Esercizi sull'insieme complementare

In questa scheda vi proponiamo una manciata di esercizi sul complementare di un insieme, interamente risolti e commentati passo-passo.

Dopo aver affrontato gli esercizi su unione e intersezione passiamo alla terza operazione insiemistica: la complementazione. Le tracce elencate qui di seguito sono corredate da svolgimenti completi e riguardano il calcolo e la rappresentazione del complementare di un insieme.

Come sicuramente saprete se avete già letto la lezione correlata, la nozione di complementare è strettamente correlata a quella di insieme universo; nel caso servisse, vi raccomandiamo un rapido ripasso prima di proseguire ed eventualmente un'occhiata agli esercizi sull'insieme universo. ;)

Esercizi risolti sull'insieme complementare

Come di consueto iniziamo con un riepilogo su definizione, sui simboli coinvolti e sul motivo per cui non si può parlare di insieme complementare se non si ha ben chiaro il concetto di insieme universo.

Si dice insieme universo o insieme ambiente di un insieme , e si indica con , qualsiasi insieme che contiene l'insieme come sottoinsieme.

Se si considera un determinato insieme universo di un insieme , l'insieme complementare di rispetto all'insieme è l'insieme contenente tutti gli elementi di che non appartengono ad .

Quando si parla di complementare di un insieme, dunque, si sottintende che l'operazione di complementazione va svolta con riferimento all'insieme universo preventivamente scelto. In ciascun caso il complementare dell'insieme rispetto all'insieme universo scelto si indica con .

Vediamo ora degli esercizi classici che potete usare modello per svolgere quelli assegnati dal vostro professore. ;)

Esercizio 1) Sia l'insieme dei numeri pari compresi tra 1 e 9. Quali dei seguenti insiemi si possono considerare un suo insieme universo?

Per ognuno degli eventuali insiemi universo tra , individuare l'insieme complementare di .

Esercizio 2) Per ciascuno dei seguenti insiemi individuare un possibile insieme universo, e individuare il complementare dell'insieme di partenza:

Esercizio 3) Dato l'insieme delle lettere della parola MELA, determinare il suo complementare rispetto all'insieme delle lettere della parola MELODIA e fornirne una rappresentazione mediante diagramma di Eulero-Venn.

Esercizio 4) Scegliere tra le tre alternative proposte l'insieme rappresentato dal seguente diagramma di Eulero-Venn:

Esercizio 5) Dati i seguenti insiemi, rappresentati con un diagramma di Eulero-Venn, fornire una rappresentazione per elencazione dell'insieme complementare di rispetto ad

Esercizio 6) Determinare l'insieme complementare rispetto all'insieme dei numeri naturali dell'insieme dei multipli di 2.

Svolgimenti e soluzioni

Svolgimento esercizio 1

Traccia: sia l'insieme dei numeri pari compresi tra 1 e 9. Quali dei seguenti insiemi si possono considerare un suo insieme universo?

Per ognuno degli eventuali insiemi universo tra , individuare l'insieme complementare di .

Soluzione: innanzitutto dobbiamo capire quali tra gli insiemi proposti è un insieme che contiene come sottoinsieme. Scriviamo la rappresentazione per elencazione di :

È allora evidente che sia che possono essere considerati insiemi universo per l'insieme , e in modo altrettanto ovvio che non contiene come sottoinsieme.

Per quanto riguarda la complementazione di in prendiamo gli elementi di che non appartengono ad . In questo caso possiamo optare per una rappresentazione mista, come unione tra una rappresentazione per elencazione e una rappresentazione per caratteristica:

Per la complementazione di in , invece:

Svolgimento esercizio 2

Traccia: per ciascuno dei seguenti insiemi individuare un possibile insieme universo, e individuare il complementare dell'insieme di partenza:

Soluzione: per la prima richiesta basta scrivere per ciascun insieme proposto un insieme "più grande" che lo contenga come sottoinsieme; le soluzioni possono essere molteplici, perché ogni insieme ammette infiniti insiemi universo.

Per individuare il complementare nell'insieme universo scelto, invece, procediamo per esclusione degli elementi:

Poiché i continenti sono Nord America, Sud America, Europa, Africa, Asia, Oceania, Antartide, il complementare di in è

Per l'insieme la scelta è immediata

e sapendo che i numeri naturali possono essere pari o dispari:

Infine:

e ovviamente, poiché l'alfabeto è composto da vocali e consonanti:

Svolgimento esercizio 3

Traccia: dato l'insieme delle lettere della parola MELA, determinare il suo complementare rispetto all'insieme delle lettere della parola MELODIA e fornirne una rappresentazione mediante diagramma di Eulero-Venn.

Soluzione: anche se la traccia lo stabilisce implicitamente, scriviamo i due insiemi per elencazione e verifichiamo che il secondo è effettivamente un insieme universo del primo:

e dunque . L'insieme , ossia il complementare di rispetto a , contiene gli elementi di che non appartengono ad :

Con un diagramma di Eulero-Venn:

Svolgimento esercizio 4

Traccia: scegliere tra le tre alternative proposte l'insieme rappresentato dal seguente diagramma di Eulero-Venn:

Soluzione: in questo caso possiamo considerare come insieme universo l'unione . In questo modo si vede facilmente che il diagramma rappresenta l'insieme .

Svolgimento esercizio 5

Traccia: dati i seguenti insiemi, rappresentati con un diagramma di Eulero-Venn, fornire una rappresentazione per elencazione dell'insieme complementare di rispetto ad

Soluzione: è sufficiente individuare gli elementi di che non appartengono a .

Svolgimento esercizio 6

Traccia: determinare l'insieme complementare rispetto all'insieme dei numeri naturali dell'insieme dei multipli di 2.

Soluzione: poiché i multipli di 2 nell'insieme dei numeri naturali sono semplicemente i numeri pari, il complementare di tale insieme rispetto all'insieme dei numeri naturali è l'insieme dei numeri dispari.

È tutto. Vi aspettiamo nella scheda di esercizi sulla differenza insiemistica. In caso di dubbi, problemi o perplessità, non disperate: utilizzando la barra di ricerca interna potete trovare una risposta a tutto. ;)

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: esercizi risolti sul complementare di un insieme e sulla complementazione in un insieme universo.