 l'applicazione lineare tale che

 

f(p(x))=(p(0), \ p(k), \ p(1))

 

dove k è un parametro reale.

 

Calcolare i valori di k per cui f è un isomorfismo.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Verificare che un'applicazione lineare è un isomorfismo

 

II) Stabilire se un endomorfismo definito per immagini è iniettivo e/o suriettivo

 

III) Studio dell'iniettività, della suriettività e dell'invertibilità di più applicazioni lineari

 

IV) Applicazione lineare tra spazi di polinomi: matrice associata e studio del tipo di omomorfismo

 

V) Esercizio: classificazione di un omomorfismo

 

VI) Studio di un automorfismo dal determinante

 

VII) Dimensioni degli spazi vettoriali su cui è definito un epimorfismo

 

VIII) Quesito teorico su monomorfismi ed epimorfismi

 

IX) Studio della suriettività di un'applicazione lineare con parametro

 

X) Valori del parametro che rendono un'applicazione un isomorfismo

 

XI) Calcolare i valori di un parametro per cui un'applicazione definita su uno spazio di polinomi è un isomorfismo

 

 

Lezione correlata

 
 

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