Esercizi sui tipi di omomorfismo

Nella lezione sui tipi di omomorfismi abbiamo spiegato la nomenclatura delle principali tipologie di applicazioni lineari, e abbiamo visto che nomi quali omomorfismo, endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo, automorfismo le classificano in base a dominio, codominio, iniettività e suriettività.

Gli esercizi svolti sui tipi di omomorfismo servono proprio a far prendere confidenza con questa terminologia e, al contempo, riprendono le nozioni che abbiamo studiato fino a qui nel corso dedicato alle applicazioni lineari.

Le tracce sono ordinate per difficoltà crescente e vi raccomandiamo di non lesinare con un ripasso puntuale degli argomenti su cui vi sentite meno preparati. Che altro aggiungere?... Buon lavoro! :)

Esercizi risolti su omomorfismi, endomorfismi, isomorfismi, monomorfismi ed epimorfismi

I) Sia $f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ l'applicazione lineare definita da

Verificare che è un isomorfismo.

II) Dato l'endomorfismo $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ tale che

$\\ f(1,1)=(2,3) \\ \\ f(1,3)=(-1,3)$

stabilire se esiste ed è unico e se è iniettivo e suriettivo.

III) Stabilire se ciascuna delle seguenti applicazioni da $\mathbb{R}^3$ in $\mathbb{R}^3$ è lineare e, in caso affermativo, dire se è iniettiva, suriettiva, invertibile e se è un automorfismo.

$\\ f_1(x,y,z)=(2x+3z, \ 2y+z, \ x+y+2z) \\ \\ f_2(x,y,z)=(2x+3z+1, \ 2y+z-1, \ x+y+2z+2) \\ \\ f_3(x,y,z)=(2x+3z, \ 3y+z, \ 2x+2y+z)$

IV) Detto $\mathbb{R}_2[x]$ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 nell'indeterminata , sia $T:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x]$ l'omomorfismo definito da

(a) Fornire una rappresentazione di per generica immagine;

(b) calcolare la matrice associata a rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}_2[x]$ ;

V) Si consideri l'applicazione lineare $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ definita da:

$f(x,y,z)=(x+y+z, \ 2x+2y+z)$

Si dica se le affermazioni che seguono sono vere o false, motivando le risposte.

(a) è un monomorfismo;

(b) è un epimorfismo;

VI) Siano uno spazio vettoriale finitamente generato su $\mathbb{R}$ , $\mathcal{B}$ una base di e $F:V \to V$ un endomorfismo.

Detta la matrice associata a rispetto alla base $\mathcal{B}$ , dimostrare che è un automorfismo se e solo se il determinante di è diverso da zero.

VII) Siano due spazi vettoriali finitamente generati su un campo $\mathbb{K}$ e si supponga che $F:V \to W$ sia un epimorfismo. Dimostrare che $\mbox{dim}(V) \ge \mbox{dim}(W)$ .

VIII) Sia $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una trasformazione lineare. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando le risposte.

(a) Se esiste $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$ tale che $T(\mathbf{v})\neq 0$ , allora è un epimorfismo;

(b) non può essere un monomorfismo;

IX) Si consideri l'applicazione lineare $L:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ definita da

$L(x,y,z)=(x+(h-1)y, \ (h-1)x+y+hz)$

dove è un parametro reale.

Scrivere la matrice rappresentativa di rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio e stabilire per quali valori di l'applicazione è un epimorfismo, ossia è suriettiva.

X) Siano un parametro reale e l'applicazione lineare definita dalla matrice

$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & k\end{pmatrix}$

Calcolare, se esistono, i valori di $k \in \mathbb{R}$ tali che sia un isomorfismo.

XI) Sia $f: \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^3$ l'applicazione lineare tale che

$f(p(x))=(p(0), \ p(k), \ p(1))$

dove è un parametro reale.

Calcolare i valori di per cui è un isomorfismo.

Svolgimenti e soluzioni

I) Verificare che un'applicazione lineare è un isomorfismo

II) Stabilire se un endomorfismo definito per immagini è iniettivo e/o suriettivo

III) Studio dell'iniettività, della suriettività e dell'invertibilità di più applicazioni lineari

IV) Applicazione lineare tra spazi di polinomi: matrice associata e studio del tipo di omomorfismo

V) Esercizio: classificazione di un omomorfismo

VI) Studio di un automorfismo dal determinante

VII) Dimensioni degli spazi vettoriali su cui è definito un epimorfismo

VIII) Quesito teorico su monomorfismi ed epimorfismi

IX) Studio della suriettività di un'applicazione lineare con parametro

X) Valori del parametro che rendono un'applicazione un isomorfismo

XI) Calcolare i valori di un parametro per cui un'applicazione definita su uno spazio di polinomi è un isomorfismo

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