Esercizi sull'insieme delle parti

Pronti per mettervi alla prova con gli esercizi svolti sull'insieme delle parti? Tutti gli esercizi elencati qui di seguito vi aiuteranno a prendere confidenza e ricordare meglio questa importante nozione, che vi accompagnerà nel prosieguo dei vostri studi fino all'università.

 

Per vedere nel dettaglio cosa si intende con insieme delle parti di un insieme, vi rimandiamo alla lezione correlata.

 

Dato che siamo in procinto di esaurire le schede di esercizi relative al corso sugli insiemi, ne approfitteremo per coinvolgere le principali operazioni insiemistiche nelle tracce proposte, così da ripassarle. ;)

 

Esercizi risolti sull'insieme delle parti

 

Una rapida sintesi su definizione e simboli prima di cominciare: dato un insieme A, chiamiamo insieme delle parti di A l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A, e lo indichiamo con \mathcal{P}(A),

 

 

Esercizio 1) Dato l'insieme A=\{a,\ b,\ c,\ d\}, determinarne l'insieme delle parti.

 

 

Esercizio 2) Quanti elementi ha l'insieme delle parti di un insieme di cardinalità 5?

 

 

Esercizio 3) Esistono insiemi delle parti aventi ordine 30?

 

 

Esercizio 4) Dati gli insiemi A=\{1,\ 2,\ 3\} e B=\{3,\ 4,\ 5\}, quanti elementi avrà l'insieme delle parti della loro intersezione?

 

 

Esercizio 5) Dati gli insiemi

 

A=\{x\ |\ x\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una lettera della parola LAVA}\}\\ \\ B=\{x\ |\ x\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una lettera della parola LUNA}\}

 

quanti e quali saranno gli elementi degli insiemi delle parti degli insiemi differenza A-B e B-A?

 

 

Esercizio 6) Determinare l'insieme delle parti del complementare A^C dell'insieme

 

A=\{x\ |\ x\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una lettera della parola YOU} \}

 

rispetto all'insieme universo

 

E=\{x\ |\ x\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una lettera della parola YOUMATH} \}

 

 

Esercizio 7) [Per chi ha già studiato le equazioni] Determinare l'insieme delle parti dell'insieme

 

A=\{x\ |\ x \in \mathbb{N}, \ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ soluzione dell'equazione } (x+1)(x-2)(x-3)=0\}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

 

Svolgimento esercizio 1

 

Traccia: dato l'insieme A=\{a,\ b,\ c,\ d\}, determinarne l'insieme delle parti.

 

Soluzione: iniziamo con lo scrivere i sottoinsiemi propri ed impropri dell'insieme A.

 

Sottoinsiemi impropri:

 

A, \ \emptyset 

 

Sottoinsiemi propri di un elemento:

 

\{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{d\}

 

Sottoinsiemi propri di due elementi:

 

\{a,\ b\},\ \{a,\ c\},\ \{a,\ d\},\ \{b,\ c\},\ \{b,\ d\},\ \{c,\ d\}

 

Sottoinsiemi propri di tre elementi:

 

\{a,\ b,\ c\},\ \{a,\ b,\ d\},\ \{a,\ c,\ d\},\ \{b,\ c,\ d\}

 

Pertanto l'insieme delle parti di A è dato da

 

\mathcal{P}(A)=\big\{ A, \ \emptyset, \\ \\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{d\},\\ \\ \{a,\ b\},\ \{a,\ c\},\ \{a,\ d\},\ \{b,\ c\},\ \{b,\ d\},\ \{c,\ d\}\\ \\ \{a,\ b,\ c\},\ \{a,\ b,\ d\},\ \{a,\ c,\ d\},\ \{b,\ c,\ d\}\big\}

 

Notiamo infine che \mathcal{P}(A) ha 16 elementi in accordo con la formula sulla cardinalità dell'insieme delle parti, secondo cui l'insieme delle parti di un insieme con n elementi ha esattamente 2^n elementi

 

\mbox{card}(A)=n\ \Rightarrow\ \mbox{card}(\mathcal{P}(A))=2^n

 

 

Svolgimento esercizio 2

 

Traccia: quanti elementi ha l'insieme delle parti di un insieme di cardinalità 5?

 

Soluzione: basta applicare la formula per la cardinalità dell'insieme delle parti. Poiché A ha 5 elementi, ne consegue che \mathcal{P}(A) ha 32 elementi

 

\mbox{card}(A)=5\ \Rightarrow\ \mbox{card}(\mathcal{P}(A))=2^5=32

 

 

Svolgimento esercizio 3

 

Traccia: esistono insiemi delle parti aventi ordine 30?

 

Soluzione: no, in quanto il numero degli elementi dell'insieme delle parti è sempre una potenza di 2. Non essendo 30 una potenza di 2, non possono esistere insiemi delle parti di 30 elementi.

 

 

Svolgimento esercizio 4

 

Traccia: dati gli insiemi A=\{1,\ 2,\ 3\} e B=\{3,\ 4,\ 5\}, quanti elementi avrà l'insieme delle parti della loro intersezione? 

 

Soluzione: dobbiamo determinare \mathcal{P}(A \cap B).

 

Per prima cosa individuiamo l'intersezione tra i due insiemi:

 

A \cap B=\{3\}

 

Poiché essa è un insieme unitario, ossia è formata da un solo elemento, si vede subito che il suo insieme delle parti ha due elementi

 

\mbox{card}(\mathcal{P}(A \cap B))=2^1=2

 

e in particolare è data da

 

\mathcal{P}(A \cap B)=\big\{\emptyset,\ \{3\}\big\}

 

 

Svolgimento esercizio 5

 

Traccia: dati gli insiemi

 

A=\{x\ |\ x\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una lettera della parola LAVA}\}\\ \\ B=\{x\ |\ x\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una lettera della parola LUNA}\}

 

quanti e quali saranno gli elementi degli insiemi delle parti degli insiemi differenza A-B e B-A?

 

Soluzione: scriviamo i due insiemi mediante rappresentazione estensiva

 

A=\{l,\ a,\ v\}\\ \\ B=\{l,\ u,\ n,\ a\}

 

I due insiemi differenza sono dati da

 

A-B=\{l,\ a,\ v\}-\{l,\ u,\ n,\ a\}=\{v\}\\ \\ B-A=\{l,\ u,\ n,\ a\}-\{l,\ a,\ v\}=\{u, \ n\}

 

Pertanto \mathcal{P}(A-B) avrà 2 elementi (l'insieme vuoto e l'insieme stesso), mentre \mathcal{P}(B-A) avrà 22=4:

 

\mathcal{P}(A-B) = \mathcal{P}(\{v\}) = \big\{ \emptyset,\ \{v\} \big\} \\ \\ \mathcal{P}(B-A) = \mathcal{P}(\{u, \ n\}) = \big\{ \emptyset, \ \{u, \ n\}, \ \{u\}, \ \{n\} \big\}

 

 

Svolgimento esercizio 6

 

Traccia: determinare l'insieme delle parti del complementare A^C dell'insieme

 

A=\{x\ |\ x\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una lettera della parola YOU} \}

 

rispetto all'insieme universo

 

E=\{x\ |\ x\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una lettera della parola YOUMATH} \}

 

Svolgimento: passiamo dalla rappresentazione per caratteristica alla rappresentazione per elencazione

 

A=\{y,\ o,\ u\}\\ \\ E=\{y,\ o,\ u,\ m,\ a,\ t,\ h\}

 

Il complementare di A rispetto a E è dato da

 

A^E=\{m,\ a,\ t,\ h\}

 

il cui insieme delle parti è formato da 24=16 elementi:

 

\mathcal{P}(A^E)=\big\{ \emptyset,\ \{m\},\ \{a\},\ \{t\},\ \{h\},\\ \\ \{m,\ a\},\ \{m,\ t\},\ \{m,\ h\},\ \{a,\ t\},\ \{a,\ h\},\ \{t,\ h\},\\ \\ \{m,\ a,\ t\},\ \{m,\ a,\ h\},\ \{m,\ t,\ h\},\ \{a,\ t,\ h\},\\ \\ \{m,\ a,\ t,\ h\} \big\}

 

 

Svolgimento esercizio 7

 

Traccia: determinare l'insieme delle parti dell'insieme

 

A=\{x\ |\ x \in \mathbb{N}, \ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ soluzione dell'equazione } (x+1)(x-2)(x-3)=0\}

 

Soluzione: le soluzioni di tale equazione scomponibile sono

 

x=-1,\ x=2,\ x=3

 

-1 è un numero intero negativo e dunque non appartiene all'insieme dei numeri naturali; 2 e 3 invece vi appartengono, per cui

 

A=\{2,3\}

 

e in conclusione

 

\mathcall{P}(A)=\big\{ \emptyset,\ \{2\}, \ \{3\}, \ \{2, 3\} \big\}

 

 


 

Ormai dovrebbe essere chiaro come ci si deve comportare con questo genere di esercizi, per cui ci fermiamo qui e vi aspettiamo nella scheda di esercizi sul prodotto cartesiano. Se però doveste avere ancora dubbi o difficoltà di qualsiasi genere, non esitate e trovate tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata

 
 

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