Esercizi sull'insieme universo

Una raccolta di esercizi svolti sull'insieme universo è il modo migliore per approfondire quanto già visto nella lezione che ci ha permesso di capire cos'è l'insieme universo di un dato insieme e come si può costruire.

 

Niente di particolarmente difficile, solo una breve selezione di esercizi risolti per interiorizzare al meglio la nozione di insieme universo: semplice di per sé, ma delicata in alcuni aspetti e in alcune sue implicazioni.

 

Esercizi risolti sull'insieme universo

 

Prima di procedere con gli esercizi ricordiamo brevemente che un qualsiasi insieme U si dice insieme ambiente o insieme universo di un insieme A se A è un suo sottoinsieme.

 

È bene sottolineare che un insieme A ammette infiniti insiemi universo: basta infatti considerare qualsiasi suo sovrainsieme, a partire dal sovrainsieme improprio dato dall'insieme stesso A.

 

 

Esercizio 1) Dire quali tra i seguenti insiemi possono essere considerati insiemi universo dell'insieme A = {2, 4, 6, 8, 20}.

 

U1 = {x | x è un numero naturale}

 

U2 = {x | x è un numero pari compreso tra 1 e 21}

 

U3 = {x | x è un numero pari}

 

U4 = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22}

 

 

Esercizio 2) Scrivere tre possibili insiemi universo per l'insieme A={x | x è una lettera della parola magia}.

 

 

Esercizio 3) Osservare il seguente diagramma di Eulero Venn e dedurre da esso l'insieme A e l'insieme universo considerato, rappresentandoli per elencazione.

 

 

Diagramma per un esercizio sull'insieme universo

 

 

Esercizio 4) Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando la risposta.

 

a) Se B è un sottoinsieme proprio di A allora A può essere considerato un insieme universo per l'insieme B.

 

b) Se B è un sottoinsieme proprio di A allora B può essere considerato un insieme universo per l'insieme A.

 

c) L'insieme delle lettere dell'alfabeto italiano è un insieme universo per l'insieme A dato da

 

A = {c, d, e, f, g, k, m}

 

 

Esercizio 5) Scrivere tre insiemi non equipotenti che abbiano come insieme universo l'insieme U dato da

 

U = {x | x è un multiplo di 5 minore di 100}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

 

Svolgimento esercizio 1

 

Traccia: dire quali tra i seguenti insiemi possono essere considerati insiemi universo dell'insieme A = {2, 4, 6, 8, 20}.

 

U1 = {x | x è un numero naturale}

 

U2 = {x | x è un numero pari compreso tra 1 e 21}

 

U3 = {x | x è un numero pari}

 

U4 = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22}

 

Soluzione: tutti, ad eccezione di U_4, sono possibili insiemi universo dell'insieme A.

 

L'insieme U_4 non va bene come insieme universo di A in quanto non contiene A. Osserviamo infatti che 2 \in A e d'altra parte che 2 \notin \mbox{U_4}.

 

 

Svolgimento esercizio 2

 

Traccia: scrivere tre possibili insiemi universo per l'insieme A={x | x è una lettera della parola magia}.

 

Svolgimento: i primi tre che insiemi che potrebbero venirci in mente (ce ne sono tanti altri) sono:

 

U1 = {x | x è una lettera dell'alfabeto italiano}

 

U2 = {x | x è una lettera dell'alfabeto inglese}

 

U3 = {a, b, c, g, h, i, l, m, n, p}

 

 

Svolgimento esercizio 3

 

Traccia: osservare il seguente diagramma di Eulero Venn e dedurre da esso l'insieme A e l'insieme universo considerato, rappresentandoli per elencazione.

 

 

Diagramma per un esercizio sull'insieme universo

 

 

Soluzione: non dobbiamo fare altro che eprimere gli elementi dei due insiemi elencandoli. Attenzione che nell'insieme U dobbiamo includere anche gli elementi dell'insieme A:

 

A = {b, d, g, i, f, m}

 

U = {b, d, g, i, f, m, a, c, e, l, h}

 

 

Svolgimento esercizio 4

 

a) Se B è un sottoinsieme proprio di A allora A può essere considerato un insieme universo per l'insieme B.

 

b) Se B è un sottoinsieme proprio di A allora B può essere considerato un insieme universo per l'insieme A.

 

c) L'insieme delle lettere dell'alfabeto italiano è un insieme universo per l'insieme A dato da

 

A = {c, d, e, f, g, k, m}

 

Soluzione:

 

a) Vero, in accordo con la definizione di insieme universo.

 

b) Falso! Per convincersene basta ricordare la definizione di insieme universo o, ancor meglio, rappresentare coi diagrammi di Eulero Venn la situazione. B è un sottoinsieme proprio di A

 

 

Sottoinsieme proprio di un insieme universo

 

 

c) Falso, in quando c'è la lettera "k" che appartiene ad A ma non all'alfabeto italiano 

 

 

Svolgimento esercizio 5

 

Traccia: scrivere tre insiemi non equipotenti che abbiano come insieme universo l'insieme U dato da

 

U = {x | x è un multiplo di 5 minore di 100}

 

Soluzione:

 

A = {10, 15, 20}

 

B = {20, 25, 30, 35}

 

C = {90}

 

sono tre insiemi che soddisfano le condizioni richieste.

 

 


 

La prossima scheda è interamente dedicata agli esercizi su unione e intersezione: non perdetevela! ;) E non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e altrettanti approfondimenti, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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