Esercizi sul metodo di Gram-Schmidt

Eccoci a una selezione di esercizi sul metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, integralmente risolti e corredati da svolgimenti completi, con tutti i calcoli e i commenti del caso.

Le tracce contemplate da questa scheda ricoprono le varie tipologie di richieste che si affrontano in sede d'esame. Oltre all'applicazione diretta del metodo di Gram-Schmidt, si tratta ad esempio di usarlo per completare un insieme di vettori a una base ortonormale di uno spazio vettoriale; ricavare e/o completare una matrice a una matrice ortogonale, considerandone le colonne come vettori... E così via. In sintesi, gli esercizi sono estremamente variegati ma nel complesso hanno sempre come unico e indiscusso protagonista la procedura di ortogonalizzazione. :)

Per la procedura di ortogonalizzazione spiegata in generale, il metodo di risoluzione degli esercizi e alcuni esempi svolti, potete leggere la lezione correlata: ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

Esercizi risolti sul procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

I) Completare l'insieme formato dal solo vettore

a base ortonormale di .

II) Si considerino i seguenti vettori di :

e sia il sottospazio da essi generato:

Determinare una base ortogonale e una base ortonormale di .

III) Siano dati i vettori

1) Verificare che è una base di .

2) Ortonormalizzare .

3) Calcolare le coordinate rispetto alla base ortonormale trovata del vettore

IV) Sia il seguente sottospazio vettoriale di :

(a) determinare la dimensione e una base di ;

(b) calcolare una base ortogonale di .

V) Siano i seguenti vettori di

Si considerino i sottospazi così definiti:

Determinare una base ortonormale del sottospazio somma .

VI) Sia la base di definita, nell'ordine, dai vettori:

1) Calcolare la base ortonormale che si ottiene da applicando il procedimento di Gram-Schmidt rispetto al prodotto scalare canonico.

2) Determinare la matrice associata, rispetto alla base canonica di , dell'endomorfismo che porta, nell'ordine stabilito, i vettori della base di in quelli della base .

VII) Si consideri la forma bilineare definita da:

(a) provare che è un prodotto scalare definito positivo;

(b) calcolare una base ortonormale di rispetto a .

VIII) Siano e il prodotto scalare su definito da

(a) Calcolare i valori di per cui è definito positivo;

(b) Per ortonormalizzare, rispetto a , la base canonica di .

IX) Scrivere una matrice ortogonale la cui prima colonna è il vettore

X) Completare la seguente matrice ortogonale:

Svolgimenti e soluzioni

I) Completamento a base ortonormale di un insieme formato da un solo vettore

II) Base ortogonale e base ortonormale di un sottospazio generato da due vettori

III) Coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale

IV) Calcolare una base ortogonale di un sottospazio definito da un'equazione cartesiana

V) Base ortonormale del sottospazio somma

VI) Determinare una base ortonormale e calcolare la matrice associata a un endomorfismo

VII) Verifica prodotto scalare definito positivo e calcolo di una base ortonormale

VIII) Base ortonormale rispetto a un prodotto scalare parametrico

IX) Costruire una matrice ortogonale conoscendo una colonna

X) Completare una matrice ortogonale

Tags: scheda di esercizi svolti sul metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.