Esercizi sulla definizione di applicazione lineare

Partiamo dai fondamentali: gli esercizi sulla definizione di applicazione lineare che elenchiamo in questa pagina richiedono di stabilire, o eventualmente di verificare, se le applicazioni proposte sono effettivamente lineari oppure no. Tutti gli esercizi sono risolti, spiegati in ogni singolo passaggio e ordinati per livelli di difficoltà crescente.

 

Per procedere alla risoluzione è necessario conoscere la definizione di applicazione lineare e averla quantomeno digerita; a tal proposito potete leggere la lezione correlata, in cui ne abbiamo parlato nel dettaglio.

 

Dopo aver affrontato gli esercizi sulla verifica della linearità delle applicazioni vi raccomandiamo di passare agli esercizi su esistenza e unicità delle applicazioni lineari.

 

Esercizi risolti sulla verifica della linearità delle applicazioni

 

I) Sia f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} l'applicazione definita da

 

f(x,y)=xy

 

Stabilire se f è lineare, motivandone la risposta.

 

II) Stabilire se la trasformazione T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 data da

 

T(x_1,x_2)=(2x_1-5x_2+5, \ 3x_1+x_2-1)

 

è un endomorfismo.

 

III) Verificare che la funzione f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} definita come

 

f(x_1,x_2,x_3)=x_1+3x_3

 

è un'applicazione lineare.

 

IV) Per ciascuna delle seguenti applicazioni stabilire quali sono lineari e quali non lo sono:

 

\\ F_1: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \ \ , \ \ F_1(x,y,z)=(x,z) \\ \\ F_2: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \ \ , \ \ F_2(\mathbf{v})=\mathbf{v}+(0,1,0) \\ \\ F_3: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \ \ , \ \ F_3(x,y)=(2x, \ xy-x)

 

V) Dimostrare che tutte e sole le applicazioni lineari f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} sono della forma f(x)=ax con a \in \mathbb{R}.

 

VI) Scrivere un esempio notevole di applicazione non lineare f che sia additiva e non omogenea, e fornire un esempio notevole di applicazione non lineare g che sia omogenea ma non additiva.

 

VII) Si consideri l'applicazione f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definita da

 

f(x,y,z)=(5x, \ x+y+z, \ 2x-3y+z)

 

a) Verificare che f è un endomorfismo.

 

b) Detti \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 i vettori della base canonica di \mathbb{R}^3, determinare le immagini tramite f dei vettori

 

\\ \mathbf{u}_1=2\mathbf{e}_1+3\mathbf{e}_2 \\ \\ \mathbf{u}_2=\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3 \\ \\ \mathbf{u}_3=\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3

 

c) Stabilire se i vettori f(\mathbf{u}_1), f(\mathbf{u_2}), f(\mathbf{u}_3) formano una base di \mathbb{R}^3.

 

VIII) Determinare i valori del parametro reale a per cui l'applicazione T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 data da

 

T(x,y)=(x+1, \ x+2y+a)

 

è lineare.

 

IX) Si dica per quali valori di h \in \mathbb{R} l'applicazione f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 definita da

 

f(x,y)=(hx+y+h, \ x+y, \ 2x-3y)

 

è lineare.

 

X) Considerata la trasformazione f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4, definita da

 

f(x,y,z)=(ky, \ (k-1)x+z, \ x+(k-1)^2y, \ (k-1)x^2+z)

 

determinare i valori di k per cui f è lineare.

 

XI) Siano \mathbb{R}_2[x] lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a due nell'indeterminata x, e F: \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x] l'applicazione tale che

 

F(a+bx+cx^2)=ax

 

Dimostrare che F è lineare.

 

XII) Indicato con M_n(\mathbb{R}) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n a elementi reali, sia T:M_n(\mathbb{R}) \to M_n(\mathbb{R}) la trasformazione che agisce nel modo seguente

 

T (A) = -A

 

Stabilire se T è un'applicazione lineare.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Metodo per stabilire se un'applicazione è lineare 

 

II) Stabilire se un'applicazione è un endomorfismo

 

III) Capire se una funzione è un'applicazione lineare

 

IV) Date tre applicazioni stabilire quali sono lineari

 

V) Dimostrazione su tutte e sole le applicazioni lineari da R in R

 

VI) Fornire due esempi di applicazioni che non siano lineari

 

VII) Verificare che un'applicazione è un endomorfismo, trovare le immagini di più vettori e stabilire se formano una base

 

VIII) Determinare i valori di un parametro per i quali una trasformazione è lineare

 

IX) Parametro che rende lineare un'applicazione

 

X) Verifica definizione applicazione lineare con parametro

 

XI) Linearità di un'applicazione tra spazi di polinomi

 

XII) Studio della linearità di un'applicazione tra spazi di matrici

 

 

Lezione correlata

 
 

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