Esercizi sui tipi di omomorfismo

Nella lezione sui tipi di omomorfismi abbiamo spiegato la nomenclatura delle principali tipologie di applicazioni lineari, e abbiamo visto che nomi quali omomorfismo, endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo, automorfismo le classificano in base a dominio, codominio, iniettività e suriettività.

Gli esercizi svolti sui tipi di omomorfismo servono proprio a far prendere confidenza con questa terminologia e, al contempo, riprendono le nozioni che abbiamo studiato fino a qui nel corso dedicato alle applicazioni lineari.

Le tracce sono ordinate per difficoltà crescente e vi raccomandiamo di non lesinare con un ripasso puntuale degli argomenti su cui vi sentite meno preparati. Che altro aggiungere?... Buon lavoro! :)

Esercizi risolti su omomorfismi, endomorfismi, isomorfismi, monomorfismi ed epimorfismi

I) Sia l'applicazione lineare definita da

Verificare che è un isomorfismo.

II) Dato l'endomorfismo tale che

stabilire se esiste ed è unico e se è iniettivo e suriettivo.

III) Stabilire se ciascuna delle seguenti applicazioni da in è lineare e, in caso affermativo, dire se è iniettiva, suriettiva, invertibile e se è un automorfismo.

IV) Detto lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 nell'indeterminata , sia l'omomorfismo definito da

(a) Fornire una rappresentazione di per generica immagine;

(b) calcolare la matrice associata a rispetto alla base canonica di ;

(c) stabilire se è un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo.

V) Si consideri l'applicazione lineare definita da:

Si dica se le affermazioni che seguono sono vere o false, motivando le risposte.

(a) è un monomorfismo;

(b) è un epimorfismo;

(c) è un isomorfismo.

VI) Siano uno spazio vettoriale finitamente generato su , una base di e un endomorfismo.

Detta la matrice associata a rispetto alla base , dimostrare che è un automorfismo se e solo se il determinante di è diverso da zero.

VII) Siano due spazi vettoriali finitamente generati su un campo e si supponga che sia un epimorfismo. Dimostrare che .

VIII) Sia una trasformazione lineare. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando le risposte.

(a) Se esiste tale che , allora è un epimorfismo;

(b) non può essere un monomorfismo;

(c) se è un epimorfismo, allora .

IX) Si consideri l'applicazione lineare definita da

dove è un parametro reale.

Scrivere la matrice rappresentativa di rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio e stabilire per quali valori di l'applicazione è un epimorfismo, ossia è suriettiva.

X) Siano un parametro reale e l'applicazione lineare definita dalla matrice

Calcolare, se esistono, i valori di tali che sia un isomorfismo.

XI) Sia l'applicazione lineare tale che

dove è un parametro reale.

Calcolare i valori di per cui è un isomorfismo.

Svolgimenti e soluzioni

I) Verificare che un'applicazione lineare è un isomorfismo

II) Stabilire se un endomorfismo definito per immagini è iniettivo e/o suriettivo

III) Studio dell'iniettività, della suriettività e dell'invertibilità di più applicazioni lineari

IV) Applicazione lineare tra spazi di polinomi: matrice associata e studio del tipo di omomorfismo

V) Esercizio: classificazione di un omomorfismo

VI) Studio di un automorfismo dal determinante

VII) Dimensioni degli spazi vettoriali su cui è definito un epimorfismo

VIII) Quesito teorico su monomorfismi ed epimorfismi

IX) Studio della suriettività di un'applicazione lineare con parametro

X) Valori del parametro che rendono un'applicazione un isomorfismo

XI) Calcolare i valori di un parametro per cui un'applicazione definita su uno spazio di polinomi è un isomorfismo

Tags: scheda di esercizi svolti sulle definizioni e sulla classificazione degli omomorfismi: esercizi risolti su endomorfismi, epimorfismi, monomorfismi e isomorfismi.