Esercizi sulla cardinalità
Gli esercizi svolti sulla cardinalità che proponiamo qui servono ad approfondire i concetti di cardinalità di un insieme e di insiemi uguali ed equipotenti, che abbiamo trattato nelle rispettive lezioni.
In questa scheda richiamiamo rapidamente le nozioni di riferimento, dopodiché affrontiamo una manciata di esercizi con svolgimenti completi e dettagliati.
Nel caso ve la foste persa, vi raccomandiamo di consultare la scheda di esercizi su proprietà e rappresentazione degli insiemi. ;)
Esercizi sulla cardinalità degli insiemi
Richiamiamo brevemente i concetti teorici protagonisti delle seguenti tracce.
Si dice cardinalità di un insieme finito il numero dei suoi elementi, mentre la cardinalità di un insieme infinito è per definizione infinito.
Nel caso degli insiemi infiniti si preferisce parlare di potenza degli insiemi, nozione che per gli insiemi finiti equivale alla cardinalità e che assume un diverso significato nel caso infinito. È un argomento di cui non ci occupiamo qui e che affronteremo nel corso di Analisi Matematica (≥ quinta superiore).
Due insiemi in generale si dicono equipotenti se hanno la stessa potenza. Poiché potenza e cardinalità sono concetti equivalenti per gli insiemi finiti, possiamo affermare che due insiemi finiti sono equipotenti se hanno la stessa cardinalità, ossia lo stesso numero di elementi.
Da ultimo, due insiemi si dicono uguali se hanno esattamente gli stessi elementi.
Esercizio 1) Scrivere tre insiemi equipotenti all'insieme
Esercizio 2) Determinare la cardinalità di ciascuno dei seguenti insiemi e stabilire quali tra di essi sono equipotenti.
A = {x | x è un mese dell'anno di 30 giorni}
B = {x | x è una stagione dell'anno}
C = {x | x è una lettera della parola casa}
D = {x | x è una lettera della parola fune}
E = {t, r, e}
Esercizio 3) Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando la risposta.
a) Due insiemi uguali sono equipotenti.
b) Due insiemi equipotenti sono uguali.
c) L'insieme vuoto ha cardinalità pari a 1.
d) Gli insiemi A = {x | x è una lettera della parola fine} e B = {x | x è una lettera della parola otto} sono equipotenti.
e) Gli insiemi A = {x | x è una lettera della parola Salvatore} e B = {x | x è una lettera della parola lavoraste} sono uguali.
Esercizio 4) Rappresenta per elencazione almeno tre insiemi unitari.
Svolgimenti e soluzioni
Svolgimento esercizio 1
Traccia: scrivere tre insiemi equipotenti all'insieme
Soluzione: cominciamo con la rappresentazione per elencazione dell'insieme 
, prestando attenzione ai simboli di minore (minore-uguale nel primo caso, solo minore nel secondo).
è formato dai numeri naturali compresi tra 2 e 9, con 2 incluso e 9 escluso
Per individuarne la cardinalità basta contare gli elementi: 
.
Per scrivere tre insiemi equipotenti ad esso è sufficiente considerare tre insiemi a nostro piacimento tali da avere sette elementi. Ad esempio:
B={do, re, mi, fa, sol, la, si}
C={x | x è una lettera della parola YouMath}
D={x | x è uno dei sette nani}
Svolgimento esercizio 2
Traccia: determinare la cardinalità di ciascuno dei seguenti insiemi e stabilire quali tra di essi sono equipotenti.
A={x | x è un mese dell'anno di 30 giorni}
B={x | x è una stagione dell'anno}
C={x | x è una lettera della parola casa}
D={x | x è una lettera della parola fune}
E={t, r, e}
Soluzione: quando il numero di elementi di un insieme è intuitivamente "piccolo", il modo migliore per determinarlo prevede anzitutto di rappresentarlo per elencazione. Alcuni degli insiemi proposti sono rappresentati per caratteristica, quindi per prima cosa passiamo dalla forma intensiva a quella estensiva:
A = {x | x è un mese dell'anno di 30 giorni} = {Novembre, Aprile, Giugno, Settembre}
B = {x | x è una stagione dell'anno} = {Inverno, Primavera, Estate, Autunno}
C = {x | x è una lettera della parola casa} = {c, a, s}
D = {x | x è una lettera della parola fune} = {f, u, n, e}
E = {t, r, e} (già rappresentato per elencazione)
Ora è tutto molto semplice. Gli insiemi 
hanno quattro elementi, gli insiemi 
ne hanno tre
Di conseguenza gli insiemi sono equipotenti tra loro, come sono equipotenti tra loro gli insiemi .
Svolgimento esercizio 3
Traccia: stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando la risposta.
a) Due insiemi uguali sono equipotenti.
b) Due insiemi equipotenti sono uguali.
c) L'insieme vuoto ha cardinalità pari a 1.
d) Gli insiemi A={x | x è una lettera della parola fine} e B={x | x è una lettera della parola otto} sono equipotenti.
e) Gli insiemi A={x | x è una lettera della parola Salvatore} e B={x | x è una lettera della parola lavoraste} sono uguali.
Soluzione:
a) Vero. Infatti due insiemi sono uguali se hanno esattamente gli stessi elementi, e di conseguenza tali elementi saranno in egual numero.
b) Falso. Avere lo stesso numero di elementi non implica che siano esattamente gli stessi elementi.
c) Falso. L'insieme vuoto non ha elementi, quindi ha cardinalità pari a zero.
d) Falso. C'è un tranello... :)
Ricordiamo che un insieme per definizione non ha elementi ripetuti, quindi se scriviamo i due insiemi per elencazione
A = {f, i, n, e}
B = {o, t}
vediamo che le cardinalità di e 
sono rispettivamente 4 e 2. I due insiemi non sono equipotenti.
e) Vero, infatti
A = {s, a, l, v, t, o, r, e}
B = {l, a v, o, r, s, t, e}
entrambi gli insiemi hanno cardinalità 8 e dunque sono equipotenti.
Svolgimento esercizio 4
Traccia: scrivi almeno tre insiemi unitari.
Soluzione: un insieme unitario per definizione è un insieme che contiene solamente un elemento. Con questa premessa la risposta dipende solo dalla nostra immaginazione ;)
A = {1}
B = {x | x è una vocale della parola tre} = {e}
C = {x | x è un numero pari compreso tra 1 e 3} = {2}
Ci fermiamo qui. Questa tipologia di esercizi è estremamente semplice, a ben vedere si tratta solo di ricordare il significato delle nozioni e sapere passare da una rappresentazione all'altra.
La sceda successiva riguarderà gli esercizi sui sottoinsiemi. In caso di dubbi, o per qualsiasi approfondimento desideriate, non esitate e trovate tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)
Buon lavoro!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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