Esercizi sulla matrice associata a una applicazione lineare

Gli esercizi sulla matrice associata a un'applicazione lineare affrontano il tema delle applicazioni lineari definite da matrici dal punto di vista opposto. Questa scheda di esercizi propone una raccolta di tracce risolte in ogni singolo passaggio, rigorosamente in ordine di difficoltà crescente.

Dopo aver introdotto la nozione di applicazione lineare, abbiamo visto che uno dei possibili modi per definirle consiste nel considerare le matrici e il prodotto riga per colonna con i vettori come immagine dell'applicazione.

Qui vogliamo prendere confidenza con l'approccio inverso, e imparare a ricavare la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare indipendentemente da come si presenta. Buon lavoro!

Esercizi risolti sulla matrice rappresentativa di un'applicazione lineare

I) Data l'applicazione lineare f:R^2 → R^2 definita da:

f(x,y) = (x−y, 2x+y)

Determinare la matrice associata a f relativa alle basi

mathcalB = (1,2),(1,0) ; mathcalB'= (1,1),(0,3)

II) Dato l'omomorfismo F: R^3 → R^2 definito da

F(x,y,z) = (x−y, z)

determinare la matrice associata a F:

a) rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio;

b) rispetto alla base canonica di R^3 e alla base mathcalB = (1,1), (−1,1) di R^2.

III) Siano dati i seguenti vettori di R^2:

v_1 = (4,1) ; v_2 = (−3,8)

1) Verificare che mathcalB = v_1, v_2 è una base di R^2.

2) Detta mathcalC la base canonica di R^3, calcolare la matrice associata rispetto alle basi mathcalB, mathcalC all'applicazione lineare f:R^2 → R^3, tale che

f(3,−1) = (1,−1,2) ; f(1,2) = (−2,−1,2)

IV) Si consideri la trasformazione lineare T:R^3 → R^4 tale da soddisfare le seguenti condizioni

T(1,1,1) = (1,3,2,2) ; T(1,0,1) = (2,13,4,4) ; T(1,0,0) = (1,−1,−1,−1)

Si dimostri che T esiste ed è unica e si determini la matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio.

V) Data la trasformazione lineare F: R^4 → R^3 definita da

F(x,y,z,t) = (10x+y, 3z+t, 3x+y−10z−t)

si determini la matrice canonicamente associata a F.

VI) Siano A la seguente matrice quadrata di ordine 2

A = [2 −2 ; 0 3]

e L_A l'applicazione lineare definita da A.

Detti e_1, e_2 i vettori della base canonica di R^2, calcolare la matrice rappresentativa di L_A rispetto alla base

mathcalB = e_1−e_2, e_1+2e_2

VII) Sia mathcalB = v_1, v_2, v_3 una base di R^3 e sia f:R^3 → R^3 l'applicazione lineare definita da

f(v_1) = v_1−v_3 ; f(v_2) = v_2−v_3 ; f(v_3) = v_1+2v_2

Calcolare la matrice associata a f rispetto alla base mathcalB su dominio e codominio.

VIII) Si considerino i vettori

v_1 = (1,1) ; v_2 = (2,0)

e l'applicazione lineare f: R^2 → R^2 tale che

f(v_1) = (0,1) ; f(v_2) = (1,−1)

1) Verificare che l'applicazione f esiste ed è unica.

2) Scrivere la matrice M_f che rappresenta f rispetto alla base canonica di dominio e codominio.

3) Determinare la forma esplicita di f, ossia la sua rappresentazione per generica immagine.

IX) Siano e_1, e_2 i vettori della base canonica di R^2 ed F:R^2 → R^2 l'applicazione lineare tale che

F(e_1) = 4 e_1+8e_2 ; F(e_2) = −3e_1−7e_2

Sia, inoltre, T:R^2 → R^3 la trasformazione lineare definita da

T(x,y) = (2x, x+y, −y)

Si consideri l'applicazione lineare composta f = T circ F e se ne determinino il dominio, il codominio e la matrice che rappresenta f nelle basi canoniche.

X) Sia f: R^3 → R^3 l'applicazione definita da:

f(x,y,z) = (x, y, 2y+z)

1) Mostrare che l'applicazione f è lineare;

2) determinare la matrice A associata a f rispetto alla base canonica di R^3;

3) stabilire se A è invertibile e, in caso affermativo, determinarne l'inversa.

XI) Sia mathcalB = v_1, v_2, v_3 una base di R^3. Detta f:R^3 → R^3 l'applicazione lineare definita da

f(a v_1+b v_2+v_3) = (2a+b)v_1+3bv_2+v_3 con a,b ∈ R

scrivere la matrice che rappresenta f rispetto alla base mathcalB.

Svolgimenti e soluzioni

I) Matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a due basi distinte 

II) Matrici associate a un omomorfismo rispetto a più basi

III) Calcolo della matrice associata a un'applicazione definita da immagini

IV) Esercizio su esistenza, unicità e matrice associata a una trasformazione lineare rispetto alle basi canoniche

V) Matrice canonicamente associata a una trasformazione lineare

VI) Determinare la matrice associata a un'applicazione definita da una matrice

VII) Matrice rappresentativa di un endomorfismo rispetto a una base generica

VIII) Matrice associata e forma esplicita di un'applicazione lineare

IX) Matrice associata, dominio e codominio di un'applicazione composta

X) Verificare che un'applicazione è lineare, calcolare la matrice associata e studiarne l'invertibilità

XI) Matrice rappresentativa di un'applicazione parametrica

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Lezione correlata

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