Esercizi sulla differenza simmetrica

In questa scheda abbiamo raccolto alcuni esercizi svolti sulla differenza simmetrica tra insiemi, utili per familiarizzare con la quinta operazione insiemistica che abbiamo descritto nelle lezioni di teoria.

 

Per chi se la fosse persa raccomandiamo di leggere la spiegazione dettagliata sulla differenza simmetrica, dove abbiamo commentato in dettaglio la definizione, elencato le varie proprietà e proposto alcuni esempi.

 

Prima di procedere può giovare anche allenarsi con gli esercizi sulla differenza tra insiemi, in quanto la differenza insiemistica è un'operazione propedeutica e direttamente coinvolta nella definizione della differenza simmetrica.

 

Esercizi risolti sulla differenza simmetrica

 

Ricordiamo che, dati due insiemi A,B si dice differenza simmetrica tra A e B e si indica con il simbolo A\ \Delta\ B l'unione tra i due insiemi differenza A-B e B-A.

 

Passiamo agli esercizi. :)

 

 

Esercizio 1) Dati gli insiemi A,B definiti da

 

A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}\\ \\ B=\{1,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9\}

 

determinare, utilizzando i diagrammi di Eulero Venn, gli insiemi A\ \Delta\ B e B\ \Delta\ A. Vale la proprietà commutativa?

 

 

Esercizio 2) Dato l'insieme A=\{a, \ b, \ c, \ d, \ e\}, individuare l'insieme B in modo che risulti

 

A\ \Delta\ B=\{a, \ b, \ c, \ f \}

 

 

Esercizio 3) Dato l'insieme B definito da

 

B=\{x\ |\ x\ \grave{e}\mbox{ una lettera della parola PIANO}\}

 

trovare l'insieme A in modo che la differenza simmetrica A\ \Delta\ B sia

 

A\ \Delta\ B=\{x\ |\ x\ \grave{e}\mbox{ una lettera della parola PANINO}\}

 

 

Esercizio 4) Dati gli insiemi A,B,E definiti da

 

A=\{x\ |\ x\ \grave{e}\mbox{ un numero pari compreso tra } 1 \mbox{ e } 13\} \\ \\ B=\{x\ |\ x\ \grave{e}\mbox{ un numero dispari compreso tra } 0 \mbox{ e } 10\} \\ \\ E=\{x\ |\ x\ \grave{e}\mbox{ un numero naturale maggiore di } 0 \mbox{ e minore di } 14\}

 

e detto D=A^C il complementare dell'insieme A rispetto all'insieme E, determinare l'insieme

 

A\ \Delta\ (B\ \Delta\ D)

 

 

Esercizio 5) Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando le risposte.

 

a) Se A \cap B = \emptyset allora A\ \Delta\ B=A \cup B.

 

b) Dati A=\{a, \ b, \ c\} e B=\{c, \ d, \ e\}, la loro differenza simmetrica è

 

A\ \Delta\ B = \{a, \ b, \ c, \ d, \ e\}

 

c) Se A\ \Delta\ B = \emptyset, allora A = B.

 

d) Se A\ \Delta\ B = \emptyset, allora A = \emptyset oppure B = \emptyset.

 

 

Esercizio 6) Dimostrare coi diagrammi di Eulero Venn che l'intersezione tra insiemi gode della proprietà distributiva rispetto alla differenza simmetrica:

 

A \cap (B\ \Delta\ C) = (A \cap B)\ \Delta\ (A \cap C)

 

 

Svolgimento esercizio 1

 

Traccia: dati gli insiemi A,B definiti da

 

A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}\\ \\ B=\{1,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9\}

 

determinare, utilizzando i diagrammi di Eulero Venn, gli insiemi A\ \Delta\ B e B\ \Delta\ A. Vale la proprietà commutativa?

 

Soluzione: abbiamo visto che, per definizione

 

A\ \Delta\ B=(A-B) \cup (B-A)

 

e quindi, allo stesso modo:

 

B\ \Delta\ A=(B-A) \cup (A-B)

 

La differenza simmetrica gode quindi della proprietà commutativa, perché l'unione tra insiemi è commutativa.

 

Per determinare la differenza simmetrica dobbiamo innanzitutto individuare le differenze tra i due insiemi coinvolti. Rappresentiamo il tutto graficamente:

 

 

Esercizio sulla differenza simmetrica

 

 

La differenza tra A e B è data dalla parte in blu, quindi

 

A-B=\{2, \ 3, \ 4\}

 

Mentre la differenza tra B e A è data dalla parte in rosso

 

B-A=\{7, \ 8, \ 9\}

 

Possiamo allora concludere che

 

A\ \Delta\ B = B\ \Delta\ A = \\ \\ =(A-B) \cup (B-A)=\{2, \ 3, \ 4, \ 7, \ 8, \ 9\}

 

 

Svolgimento esercizio 2

 

Traccia: dato l'insieme A=\{a, \ b, \ c, \ d, \ e\}, individuare l'insieme B in modo che risulti

 

A\ \Delta\ B=\{a, \ b, \ c, \ f \}

 

Soluzione: un modo equivalente per definire la differenza simmetrica consiste nel descriverla come l'insieme degli elementi che appartengono all'unione ma non all'intersezione dei due insiemi A e B

 

A\ \Delta\ B=(A\cup B)-(A\cap B)

 

Ragioniamo sulla base di questa osservazione. Per come sono assegnati gli insiemi A e A\ \Delta\ B

 

A=\{a, \ b, \ c, \ d, \ e\}\\ \\ A\ \Delta\ B=\{a, \ b, \ c, \ f \}

 

dobbiamo scegliere B in modo da eliminare gli elementi d, e dall'insieme A e aggiungere l'elemento f.

 

Gli elementi da rimuovere sono quelli appartenenti all'intersezione A\cap B, che quindi devono appartenere anche a B

 

B=\{d,\ e,\ ...\}

 

Gli elementi da aggiungere devono appartenere all'unione A\cup B, e non appartenendo ad A devono necessariamente appartenere a B

 

B=\{d,\ e,\ f\}

 

Per avere conferma rappresentiamo il tutto coi diagrammi di Eulero Venn:

 

 

Esercizio sulla differenza simmetrica

 

 

Svolgimento esercizio 3

 

Traccia: dato l'insieme B definito da

 

B=\{x\ |\ x\ \grave{e}\mbox{ una lettera della parola PIANO}\}

 

trovare l'insieme A in modo che la differenza simmetrica A\ \Delta\ B sia

 

A\ \Delta\ B=\{x\ |\ x\ \grave{e}\mbox{ una lettera della parola PANINO}\}

 

Soluzione: scriviamo i due insiemi per elencazione

 

B=\{p,\ i,\ a,\ n,\ o\}\\ \\ A\ \Delta\ B = \{p, \ a, \ n, \ i, \ o\}

 

Notiamo che i due insiemi sono uguali, infatti hanno esattamente gli stessi elementi (per definizione di insieme l'ordine degli elementi non conta).

 

Ne segue che A deve essere necessariamente l'insieme vuoto A=\emptyset, infatti in tal caso

 

A-B=\emptyset-\{p,\ i,\ a,\ n,\ o\}=\emptyset\\ \\ B-A=\{p,\ i,\ a,\ n,\ o\}-\emptyset=\{p,\ i,\ a,\ n,\ o\}\\ \\ (A-B)\cup (B-A)=\{p,\ i,\ a,\ n,\ o\}

 

 

Svolgimento esercizio 4

 

Traccia: dati gli insiemi A,B,E definiti da

 

A=\{x\ |\ x\ \grave{e}\mbox{ un numero pari compreso tra } 1 \mbox{ e } 13\} \\ \\ B=\{x\ |\ x\ \grave{e}\mbox{ un numero dispari compreso tra } 0 \mbox{ e } 10\} \\ \\ E=\{x\ |\ x\ \grave{e}\mbox{ un numero naturale maggiore di } 0 \mbox{ e minore di } 14\}

 

e detto D=A^C il complementare dell'insieme A rispetto all'insieme E, determinare l'insieme

 

A\ \Delta\ (B\ \Delta\ D)

 

Soluzione: come sempre il modo migliore per iniziare è quello di esplicitare gli insiemi assegnati:

 

A=\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12\}\\ \\ B=\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\}\\ \\ E=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13\}

 

Essendo D il complementare di A rispetto a E, è definito come la differenza insiemistica tra i due (o equivalentemente come l'insieme degli elementi di E che non appartengono ad A):

 

D=E-A=\{1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9, \ 11, \ 13\}

 

Possiamo ora procedere a determinare l'insieme richiesto dall'esercizio:

 

B\ \Delta\ D = (B-D)\cup(D-B)=\\ \\ =(\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\}-\{1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9, \ 11, \ 13\})\cup\\ \\ \cup (\{1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9, \ 11, \ 13\}-\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\})=\\ \\ =\emptyset \cup \{11,\ 13\}=\\ \\ =\{11, \ 13\}

 

da cui

 

A\ \Delta\ (B\ \Delta\ D)= (A-(B\ \Delta\ D))\cup((B\ \Delta\ D)-A)=\\ \\ =(\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12\}-\{11, \ 13\})\cup(\{11, \ 13\}-\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12\})=\\ \\ = \{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12\}\cup \{11,\ 13\}=\\ \\ = \{2, \ 4, \ 6, \ 8, \ 10, \ 11, \ 12, \ 13\}

 

In alternativa, dopo aver determinato B\ \Delta\ D avremmo potuto osservare che ha intersezione vuota con A, e dunque applicare la definizione equivalente di differenza simmetrica:

 

A\ \Delta\ (B\ \Delta\ D)=(A\cup (B\ \Delta\ D) )-(A\cap (B\ \Delta\ D) ) =\\ \\ =(A\cup (B\ \Delta\ D) )-\emptyset=(A\cup (B\ \Delta\ D) )

 

 

Svolgimento esercizio 5

 

Traccia: stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando le risposte.

 

a) Se A \cap B = \emptyset allora A\ \Delta\ B=A \cap B.

 

b) Dati A=\{a, \ b, \ c\} e B=\{c, \ d, \ e\}, la loro differenza simmetrica è

 

A\ \Delta\ B = \{a, \ b, \ c, \ d, \ e\}

 

c) Se A\ \Delta\ B = \emptyset, allora A = B.

 

d) Se A\ \Delta\ B = \emptyset, allora A = \emptyset oppure B = \emptyset.

 

Soluzione:

 

a) Vero. Infatti A\ \Delta\ B è dato dagli elementi dell'unione che non appartengono all'intersezione quindi, se l'intersezione è vuota, risulta

 

A\ \Delta\ B=(A \cup B)-(A\cap B)=\\ \\ =(A \cup B)-\emptyset=A\cup B

 

 

b) Falso. Si vede subito che l'intersezione dei due insiemi contiene l'elemento c, e in accordo con la definizione equivalente di differenza simmetrica dobbiamo togliere gli elementi dell'intersezione dall'unione. La differenza simmetrica non può quindi contenere elementi dell'intersezione tra i due insiemi.

 

Si vede facilmente che è:

 

A\ \Delta\ B = \{a, \ b, \ d, \ e\}

 

c) Vero. Se la differenza simmetrica non ha elementi, vuol dire che tutti gli elementi dell'unione tra i due insiemi sono contenuti anche nell'intersezione, e dunque i due insiemi devono essere uguali.

 

A\ \Delta\ B=\emptyset\ \Rightarrow\ A=B

 

Sapendo che vale anche il viceversa, concludiamo che

 

A\ \Delta\ B=\emptyset\ \Leftrightarrow\ A=B

 

d) Falso. La proprietà non vale in generale, nel senso che se la differenza simmetrica è vuota non è detto che almeno uno dei due insiemi sia vuoto. Basta pensare alla proprietà vista in c) e a un semplice controesempio:

 

A=\{1\}=B\ \Rightarrow A\ \Delta\ B=\emptyset

 

 

Svolgimento esercizio 6

 

Traccia: dimostrare coi diagrammi di Eulero Venn che l'intersezione tra insiemi gode della proprietà distributiva rispetto alla differenza simmetrica:

 

A \cap (B\ \Delta\ C) = (A \cap B)\ \Delta\ (A \cap C)

 

Soluzione: iniziamo col rappresentare il primo membro, ossia A \cap (B\ \Delta\ C)

 

 

Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto alla differenza simmetrica tra insiemi

 

 

Riguardo al secondo membro, (A \cap B)\ \Delta\ (A \cap C) è dato da:

 

 

Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto alla differenza simmetrica tra insiemi 2

 

e abbiamo mostrato la proprietà. I casi particolari (uno o più insiemi vuoti, una o più coppie di insiemi disgiunti) sono semplici e li lasciamo a voi per esercizio. :)

 

 


 

La scheda successiva riguarda gli esercizi sulle partizioni degli insiemi. Non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e altrettante lezioni, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata

 
 

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