Esercizi sul metodo di Gram-Schmidt

Eccoci a una selezione di esercizi sul metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, integralmente risolti e corredati da svolgimenti completi, con tutti i calcoli e i commenti del caso.

 

Le tracce contemplate da questa scheda ricoprono le varie tipologie di richieste che si affrontano in sede d'esame. Oltre all'applicazione diretta del metodo di Gram-Schmidt, si tratta ad esempio di usarlo per completare un insieme di vettori a una base ortonormale di uno spazio vettoriale; ricavare e/o completare una matrice a una matrice ortogonale, considerandone le colonne come vettori... E così via. In sintesi, gli esercizi sono estremamente variegati ma nel complesso hanno sempre come unico e indiscusso protagonista la procedura di ortogonalizzazione. :)

 

Per la procedura di ortogonalizzazione spiegata in generale, il metodo di risoluzione degli esercizi e alcuni esempi svolti, potete leggere la lezione correlata: ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

 

Esercizi risolti sul procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

 

I) Completare l'insieme formato dal solo vettore

 

\mathbf{v}_1=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)

 

a base ortonormale di \mathbb{R}^2.

 

II) Si considerino i seguenti vettori di \mathbb{R}^3:

 

\mathbf{v}_1=(1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(2,0,0)

 

e sia V il sottospazio da essi generato:

 

V=\mbox{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2)

 

Determinare una base ortogonale e una base ortonormale di V.

 

III) Siano dati i vettori

 

\mathbf{v}_1=(-1,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,0,2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(0,1,0)

 

1) Verificare che \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} è una base di \mathbb{R}^3.

 

2) Ortonormalizzare \mathcal{B}.

 

3) Calcolare le coordinate rispetto alla base ortonormale trovata del vettore

 

\mathbf{v}=(2,3,0)

 

IV) Sia V il seguente sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4:

 

V=\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x_1+x_2+x_3+x_4=0\}

 

(a) determinare la dimensione e una base di V;

 

(b) calcolare una base ortogonale di V.

 

V) Siano \mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, \mathbf{s}_3, \mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2 i seguenti vettori di \mathbb{R}^4

 

\\ \mathbf{s}_1=(1,0,1,-1) \ \ ; \ \ \mathbf{s}_2=(1,1,0,1) \\ \\ \mathbf{s}_3=(2,1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{t}_1=(0,1,-1,2) \\ \\ \mathbf{t}_2=(1,1,0,0)

 

Si considerino i sottospazi S, T così definiti:

 

\\ S=\mbox{Span}(\mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, \mathbf{s}_3) \\ \\ T=\mbox{Span}(\mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2)

 

Determinare una base ortonormale del sottospazio somma S+T.

 

VI) Sia \mathcal{B} la base di \mathbb{R}^3 definita, nell'ordine, dai vettori:

 

\mathbf{v}_1=(1,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,1,0)

 

1) Calcolare la base ortonormale \mathcal{O} che si ottiene da \mathcal{B} applicando il procedimento di Gram-Schmidt rispetto al prodotto scalare canonico.

 

2) Determinare la matrice associata, rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3, dell'endomorfismo F che porta, nell'ordine stabilito, i vettori della base di \mathcal{B} in quelli della base \mathcal{O}.

 

VII) Si consideri la forma bilineare g:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} definita da:

 

g(\mathbf{x},\mathbf{y}) = 4x_1y_1+2x_2y_2-3x_2y_3-3x_3y_2+9x_3y_3

 

(a) provare che g è un prodotto scalare definito positivo;

 

(b) calcolare una base ortonormale di \mathbb{R}^3 rispetto a g.

 

VIII) Siano k \in \mathbb{R} e \langle \ , \ \rangle il prodotto scalare su \mathbb{R}^3 definito da

 

\langle (x_1,x_2,x_3) , (y_1,y_2,y_3) \rangle = x_1y_1+kx_1y_2+kx_2y_1+x_2y_2+kx_3y_3

 

(a) Calcolare i valori di k per cui \langle \ ,\ \rangle è definito positivo;

 

(b) Per k=\frac{1}{2} ortonormalizzare, rispetto a \langle \ ,\ \rangle, la base canonica di \mathbb{R}^3.

 

IX) Scrivere una matrice ortogonale la cui prima colonna è il vettore

 

\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} , -\frac{1}{2} , -\frac{1}{2}\right)^T

 

X) Completare la seguente matrice ortogonale:

 

P=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{3}} && * && * \\ \\ -\dfrac{1}{\sqrt{3}} && * && * \\ \\ * && * && *\end{pmatrix}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Completamento a base ortonormale di un insieme formato da un solo vettore

 

II) Base ortogonale e base ortonormale di un sottospazio generato da due vettori

 

III) Coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale

 

IV) Calcolare una base ortogonale di un sottospazio definito da un'equazione cartesiana

 

V) Base ortonormale del sottospazio somma

 

VI) Determinare una base ortonormale e calcolare la matrice associata a un endomorfismo

 

VII) Verifica prodotto scalare definito positivo e calcolo di una base ortonormale

 

VIII) Base ortonormale rispetto a un prodotto scalare parametrico

 

IX) Costruire una matrice ortogonale conoscendo una colonna

 

X) Completare una matrice ortogonale

 

 

Lezione correlata

 
 

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