Esercizi sulle applicazioni lineari tra spazi di matrici e spazi di polinomi

In questa scheda proponiamo una selezione di esercizi su applicazioni lineari tra spazi di matrici e di polinomi. Tutte le tracce sono risolte e spiegate passo dopo passo, con svolgimenti completi e dettagliati.

 

In teoria, le richieste degli esercizi elencati in questa pagina ricoprono gli argomenti che abbiamo trattato fin qui nel corso dedicato alle applicazioni lineari. Nella pratica, quando si lavora con spazi di polinomi e con spazi di matrici, i metodi di risoluzione degli esercizi sono gli stessi che abbiamo visto nelle precedenti schede. A conti fatti, i vettori di \mathbb{R}^{n}, le matrici e i polinomi sono elementi di spazi vettoriali diversi, però obbediscono alle medesime definizioni e agli stessi risultati teorici di carattere generale.

 

Non lasciatevi trarre in inganno, quindi: a conti fatti non c'è niente di sostanzialmente nuovo in queste tipologie di esercizi... D'altronde chi ben comincia è già a metà dell'opera, o no? ;)

 

Per la teoria, i metodi di impostazione e risoluzione degli esercizi, e per numerosi esempi svolti, potete leggere le rispettive lezioni:

 

applicazioni lineari con spazi di matrici

 

applicazioni lineari con spazi di polinomi.

 

Esercizi risolti su applicazioni lineari con spazi di matrici e con spazi di polinomi

 

I) Data la matrice

 

A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -1 & 1\end{pmatrix}

 

si consideri l'applicazione lineare f:\mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}^{2 \times 2} definita da

 

f(X)=AX

 

Calcolare la matrice associata a f rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^{2 \times 2}.

 

II) Sia V=\mathbb{R}_2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a due a coefficienti reali. Si consideri l'endomorfismo F:V\to V così definito:

 

F(p(x)) = p(x+2)+p(-x).

 

Scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi

 

\mathcal{S}=\left\{1,x,x^2\right\}

 

nel dominio e

 

\mathcal{T}=\left\{1+x^2,x,x^2+x\right\}

 

nel codominio.

 

III) Si consideri l'applicazione lineare f: M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^3 così definita:

 

f \begin{pmatrix}x & y \\ z & t\end{pmatrix} = (x+y, \ y, \ z+t)

 

(a) Si determinino la dimensione e una base del nucleo e dell'immagine di f.

 

(b) Si stabilisca se f è iniettiva e/o suriettiva.

 

IV) Detto M(2,\mathbb{R}) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali, sia f:\mathbb{R}^3 \to M(2,\mathbb{R}) la trasformazione lineare così definita

 

f(x,y,z)=\begin{pmatrix}x+2y & y-z \\ 0 & x-y+3z\end{pmatrix}

 

(a) Si trovi la matrice associata a f rispetto alla seguente base di \mathbb{R}^3

 

\\ \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} = \\ \\ = \{(1,1,1), \ (0,1,2), \ (1,0,1)\}

 

e rispetto alla base canonica di M(2,\mathbb{R}).

 

(b) Si calcolino la dimensione e una base dell'immagine e del nucleo di f.

 

V) Sia data la seguente matrice

 

A=\begin{pmatrix}2 & -3 \\ -3 & -2\end{pmatrix}

 

e si consideri l'applicazione

 

F:Mat(2,2,\mathbb{R}) \to Mat(2,2,\mathbb{R})

 

definita da

 

F(X)=X - \mbox{tr}(AX)A

 

Calcolare la matrice associata a F rispetto alla base canonica di dominio e codominio e determinare il nucleo e l'immagine di F.

 

VI) Siano \mathbb{R}_2[x] lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a due e a coefficienti reali e T:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^4 l'applicazione lineare tale che

 

T(p(x))=(p(0), \ p(1), \ p'(0), \ p'(1))

 

a) Scrivere la matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio;

 

b) calcolare la dimensione e una base del nucleo e dell'immagine di T;

 

c) stabilire se T è iniettiva e/o suriettiva;

 

d) verificare che il vettore

 

\mathbf{v}=\mathbf{e}_1+3\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3+3\mathbf{e}_4

 

appartiene all'immagine di T.

 

VII) Determinare, nei riferimenti canonici di dominio e codominio, la matrice associata all'applicazione lineare f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}_2[x] tale che

 

f(a,b,c)=(a+c)+(b-a)x+(b+c)x^2

 

Successivamente calcolare la dimensione e una base di \mbox{Ker}(f) e di \mbox{Im}(f).

 

VIII) Considerare l'endomorfismo T:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x] definito da

 

T(p(x))=(2x+1)p'(x)

 

dove p'(x) è la derivata del polinomio p(x).

 

a) Scrivere la rappresentazione di T per generica immagine;

 

b) calcolare la matrice associata a T rispetto alla base canonica;

 

c) determinare una base di \mbox{Ker}(T) e una base di \mbox{Im}(T).

 

IX) Si consideri la trasformazione lineare f:M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}_2[x] definita da

 

f\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=(a+b)x-(c+d)x^2

 

Si determini la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio e si calcoli la dimensione e una base sia del nucleo che dell'immagine di f.

 

X) Siano V=\mathbb{R}_2[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al più 2 e W=Mat(2,2,\mathbb{R}) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali.

 

Si consideri l'applicazione T:V \to W definita da

 

T(p(x))=\begin{pmatrix}p(1) & p(-2) \\ p(2) & p(-1)\end{pmatrix}

 

Si calcoli una base e la dimensione dell'immagine di T e si stabilisca se T è iniettiva.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare tra spazi di matrici 

 

II) Matrice associata a un'applicazione lineare tra spazi di polinomi

 

III) Applicazione lineare definita su uno spazio di matrici: basi e dimensioni di nucleo e immagine

 

IV) Matrice rappresentativa, nucleo e immagine di un'applicazione da R^3 a uno spazio di matrici

 

V) Nucleo e immagine di un endomorfismo tra spazi di matrici

 

VI) Dimensione e base di nucleo e immagine di un'applicazione lineare su uno spazio di polinomi

 

VII) Applicazione lineare da R^3 a R_2[x]: dimensione e base del nucleo e dell'immagine

 

VIII) Matrice associata, nucleo e immagine di un'applicazione tra spazi di polinomi

 

IX) Studio di un'applicazione lineare dallo spazio di matrici a uno spazio di polinomi

 

X) Applicazione lineare tra uno spazio di polinomi e uno spazio di matrici: nucleo e immagine

 

 

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