Esercizi sui tipi di omomorfismo
Nella lezione sui tipi di omomorfismi abbiamo spiegato la nomenclatura delle principali tipologie di applicazioni lineari, e abbiamo visto che nomi quali omomorfismo, endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo, automorfismo le classificano in base a dominio, codominio, iniettività e suriettività.
Gli esercizi svolti sui tipi di omomorfismo servono proprio a far prendere confidenza con questa terminologia e, al contempo, riprendono le nozioni che abbiamo studiato fino a qui nel corso dedicato alle applicazioni lineari.
Le tracce sono ordinate per difficoltà crescente e vi raccomandiamo di non lesinare con un ripasso puntuale degli argomenti su cui vi sentite meno preparati. Che altro aggiungere?... Buon lavoro! :)
Esercizi risolti su omomorfismi, endomorfismi, isomorfismi, monomorfismi ed epimorfismi
I) Sia l'applicazione lineare definita da
Verificare che è un isomorfismo.
II) Dato l'endomorfismo tale che
stabilire se esiste ed è unico e se è iniettivo e suriettivo.
III) Stabilire se ciascuna delle seguenti applicazioni da in
è lineare e, in caso affermativo, dire se è iniettiva, suriettiva, invertibile e se è un automorfismo.
IV) Detto lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 nell'indeterminata
, sia
l'omomorfismo definito da
(a) Fornire una rappresentazione di per generica immagine;
(b) calcolare la matrice associata a rispetto alla base canonica di
;
(c) stabilire se è un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo.
V) Si consideri l'applicazione lineare definita da:
Si dica se le affermazioni che seguono sono vere o false, motivando le risposte.
(a) è un monomorfismo;
(b) è un epimorfismo;
(c) è un isomorfismo.
VI) Siano uno spazio vettoriale finitamente generato su
,
una base di
e
un endomorfismo.
Detta la matrice associata a
rispetto alla base
, dimostrare che
è un automorfismo se e solo se il determinante di
è diverso da zero.
VII) Siano due spazi vettoriali finitamente generati su un campo
e si supponga che
sia un epimorfismo. Dimostrare che
.
VIII) Sia una trasformazione lineare. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando le risposte.
(a) Se esiste tale che
, allora
è un epimorfismo;
(b) non può essere un monomorfismo;
(c) se è un epimorfismo, allora
.
IX) Si consideri l'applicazione lineare definita da
dove è un parametro reale.
Scrivere la matrice rappresentativa di rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio e stabilire per quali valori di
l'applicazione
è un epimorfismo, ossia è suriettiva.
X) Siano un parametro reale e
l'applicazione lineare definita dalla matrice
Calcolare, se esistono, i valori di tali che
sia un isomorfismo.
XI) Sia l'applicazione lineare tale che
dove è un parametro reale.
Calcolare i valori di per cui
è un isomorfismo.
Svolgimenti e soluzioni
I) Verificare che un'applicazione lineare è un isomorfismo
II) Stabilire se un endomorfismo definito per immagini è iniettivo e/o suriettivo
III) Studio dell'iniettività, della suriettività e dell'invertibilità di più applicazioni lineari
IV) Applicazione lineare tra spazi di polinomi: matrice associata e studio del tipo di omomorfismo
V) Esercizio: classificazione di un omomorfismo
VI) Studio di un automorfismo dal determinante
VII) Dimensioni degli spazi vettoriali su cui è definito un epimorfismo
VIII) Quesito teorico su monomorfismi ed epimorfismi
IX) Studio della suriettività di un'applicazione lineare con parametro
X) Valori del parametro che rendono un'applicazione un isomorfismo
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