Esercizi su esistenza e unicità delle applicazioni lineari

Pronti per mettervi alla prova con gli esercizi su esistenza e unicità delle applicazioni lineari? In questa scheda vi proponiamo una carrellata di esercizi svolti e commentati passo-passo, elencati dal più semplice al più impegnativo.

 

Una breve premessa prima di dare fuoco alle polveri. ;) Se state seguendo il filo della teoria sulle applicazioni lineari, saprete già che vi sono essenzialmente due modi per definirle: mediante immagini e mediante matrici. Gli esercizi su esistenza e unicità riguardano prevalentemente le applicazioni lineari definite da immagini di vettori; il metodo di risoluzione è abbastanza canonico, per cui abbiamo selezionato le tracce in modo da coprire le principali varianti che si affrontano in sede d'esame.

 

Anche se le applicazioni lineari definite da matrici non vengono contemplate da questa scheda, prima di procedere vi raccomandiamo comunque di studiarle e/o di ripassarle. È fondamentale avere un quadro completo della teoria, prima di cimentarsi con la pratica. ;)

 

Nota bene: dopo aver finito qui, potrete passare agli esercizi sulla matrice associata a un'applicazione lineare.

 

Esercizi risolti su esistenza e unicità delle applicazioni lineari

 

I) Verificare che l'applicazione lineare f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 tale che

 

\\ f(1,0,1)=(0,0,0) \\ \\ f(1,1,1)=(0,1,0) \\ \\ f(0,0,1)=(1,2,1)

 

esiste ed è unica.

 

II) Discutere l'esistenza e l'unicità dell'applicazione lineare F:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 definita da

 

\\ F(1,0,0,0)=(1,0,0) \\ \\ F(0,1,0,0)=(1,2,0) \\ \\ F(0,0,1,0)=(0,1,3)

 

Nel caso in cui F esiste ma non è unica, fornire due esempi di applicazioni lineari distinte che soddisfano le suddette condizioni.

 

III) Stabilire, motivando la risposta, se esiste (e in caso affermativo se è unica) l'applicazione lineare g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 tale che

 

\\ g(1,0,1)=(1,2,-1,2) \\ \\ g(1,1,0)=(1,2,7,-1) \\ \\ g(2,1,1)=(2,0,-1,3)

 

IV) Studiare l'esistenza e l'unicità dell'applicazione T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 che soddisfa le seguenti condizioni:

 

\\ T(1,1)=(4,3,2) \\ \\ T(0,1)=(1,1,1) \\ \\ T(1,0)=(3,2,1)

 

V) Dire se esiste e se è unico l'endomorfismo G:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 definito dalle seguenti immagini

 

\\ G(1,0,1,0)=(0,0,0,0) \\ \\ G(1,1,1,0)=(0,0,0,0) \\ \\ G(0,0,0,1)=(1,1,1,2) \\ \\ G(1,0,0,1)=(1,3,3,0)

 

In caso affermativo, calcolare l'immagine tramite G del vettore \mathbf{v}=(2,0,0,4).

 

VI) Siano h un parametro reale e f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 un'applicazione lineare tale che

 

\\ f(1,0,-2)=(1,-1,3) \\ \\ f(2,1,-3)=(2,0,1) \\ \\ f(9,3,-3)=(9,-h,4h)

 

Stabilire quali tra le seguenti affermazioni è quella corretta. L'applicazione f esiste:

 

a) per ogni valore di h \in \mathbb{R};

 

b) per nessun valore di h \in \mathbb{R};

 

c) per h=0;

 

d) per h \neq 0.

 

VII) Si considerino le condizioni:

 

\\ L(1,3,4)=(1,2,0) \\ \\ L(2,2,1)=(0,1,1) \\ \\ L(-2,1,4)=(1,1,a) \\ \\ L(1,6,9)=(2,4,a^2+a)

 

Per quali valori di a \in \mathbb{R} esiste un'applicazione lineare L:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 che soddisfa le condizioni date? Tali applicazioni sono uniche?

 

VIII) Al variare del parametro k \in \mathbb{R} considerare l'applicazione lineare f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 tale che

 

\\ f(k,1,-1)=(k,1,1) \\ \\ f(-1,k,2)=(3,k,2k-1) \\ \\ f(2k-1, k^2,0) = (1,1,k)

 

Studiare, al variare di k \in \mathbb{R}, l'esistenza e l'unicità di f.

 

IX) Sia data l'applicazione lineare T: \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_3[x], definita tra i rispettivi spazi di polinomi, che soddisfa le seguenti condizioni

 

\\ T(x)=8+x-x^2+x^3 \\ \\ T(8+2x)=0 \\ \\ T(-x+x^2)=-3x+3x^2

 

Discutere l'esistenza e l'unicità di T.

 

X) Detto M_2(\mathbb{R}) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali, dire se esiste, e in caso affermativo se è unica, la trasformazione lineare F:M_2(\mathbb{R}) \to M_2(\mathbb{R}) tale che

 

\\ F\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \\ \\ \\ F\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ \\ \\ F\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \\ \\ \\ F\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Verificare che un'applicazione lineare esiste ed è unica

 

II) Discutere l'esistenza e l'unicità di un'applicazione lineare

 

III) Esistenza e unicità di un'applicazione lineare definita da immagini di vettori

 

IV) Studiare l'esistenza e l'unicità di un'applicazione da R^2 a R^3

 

V) Stabilire se un endomorfismo esiste, se è unico, e calcolare l'immagine di un vettore

 

VI) Esistenza di un'applicazione lineare definita con immagini parametriche

 

VII) Stabilire per quali valori di un parametro un'applicazione lineare esiste ed è unica

 

VIII) Esistenza e unicità di un'applicazione lineare parametrica

 

IX) Esistenza e unicità di un'applicazione tra spazi di polinomi

 

X) Esistenza e unicità di un'applicazione lineare tra spazi di matrici

 

 

Lezione correlata

 
 

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