Esercizi sulla matrice associata a una applicazione lineare

Gli esercizi sulla matrice associata a un'applicazione lineare affrontano il tema delle applicazioni lineari definite da matrici dal punto di vista opposto. Questa scheda di esercizi propone una raccolta di tracce risolte in ogni singolo passaggio, rigorosamente in ordine di difficoltà crescente.

 

Dopo aver introdotto la nozione di applicazione lineare, abbiamo visto che uno dei possibili modi per definirle consiste nel considerare le matrici e il prodotto riga per colonna con i vettori come immagine dell'applicazione.

 

Qui vogliamo prendere confidenza con l'approccio inverso, e imparare a ricavare la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare indipendentemente da come si presenta. Buon lavoro!

 

Esercizi risolti sulla matrice rappresentativa di un'applicazione lineare

 

I) Data l'applicazione lineare f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definita da:

 

f(x,y)=(x-y, \ 2x+y)

 

Determinare la matrice associata a f relativa alle basi

 

\\ \mathcal{B}=\{(1,2),(1,0)\} \\ \\ \mathcal{B}'=\{(1,1),(0,3)\}

 

II) Dato l'omomorfismo F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 definito da

 

F(x,y,z)=(x-y, \ z)

 

determinare la matrice associata a F:

 

a) rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio;

 

b) rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3 e alla base \mathcal{B}=\{(1,1), \ (-1,1)\} di \mathbb{R}^2.

 

III) Siano dati i seguenti vettori di \mathbb{R}^2:

 

\mathbf{v}_1=(4,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-3,8)

 

1) Verificare che \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} è una base di \mathbb{R}^2.

 

2) Detta \mathcal{C} la base canonica di \mathbb{R}^3, calcolare la matrice associata rispetto alle basi \mathcal{B}, \mathcal{C} all'applicazione lineare f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, tale che

 

\\ f(3,-1) = (1,-1,2) \\ \\ f(1,2)=(-2,-1,2)

 

IV) Si consideri la trasformazione lineare T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 tale da soddisfare le seguenti condizioni

 

\\ T(1,1,1)=(1,3,2,2) \\ \\ T(1,0,1)=(2,13,4,4) \\ \\ T(1,0,0)=(1,-1,-1,-1)

 

Si dimostri che T esiste ed è unica e si determini la matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio.

 

V) Data la trasformazione lineare F: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 definita da

 

F(x,y,z,t)=(10x+y, \ 3z+t, \ 3x+y-10z-t)

 

si determini la matrice canonicamente associata a F.

 

VI) Siano A la seguente matrice quadrata di ordine 2

 

A=\begin{pmatrix}2 & -2 \\ 0 & 3\end{pmatrix}

 

e L_A l'applicazione lineare definita da A.

 

Detti \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 i vettori della base canonica di \mathbb{R}^2, calcolare la matrice rappresentativa di L_A rispetto alla base

 

\mathcal{B}=\{\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2, \ \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2\}

 

VII) Sia \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} una base di \mathbb{R}^3 e sia f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 l'applicazione lineare definita da

 

\\ f(\mathbf{v}_1)=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_3 \\ \\ f(\mathbf{v}_2)=\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3 \\ \\ f(\mathbf{v}_3)=\mathbf{v}_1+2\mathbf{v}_2

 

Calcolare la matrice associata a f rispetto alla base \mathcal{B} su dominio e codominio.

 

VIII) Si considerino i vettori

 

\mathbf{v}_1=(1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,0)

 

e l'applicazione lineare f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 tale che

 

f(\mathbf{v}_1)=(0,1) \ \ ; \ \ f(\mathbf{v}_2)=(1,-1)

 

1) Verificare che l'applicazione f esiste ed è unica.

 

2) Scrivere la matrice M_f che rappresenta f rispetto alla base canonica di dominio e codominio.

 

3) Determinare la forma esplicita di f, ossia la sua rappresentazione per generica immagine.

 

IX) Siano \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 i vettori della base canonica di \mathbb{R}^2 ed F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 l'applicazione lineare tale che

 

\\ F(\mathbf{e}_1)=4 \mathbf{e}_1+8\mathbf{e}_2 \\ \\ F(\mathbf{e}_2)=-3\mathbf{e}_1-7\mathbf{e}_2

 

Sia, inoltre, T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 la trasformazione lineare definita da

 

T(x,y)=(2x, \ x+y, \ -y)

 

Si consideri l'applicazione lineare composta f=T \circ F e se ne determinino il dominio, il codominio e la matrice che rappresenta f nelle basi canoniche.

 

X) Sia f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 l'applicazione definita da:

 

f(x,y,z)=(x, \ y, \ 2y+z)

 

1) Mostrare che l'applicazione f è lineare;

 

2) determinare la matrice A associata a f rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3;

 

3) stabilire se A è invertibile e, in caso affermativo, determinarne l'inversa.

 

XI) Sia \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} una base di \mathbb{R}^3. Detta f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 l'applicazione lineare definita da

 

f(a \mathbf{v}_1 + b \mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3)=(2a+b)\mathbf{v}_1+3b\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3 \ \ \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

 

scrivere la matrice che rappresenta f rispetto alla base \mathcal{B}.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a due basi distinte 

 

II) Matrici associate a un omomorfismo rispetto a più basi

 

III) Calcolo della matrice associata a un'applicazione definita da immagini

 

IV) Esercizio su esistenza, unicità e matrice associata a una trasformazione lineare rispetto alle basi canoniche

 

V) Matrice canonicamente associata a una trasformazione lineare

 

VI) Determinare la matrice associata a un'applicazione definita da una matrice

 

VII) Matrice rappresentativa di un endomorfismo rispetto a una base generica

 

VIII) Matrice associata e forma esplicita di un'applicazione lineare

 

IX) Matrice associata, dominio e codominio di un'applicazione composta

 

X) Verificare che un'applicazione è lineare, calcolare la matrice associata e studiarne l'invertibilità

 

XI) Matrice rappresentativa di un'applicazione parametrica

 

 

Lezione correlata

 
 

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