Esercizi sul nucleo di una applicazione lineare

State leggendo la scheda di esercizi sul nucleo di un'applicazione lineare. Tutti gli esercizi sono svolti e interamente spiegati, con tutti i calcoli necessari per arrivare alla soluzione ed elencati in ordine di difficoltà crescente.

 

Le tracce che vi proponiamo in questa pagina riguardano il concetto di nucleo di una applicazione lineare a tutto tondo: dalla definizione agli aspetti teorici che lo riguardano, con un occhio di riguardo verso le principali tipologie di richieste che si affrontano in sede d'esame. Tra queste, ad esempio, verificare l'appartenenza di un vettore al nucleo, la caratterizzazione del nucleo come sottospazio vettoriale e la relazione tra nucleo e iniettività.

 

Poiché le nozioni di nucleo e di immagine di una applicazione lineare sono strettamente correlate, vi suggeriamo di dare uno sguardo alle seguenti schede:

 

- esercizi sull'immagine di un'applicazione lineare

 

- esercizi su dimensione e base di nucleo e immagine

 

Esercizi svolti sul nucleo delle applicazioni lineari

 

I) Dato l'endomorfismo di \mathbb{R}^3 definito da

 

f(x,y,z)=(2x+z, \ 2y+z, \ x+y+z)

 

verificare che il vettore \mathbf{v}=(1,1,-2) appartiene al nucleo di f

 

II) Sia F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 l'applicazione lineare definita dalla matrice

 

A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1\end{pmatrix}

 

Calcolare la forma esplicita di F e stabilire quali, tra i seguenti vettori, appartengono a \mbox{Ker}(F):

 

\\ \mathbf{v}_1=(1,1,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(1,-3,2) \\ \\ \mathbf{v}_3=(-2,6,-4) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(0,0,1)

 

III) Sia T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 l'applicazione lineare tale che

 

\\ T(2,1) = (3,-6,0) \\ \\ T(1,-1)=(2,-4,0)

 

Dopo aver verificato che T esiste ed è unica, stabilire se il vettore \mathbf{v}=(1,5) appartiene al nucleo di T motivando la risposta.

 

IV) Siano V,W due spazi vettoriali e F:V \to W un'applicazione lineare. Dimostrare che \mbox{Ker}(F) è un sottospazio vettoriale di V.

 

V) Stabilire quale tra le seguenti proprietà è quella corretta e dimostrarla.

 

a) Un'applicazione lineare F:V \to W è iniettiva se e solo se \mbox{Ker}(F)=V

 

b) Un'applicazione lineare F:V \to W è iniettiva se e solo se \mbox{Ker}(F)=W

 

c) Un'applicazione lineare F:V \to W è iniettiva se e solo se \mbox{Ker}(F)=\{\mathbf{0}\}

 

VI) Esiste un'applicazione lineare f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 che sia iniettiva? Fornire un esempio in caso di risposta affermativa e spiegare il motivo in caso di risposta negativa.

 

VII) Tutte le applicazioni lineari non nulle da \mathbb{R}^3 a \mathbb{R}^4 sono iniettive. Vero o falso?

 

VIII) Si considerino e i seguenti vettori di \mathbb{R}^4

 

\\ \mathbf{v}_1=(1,0,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,1,1,0) \\ \\ \mathbf{v}_3=(0,0,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_4=(1,2,3,-1)

 

Sia f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 l'applicazione lineare tale che i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 formano una base per il nucleo di f e tale che

 

f(\mathbf{v}_3)=(1,2,1,2) \ \ \ ; \ \ \ f(\mathbf{v}_4)=(1,2,3,-1)

 

Stabilire, motivando la risposta, se f esiste e se è unica.

 

IX) La trasformazione lineare f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 ha il nucleo rappresentato dall'equazione

 

x-y+4z=0

 

e soddisfa la condizione

 

f(-4,-1,1)=(12,3,-3)

 

Calcolare la matrice associata a f rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3.

 

X) Siano V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo \mathbb{K} e L:V \to V un'applicazione lineare.

 

Dimostrare che per ogni k \ge 1 vale l'inclusione

 

\mbox{Ker}(L^k) \subseteq \mbox{Ker}(L^{k+1})

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Verificare che un vettore appartiene al nucleo di un endomorfismo 

 

II) Vettori appartenenti al nucleo di un'applicazione lineare definita da una matrice

 

III) Vettori che appartengono al nucleo di un'applicazione definita da immagini

 

IV) Dimostrare che il nucleo è un sottospazio vettoriale del dominio

 

V) Nucleo e iniettività di un'applicazione lineare

 

VI) Esistenza di un'applicazione lineare iniettiva

 

VII) Quesito sulle applicazioni lineari iniettive

 

VIII) Stabilire se un'applicazione lineare esiste ed è unica conoscendo una base del nucleo

 

IX) Matrice associata a un'applicazione lineare dall'equazione del nucleo

 

X) Nucleo delle potenze di un'applicazione lineare

 

 

Lezione correlata

 
 

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