Esercizi di Probabilità con gli insiemi

Uno degli aspetti più affascinanti della Matematica è che alcuni concetti, anche se all'apparenza possono sembrare tra loro estranei, sono in realtà correlati. È il caso ad esempio dell'insiemistica e del Calcolo della Probabilità.

 

Questa scheda, che è da considerarsi come un extra rispetto agli esercizi sugli insiemi e alle relative lezioni di insiemistica, si rivolge ai ragazzi delle Scuole Medie e si pone l'obiettivo di mostrare come usare la teoria degli insiemi per il calcolo delle probabilità.

 

Grazie alle nozioni insiemistiche siamo in grado di risolvere un gran numero di problemi sul calcolo delle probabilità in modo agevole e veloce! Non ci credete? Vediamo qualche esempio...

 

Esercizio di probabilità risolto con gli insiemi

 

Prima di analizzare il metodo generale per risolvere gli esercizi di probabilità (delle Scuole Medie) con gli insiemi, vediamo un esempio.

 

Traccia: in una classe di 25 alunni 12 leggono libri di avventura, 10 leggono libri di fantascienza e 2 amano entrambi i generi letterari. Calcola la probabilità che uno studente, scelto a caso:

 

a) legga libri di avventura;

 

b) non ami leggere libri di fantascienza;

 

c) non ami nessuno dei due generi letterari.

 

Soluzione: per cominciare rappresentiamo la situazione con un opportuno diagramma di Eulero-Venn.

 

In primo luogo disegniamo un rettangolo, che corrisponde all'insieme universo U in cui dobbiamo ragionare. Come insieme universo scegliamo l'insieme che contiene tutti gli studenti della classe, ossia 25 elementi.

 

All'interno dell'insieme universo dobbiamo considerare due insiemi: uno per gli amanti dei libri di avventura, che indicheremo con A, e uno per quelli che prediligono la fantascienza, che indicheremo con F.

 

 

Diagramma EV da riempire

 

 

Ora vediamo come "riempire" il diagramma di Venn.

 

Poiché 2 studenti amano entrambe le letture, indichiamo 2 elementi nell'intersezione A \cap F.

 

Sappiamo poi che 12 studenti leggono libri di avventura. Poiché vi sono già 2 elementi nell'intersezione, inseriamo 10 elementi all'interno di A e all'esterno dell'intersezione. In questo modo A ha complessivamente 12 elementi.

 

Allo stesso modo inseriamo 8 elementi all'interno di F e all'esterno dell'intersezione, così che in tutto F contenga un totale di 10 elementi: gli studenti che leggono libri di fantascienza.

 

Gli studenti sono 25 in tutto. Poiché all'interno degli insiemi A e F vi sono 20 elementi

 

10+2+8=20

 

vale a dire che l'unione tra i due insiemi ha 20 elementi, è chiaro che al di fuori di essi vi saranno 5 elementi:

 

25-20=5

 

 

Diagramma EV riempito

 

 

Riepiloghiamo la situazione in termini di cardinalità e, ove necessario, con l'ausilio delle operazioni di differenza insiemistica e di complementazione:

 

\mbox{card}(U)=25\ ;\ \mbox{card}(A)=12\ ;\ \mbox{card}(F)=10\\ \\ \mbox{card}(A-F)=10\ \ ;\ \ \mbox{card}(F-A)=8\\ \\ \mbox{card}(A\cap F)=2\\ \\ \mbox{card}(A\cup F)=20\ \ ;\ \ \mbox{card}((A\cup F)^C)=5

 

Abbiamo praticamente finito. Per calcolare la probabilità \mathbb{P} di ciascuna eventualità usiamo la formula

 

\mathbb{P}(\mbox{eventualit}\grave{\mbox{a}})=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}

 

Osservando il diagramma e ricordando che il numero totale degli studenti è 25, capiamo che i casi possibili sono 25 e che i casi favorevoli sono dati, di volta in volta, dal numero di elementi dell'insieme considerato.

 

a) La probabilità di scegliere uno studente che legge libri di avventura è

 

\mathbb{P}(A)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{12}{25}

 

poiché vi sono 12 elementi all'interno di A.

 

b) La probabilità di scegliere uno studente che non ama i libri di avventura si riferisce all'insieme complementare di F, ossia F^C, che ha 15 elementi

 

\mbox{card}(F^C)=15

 

e dunque

 

\mathbb{P}(F^C)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}

 

c) La probabilità di scegliere uno studente che non ama nessuno dei due generi si riferisce al complementare dell'unione tra A e F

 

\mbox{card}((A\cup F)^C)=5

 

quindi

 

\mathbb{P}((A \cup F)^C)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}

 

Come avrete notato basta quindi interpretare correttamente il testo del problema, darne una rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn e servirsene per contare gli elementi dei vari insiemi.

 

Metodo per risolvere gli esercizi di probabilità con gli insiemi

 

Cerchiamo di generalizzare il metodo, ragionando nel caso di due insiemi:

 

0) rappresentare l'insieme universo e determinarne il numero di elementi;

 

1) individuare gli elementi dell'intersezione, e il relativo numero;

 

2) individuare gli elementi degli insiemi che non appartengono all'intersezione, e il relativo numero;

 

3) determinare gli elementi al di fuori dell'unione dei due insiemi, e il relativo numero;

 

4) rappresentare i due insiemi all'interno dell'insieme universo mediante un diagramma di Venn;

 

5) riepilogare le cardinalità di ciascun insieme;

 

6) per ciascuna richiesta, applicare la formula

 

\mathbb{P}(\mbox{eventualit}\grave{\mbox{a}})=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}

 

ricordando che i casi possibili corrispondono agli elementi dell'insieme universo, mentre i casi favorevoli riguardano l'insieme che descrive l'eventualità considerata.

 

 

Esempio

 

Traccia: gli alunni di una classe sono 30. Di questi 10 giocano a calcio, 8 a pallavolo e 4 praticano entrambi gli sport. Di un alunno scelto a caso, calcolare la probabilità che:

 

a) pratichi almeno uno dei due sport;

 

b) non pratichi nessuno dei due sport.

 

Svolgimento: lo schema del diagramma di Eulero-Venn è lo stesso del problema precedente. In questo caso indichiamo i due insiemi con C e P. Il primo conterrà gli studenti che giocano a calcio, il secondo quelli che giocano a Pallavolo.

 

Riempiamo il diagramma partendo dall'intersezione, che è costituita da 4 elementi.

 

Poiché 10 alunni giocano a calcio, tolti i 4 dell'intersezione ne rimangono 6: indichiamoli all'interno di C e al di fuori dell'intersezione.

 

Allo stesso modo scopriamo che all'interno di P e al di fuori dell'intersezione ci sono 4 elementi.

 

Essendoci 30 alunni in totale, e poiché l'unione C \cup P ha 14 elementi, al di fuori di essa ce ne saranno 16.

 

 

Diagramma di EV esempio 2

 

 

\mbox{card}(U)=30\ ;\ \mbox{card}(C)=10\ ;\ \mbox{card}(P)=8\\ \\ \mbox{card}(C-P)=6\ \ ;\ \ \mbox{card}(P-C)=4\\ \\ \mbox{card}(C\cap P)=4\\ \\ \mbox{card}(C\cup P)=14\ \ ;\ \ \mbox{card}((C\cup P)^C)=16

 

Ci siamo:

 

a) per scegliere uno studente che pratichi almeno uno dei due sport dobbiamo considerare come casi favorevoli gli elementi dell'unione C\cup P

 

P(C \cup P)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}

 

"Almeno uno dei due" in simboli equivale al connettivo logico \vee, ossia all'unione.

 

b) Per scegliere uno studente che non pratichi alcuno dei due sport facciamo riferimento al complementare dell'unione:

 

P((C\cup P)^C)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}

 

 


 

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Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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