Esercizi sulla partizione di un insieme

Se avete ben chiari i concetti di sottoinsieme, unione ed intersezione tra due o più insiemi siete pronti a svolgere gli esercizi sulla partizione di un insieme ed è proprio quello che faremo in questa lezione.

Come sempre, innanzitutto, rivediamo brevemente cosa si intende per partizione di un insieme: la partizione di un insieme è la suddivisione dell'insieme stesso in più sottoinsiemi i quali devono soddisfare a tre condizioni:

A) nessuno dei sottoinsiemi deve essere vuoto

B) i vari sottoinsiemi devono essere fra loro disgiunti (ovvero la loro intersezione deve essere vuota)

C) l'unione dei vari sottoinsiemi deve dare l'insieme di partenza

Siamo ora pronti a partire con gli esercizi. ;)

Esercizi sulla partizione di insiemi con soluzioni

1) Considera l'insieme $A=\{a, \ b, \ c, \ d, \ e, \ f\}$ e i suoi sottoinsiemi $B=\{b, \ c\}$ , $C=\{a, \ d\}$ , $D=\{d, \ e\}$ . Gli insiemi $B, \ C$ e formano una partizione dell'insieme ? Motiva la tua risposta.

Soluzione: La risposta è ovviamente negativa e per due motivi:

- i sottoinsiemi e non sono disgiunti in quanto $C \cap D=\{d\}$

- $B \cup C \cup D = \{a, \ b, \ c, \ d, \ e\}$ che non è uguale all'insieme

2) Stabilisci se gli insiemi:

$A=\{gennaio, \ marzo, \ maggio, \ luglio, \ agosto, \ ottobre, \ dicembre\}$

$B=\{febbraio\}$

$C=\{novembre, \ aprile, \ giugno, \ settembre\}$

possono formare una partizione ed in caso affermativo determinare l'insieme di partenza ed il criterio di suddivisione.

Soluzione: Sicuramente saprete la filastrocca che ci viene insegnata alla scuola materna: "Trenta giorni ha novembre, con aprile, giugno e settembre; di 28 ce n'è uno, tutti gli altri ne han 31" :P

Osservando gli insiemi $A, \ B$ e noterete subito che l'insieme ha come elementi i mesi dell'anno di 31 giorni, l'insieme quelli di 30 giorni e l'insieme il solo febbraio.

Gli insiemi sono a due a due disgiunti, sono non vuoti e la loro unione ci dà l'insieme (chiamiamolo) formato da tutti i mesi dell'anno. Gli insiemi dati formano dunque una partizione di .

3) Dato l'insieme $A=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 10 \}$ costruisci una partizione di formata da due insiemi e rappresentala con un diagramma di Eulero-Venn

Soluzione: di partizioni dell'insieme formate da due insiemi ce ne sono davvero tante. Una possibile potrebbe essere data dagli insiemi:

$P=\{x|x \ \grave{e} \ un \ numero \ pari \ compreso \ tra \ 1 \ e \ 11 \}$

$D=\{x|x \ \grave{e} \ un \ numero \ dispari \ compreso \ tra \ 0 \ e \ 10 \}$

col diagramma di Eulero-Venn:

Figura esercizio 3 sulla partizione di un insieme

4) Scegli un criterio per formare una partizione dell'insieme

$A=\{youmath, \ aiuola, \ capra, \ inter, \ abruzzo, \ marte, \ albero\}$

Soluzione: anche qui i criteri potrebbero essere svariati.. due possibili sono:

- formare una partizione formata da due insiemi uno contenente le parole di che iniziano per vocale e l'altro dalle parole che iniziano per consonante

- formare una partizione formata da 3 sottoinsiemi di : uno contenente le parole che hanno 5 lettere, uno formato dalle parole che hanno 6 lettere e l'altro formato dalle parole che hanno 7 lettere .

5) Determina una partizione dell'insieme

$E=\{cane, \ margherita, \ ferro, \ topo, \ argento, \ tigre, \ quercia \}$

tenendo conto dell'appartenenza dei vari elementi al regno animale, vegetale e minerale e rappresenta i vari sottoinsiemi per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn.

Soluzione: seguendo il criterio proposto dal testo dell'esercizio abbiamo i seguenti tre sottoinsiemi che formano una partizione dell'insieme :

$A=\{cane, \ topo, \ tigre\}$

$V=\{margherita, \ quercia\}$

$M=\{ferro, \ argento\}$

ovvero, utilizzando Eulero-Venn:

Figura esercizio 5 sulla partizione di un insieme

Per ora è tutto. Nel prossimo articolo svolgeremo e spiegheremo nel dettaglio alcuni esercizi sull'insieme delle parti ;) nel frattempo per eventuali dubbi o domande non esitate e cercate le risposte che vi servono qui su YM. Abbiamo svolto e spiegato migliaia di esercizi!

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino

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