Esercizi sul cambiamento di base per applicazioni lineari

La scheda che state consultando è una raccolta di esercizi sul cambiamento di base per applicazioni lineari. Gli esercizi in elenco sono svolti passo-passo e sono corredati da tutti i passaggi necessari per giungere alla soluzione.

Che ne dite di un po' di contestualizzazione, prima di cominciare? :) L'argomento che abbiamo trattato nella precedente scheda - quella relativa agli esercizi sulla matrice associata a un'applicazione lineare - prevedeva di ricavare la matrice rappresentativa partendo da qualsiasi definizione di applicazione lineare.

Come abbiamo visto, la matrice associata dipende dalle basi scelte per dominio e codominio dell'applicazione lineare. Cosa succede alla matrice rappresentativa se si considerano basi diverse? C'è un modo comodo per "convertire" la matrice associata, scritta rispetto a due basi precedentemente scelte, in modo che essa rappresenti l'applicazione lineare rispetto a due nuove basi?

La risposta è data dalla formula del cambiamento di base per applicazioni lineari, che abbiamo trattato nel dettaglio nella lezione dell'omonimo link. Gli esercizi di questa scheda servono esattamente a familiarizzare con la procedura di cambiamento di base per le matrici associate. ;)

Esercizi risolti sulla formula del cambiamento di base per applicazioni lineari

I) Si consideri l'endomorfismo f:R^2 → R^2 definito da

f(x,y) = (2x+y, x−y)

1) Determinare la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R^2.

2) Calcolare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base

B'= (1,1), (1,2)

usando la formula del cambiamento di base.

3) Verificare che la matrice ottenuta al punto precedente è la stessa che si ricava usando la definizione di matrice associata.

II) Sia f:R^3 → R^3 l'endomorfismo dato da

f(x,y,z) = (x−y, y−z, x−z)

Dopo aver calcolato la matrice canonicamente associata a f determinare, con la formula del cambiamento di base, la matrice rappresentativa di f rispetto alla base

B = (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)

III) Sia data la seguente applicazione lineare F:R^3 → R^3:

F(x,y,z) = (2x+y+2z, x−3y+z, x+2y+z)

Scrivere la matrice rappresentativa di F rispetto alla base

B'= (1,0,0), (1,−1,0), (0,−1,−1)

ricorrendo alla formula del cambiamento di base per endomorfismi.

IV) Sia f:R^3 → R^3 l'endomorfismo associato, nel riferimento naturale, alla matrice

A = [1 1 2 ; 0 5 0 ; 2 2 4]

Determinare la matrice associata a f nel riferimento definito dalla base

B = (1,0,1), (1,0,0), (0,1,1)

V) Si consideri l'applicazione lineare F:R^3 → R^3 data da

F(x,y,z) = (2x, y, 0)

1) Determinare la matrice associata a F rispetto alla base canonica di R^3.

2) Verificare che i vettori

v_1 = (1,0,1) ; v_2 = (0,1,−1) ; v_3 = (1,1,−1)

formano una base di R^3.

3) Usando la formula del cambiamento di base, determinare la matrice associata a F rispetto alla base B = v_1, v_2, v_3

4) Verificare che la matrice ottenuta al punto precedente è la stessa che si ottiene usando la definizione di matrice associata.

VI) Scrivere la matrice canonicamente associata all'endomorfismo T:R^3 → R^3 definito da

T(x,y,z) = (2x, y+z, y−z)

Siano v_1, v_2, v_3 i seguenti vettori di R^3

v_1 = (0,1,0) ; v_2 = (2,1,0) ; v_3 = (1,0,1)

Usando la formula del cambiamento di base scrivere la matrice associata a T rispetto alla base B = v_1, v_2, v_3 del dominio e rispetto alla base canonica del codominio.

VII) Si consideri l'applicazione lineare f:R^3 → R^2 definita da

f(x,y,z) = (x−y+z, 2x−3y)

Si determini la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio e, con la formula del cambiamento di base, si calcoli la matrice associata a f rispetto alle basi

B = (1,1,1), (1,1,0), (0,1,0) ; B'= (1,1), (2,0)

VIII) Sia f: R^2 → R^3 l'applicazione lineare tale che

f(1,0) = (1,2,1) ; f(0,1) = (1,0,−1)

1) Verificare che f esiste ed è unica;

2) determinare la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche;

3) esplicitare f;

4) ricorrendo alla formula del cambiamento di base calcolare la matrice associata a f rispetto alle basi

B = (1,0), (1,1) ; B'= (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1)

IX) Siano B_2 la base di R^2 così definita

B_2 = (1,1), (1,0)

e C_3 la base canonica di R^3.

Si consideri l'applicazione lineare f:R^2 → R^3 definita, rispetto alle basi B_2, C_3, dalla matrice

A = [1 4 ; 3 1 ; 2 0]

Determinare la matrice associata a f rispetto alla base canonica C_2 di R^2 e rispetto alla seguente base di R^3

B_3 = (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)

X) Siano V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo K, B, B' due basi di V e F:V → V un endomorfismo. Dimostrare che le matrici associate a F rispetto alle basi B, B' sono matrici simili.

 

Svolgimenti e soluzioni

I) Esercizio sulla formula del cambiamento di base per un endomorfismo di R^2 

II) Matrice associata in una nuova base a un endomorfismo in forma esplicita

III) Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare da R^3 in R^3 con cambiamento di base

IV) Matrice associata in un nuovo riferimento a un endomorfismo definito da una matrice

V) Verificare che un insieme è una base e scrivere la matrice associata con la formula del cambio base

VI) Cambio di base per endomorfismi rispetto a basi diverse di dominio e codominio

VII) Matrice associata a un'applicazione in forma esplicita col cambiamento di base

VIII) Cambiamento di base per un'applicazione lineare definita da immagini di vettori

IX) Esercizio sul cambiamento di base per un'applicazione lineare definita da una matrice

X) Dimostrare che matrici associate a uno stesso endomorfismo sono simili

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Lezione correlata

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