Esercizi sull'insieme complementare

In questa scheda vi proponiamo una manciata di esercizi sul complementare di un insieme, interamente risolti e commentati passo-passo.

 

Dopo aver affrontato gli esercizi su unione e intersezione passiamo alla terza operazione insiemistica: la complementazione. Le tracce elencate qui di seguito sono corredate da svolgimenti completi e riguardano il calcolo e la rappresentazione del complementare di un insieme.

 

Come sicuramente saprete se avete già letto la lezione correlata, la nozione di complementare è strettamente correlata a quella di insieme universo; nel caso servisse, vi raccomandiamo un rapido ripasso prima di proseguire ed eventualmente un'occhiata agli esercizi sull'insieme universo. ;)

 

Esercizi risolti sull'insieme complementare

 

Come di consueto iniziamo con un riepilogo su definizione, sui simboli coinvolti e sul motivo per cui non si può parlare di insieme complementare se non si ha ben chiaro il concetto di insieme universo.

 

Si dice insieme universo o insieme ambiente di un insieme A, e si indica con U, qualsiasi insieme che contiene l'insieme A come sottoinsieme.

 

Se si considera un determinato insieme universo U\supseteq A di un insieme A, l'insieme complementare di A rispetto all'insieme U è l'insieme contenente tutti gli elementi di U che non appartengono ad A.

 

Quando si parla di complementare di un insieme, dunque, si sottintende che l'operazione di complementazione va svolta con riferimento all'insieme universo preventivamente scelto. In ciascun caso il complementare dell'insieme A rispetto all'insieme universo scelto si indica con A^C.

 

Vediamo ora degli esercizi classici che potete usare modello per svolgere quelli assegnati dal vostro professore. ;)

 

 

Esercizio 1) Sia A l'insieme dei numeri pari compresi tra 1 e 9. Quali dei seguenti insiemi si possono considerare un suo insieme universo?

 

U_1=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero naturale} \}\\ \\ U_2=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero dispari compreso tra } 0 \mbox{ e } 10 \}\\ \\ U_3=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero pari compreso tra } 1 \mbox{ e } 99 \}

 

Per ognuno degli eventuali insiemi universo tra U_1,U_2,U_3, individuare l'insieme complementare di A.

 

 

Esercizio 2) Per ciascuno dei seguenti insiemi individuare un possibile insieme universo, e individuare il complementare dell'insieme di partenza:

 

A=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un continente americano} \}\\ \\ B=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero pari} \}\\ \\ C=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una vocale} \}

 

 

Esercizio 3) Dato l'insieme delle lettere della parola MELA, determinare il suo complementare rispetto all'insieme delle lettere della parola MELODIA e fornirne una rappresentazione mediante diagramma di Eulero-Venn.

 

 

Esercizio 4) Scegliere tra le tre alternative proposte l'insieme rappresentato dal seguente diagramma di Eulero-Venn:

 

A^C\ \ ;\ \ (A\cap B)^C\ \ ;\ \ (A\cup B)^C

 

 

Diagramma EV esercizio 4 sugli insiemi complementari

 

 

Esercizio 5) Dati i seguenti insiemi, rappresentati con un diagramma di Eulero-Venn, fornire una rappresentazione per elencazione dell'insieme complementare di B rispetto ad A

 

 

Diagramma EV esercizio 5 sugli insiemi complementari

 

 

Esercizio 6) Determinare l'insieme complementare rispetto all'insieme dei numeri naturali dell'insieme dei multipli di 2.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

 

Svolgimento esercizio 1

 

Traccia: sia A l'insieme dei numeri pari compresi tra 1 e 9. Quali dei seguenti insiemi si possono considerare un suo insieme universo?

 

U_1=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero naturale} \}\\ \\ U_2=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero dispari compreso tra } 0 \mbox{ e } 10 \}\\ \\ U_3=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero pari compreso tra } 1 \mbox{ e } 99 \}

 

Per ognuno degli eventuali insiemi universo tra U_1,U_2,U_3, individuare l'insieme complementare di A.

 

Soluzione: innanzitutto dobbiamo capire quali tra gli insiemi proposti è un insieme che contiene A come sottoinsieme. Scriviamo la rappresentazione per elencazione di A:

 

A=\{2,4,6,8\}

 

È allora evidente che sia U_1 che U_3 possono essere considerati insiemi universo per l'insieme A, e in modo altrettanto ovvio che U_2 non contiene A come sottoinsieme.

 

Per quanto riguarda la complementazione di A in U_1 prendiamo gli elementi di U_1 che non appartengono ad A. In questo caso possiamo optare per una rappresentazione mista, come unione tra una rappresentazione per elencazione e una rappresentazione per caratteristica:

 

A^C=\{0,1,3,5,7,9\}\cup\{x\ |\ x\in\mathbb{N},\ x\geq 10\}

 

Per la complementazione di A in U_3, invece:

 

A^C=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero pari compreso tra } 9 \mbox{ e } 99 \}

 

 

Svolgimento esercizio 2

 

Traccia: per ciascuno dei seguenti insiemi individuare un possibile insieme universo, e individuare il complementare dell'insieme di partenza:

 

A=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un continente americano} \}\\ \\ B=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero pari} \}\\ \\ C=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una vocale} \}

 

Soluzione: per la prima richiesta basta scrivere per ciascun insieme proposto un insieme "più grande" che lo contenga come sottoinsieme; le soluzioni possono essere molteplici, perché ogni insieme ammette infiniti insiemi universo.

 

Per individuare il complementare nell'insieme universo scelto, invece, procediamo per esclusione degli elementi:

 

A=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un continente americano} \}\\ \\ U_A=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un continente} \}

 

Poiché i continenti sono Nord America, Sud America, Europa, Africa, Asia, Oceania, Antartide, il complementare di A in U_A è

 

A^C=\{\mbox{Europa},\ \mbox{Africa},\ \mbox{Asia},\ \mbox{Oceania},\ \mbox{Antartide}\}

 

Per l'insieme B la scelta è immediata

 

B=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero pari} \}\\ \\ U_B=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero naturale} \}

 

e sapendo che i numeri naturali possono essere pari o dispari:

 

B^C=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero dispari} \}

 

Infine:

 

C=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una vocale} \}\\ \\ U_C=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una lettera dell'alfabeto italiano} \}

 

e ovviamente, poiché l'alfabeto è composto da vocali e consonanti:

 

C^C=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una consonante} \}

 

 

Svolgimento esercizio 3

 

Traccia: dato l'insieme delle lettere della parola MELA, determinare il suo complementare rispetto all'insieme delle lettere della parola MELODIA e fornirne una rappresentazione mediante diagramma di Eulero-Venn.

 

Soluzione: anche se la traccia lo stabilisce implicitamente, scriviamo i due insiemi per elencazione e verifichiamo che il secondo è effettivamente un insieme universo del primo:

 

A=\{m,\ e,\ l,\ a\}\\ \\ U_A=\{m,\ e,\ l,\ o,\ d,\ i,\ a\}

 

e dunque A\subseteq U_A. L'insieme A^C, ossia il complementare di A rispetto a U_A, contiene gli elementi di U_A che non appartengono ad A:

 

A^C=\{o,\ d, \ i\}

 

Con un diagramma di Eulero-Venn:

 

 

Diagramma EV per esercizio 3 sugli insiemi complementari

 

 

Svolgimento esercizio 4

 

Traccia: scegliere tra le tre alternative proposte l'insieme rappresentato dal seguente diagramma di Eulero-Venn:

 

A^C\ \ ;\ \ (A\cap B)^C\ \ ;\ \ (A\cup B)^C

 

 

Diagramma EV esercizio 4 sugli insiemi complementari

 

 

Soluzione: in questo caso possiamo considerare come insieme universo l'unione A\cup B. In questo modo si vede facilmente che il diagramma rappresenta l'insieme (A\cap B)^C.

 

 

Svolgimento esercizio 5

 

Traccia: dati i seguenti insiemi, rappresentati con un diagramma di Eulero-Venn, fornire una rappresentazione per elencazione dell'insieme complementare di B rispetto ad A

 

 

Diagramma EV esercizio 5 sugli insiemi complementari

 

 

Soluzione: è sufficiente individuare gli elementi di A che non appartengono a B.

 

B^C=\{mi, \ sol, \ la, \ si\}

 

 

Svolgimento esercizio 6

 

Traccia: determinare l'insieme complementare rispetto all'insieme dei numeri naturali dell'insieme dei multipli di 2.

 

Soluzione: poiché i multipli di 2 nell'insieme dei numeri naturali sono semplicemente i numeri pari, il complementare di tale insieme rispetto all'insieme dei numeri naturali è l'insieme dei numeri dispari.

 

 


 

È tutto. Vi aspettiamo nella scheda di esercizi sulla differenza insiemistica. In caso di dubbi, problemi o perplessità, non disperate: utilizzando la barra di ricerca interna potete trovare una risposta a tutto. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata

 
 

Tags: esercizi risolti sul complementare di un insieme e sulla complementazione in un insieme universo.