Esercizi sull'immagine di un'applicazione lineare

Dopo aver digerito la nozione di nucleo, è il momento di familiarizzare con quella di immagine di un'applicazione lineare. Entrambi i concetti sono fondamentali per la caratterizzazione delle applicazioni lineari e, come vedrete in seguito, hanno importantissime implicazioni teoriche e pratiche nello sviluppo dell'Algebra Lineare.

 

In questa scheda di esercizi sull'immagine di una applicazione lineare proponiamo una serie di tracce che permettono di comprendere appieno la definizione e di imparare a lavorare con l'immagine, ad esempio: verificare l'appartenenza di un vettore, caratterizzazione dell'immagine come sottospazio vettoriale del codominio, relazione tra immagine e suriettività...

 

Nota bene: nella precedente scheda ci siamo occupati degli esercizi sul nucleo di una applicazione lineare; nella successiva invece completeremo il quadro con gli esercizi su dimensione e base di nucleo e immagine. Non perdetevele! ;)

 

Esercizi svolti sull'immagine delle applicazioni lineari

 

I) Si scriva, per coordinate, l'immagine dell'applicazione lineare definita dalla matrice

 

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}

 

II) Si consideri l'applicazione lineare F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 definita da

 

F(x,y,z)=(2x+2z, \ x-y+2z, \ x+y, \ 0)

 

Si stabilisca se il vettore \mathbf{w}=(1,1,1,0) appartiene a \mbox{Im}(F).

 

III) Si verifichi che il vettore (2,1,1) non appartiene all'immagine dell'applicazione f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 data da

 

f(x,y,z)=(x-2y, \ 3x-y+2z, \ -x+2y)

 

IV) Siano k \in \mathbb{R} e f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 l'applicazione lineare definita dalla matrice

 

A=\begin{pmatrix}1 & k & 1-2k \\ 2 & 1+2k & 0 \\ 0 & k & -2k+4k^2 \\ 1 & k & -2k\end{pmatrix}

 

Per quali valori di k il vettore \mathbf{w}=(1,3,2k,1) appartiene all'immagine di f?

 

V) Siano V,W due spazi vettoriali definiti su un campo \mathbb{K} e F:V \to W un'applicazione lineare. Stabilire quali tra le seguenti affermazioni è vera e dimostrarla:

 

a) l'immagine di F è un sottospazio vettoriale di V;

 

b) l'immagine di F è un sottospazio vettoriale di W.

 

VI) Sia F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 un'applicazione lineare. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando le risposte.

 

a) F è suriettiva se e solo se \mbox{dim}\left(\mbox{Im}(F)\right)=0;

 

b) F è suriettiva se e solo se \mbox{dim}\left(\mbox{Im}(F)\right)=3;

 

c) F è suriettiva se e solo se \mbox{dim}\left(\mbox{Im}(F)\right)=4.

 

VII) Siano T:V \to W una trasformazione lineare e \mathbf{0}_W lo zero del codominio.

 

\mathbf{0}_W appartiene a \mbox{Im}(T)?

 

VIII) Dimostrare che F:V \to W è l'applicazione lineare identicamente nulla se e solo se \mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=0

 

IX) Siano V,W spazi vettoriali reali e S,T: V \to W due applicazioni lineari.

 

Dimostrare che l'immagine dell'applicazione somma S+T è contenuta nel sottospazio definito dalla somma delle singole immagini, ossia che

 

\mbox{Im}(S+T) \subseteq \left(\mbox{Im}(S)+\mbox{Im}(T)\right)

 

X) Siano V uno spazio vettoriale e \mbox{End}(V) l'insieme di tutti gli endomorfismi da V in V. Si consideri g \in \mbox{End}(V). Dimostrare che g^2 è l'endomorfismo nullo se e solo se \mbox{Im}(g) \subseteq \mbox{Ker}(g).

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Coordinate dell'immagine di un'applicazione lineare definita da una matrice

 

II) Stabilire se un vettore appartiene all'immagine di un'applicazione lineare

 

III) Vettore che non appartiene all'immagine di una trasformazione lineare

 

IV) Per quali valori un parametro un vettore appartiene all'immagine di un'applicazione definita da una matrice

 

V) Stabilire se l'immagine di un'applicazione lineare è un sottospazio del dominio o del codominio

 

VI) Applicazioni lineari suriettive e dimensione dell'immagine

 

VII) Stabilire se lo zero del codominio appartiene all'immagine di un'applicazione lineare

 

VIII) Applicazione lineare identicamente nulla e dimensione dell'immagine

 

IX) Immagine della somma di due applicazioni lineari

 

X) Dimostrare un teorema sugli endomorfismi con nucleo e immagine

 

 

Lezione correlata

 
 

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