Esercizi sulla partizione degli insiemi
Questa scheda propone una selezione di esercizi risolti sulla partizione degli insiemi, commentati in dettaglio e con tutti i passaggi necessari per arrivare alla soluzione.
Se avete ben chiari i concetti di sottoinsieme, unione e intersezione tra due o più insiemi, allora siete pronti per affrontare gli esercizi sulla partizione di un insieme.
A questo proposito vi raccomandiamo di leggere la lezione sul concetto di partizione, casomai non l'abbiate già fatto. ;)
Esercizi sulla partizione di insiemi con soluzioni
Rivediamo in breve la definizione e cosa si intende per partizione di un insieme. Dato un insieme , si dice partizione di
una qualsiasi famiglia di sottoinsiemi
che soddisfa le seguenti condizioni:
- nessuno dei sottoinsiemi deve essere vuoto;
- se la famiglia è costituita da almeno due insiemi, i vari sottoinsiemi devono essere a due a due disgiunti (ossia con intersezione vuota);
- l'unione di tutti i sottoinsiemi deve coincidere con l'insieme di partenza.
In tal caso scriveremo .
Siamo pronti per passare agli esercizi, ma prima sottolineiamo che una partizione di un insieme è un insieme di sottoinsiemi dell'insieme
. In particolare, un insieme i cui elementi sono insiemi a loro volta.
Esercizio 1) Dato l'insieme definito da
e i suoi sottoinsiemi
stabilire se gli insiemi formano una partizione dell'insieme
, motivando la risposta.
Esercizio 2) Stabilire se gli insiemi dati da
possono costituire una partizione di un altro insieme, e in caso affermativo determinare tale insieme e il criterio di ripartizione.
Esercizio 3) Dato l'insieme
determinare una partizione di formata da due insiemi e darne una rappresentazione mediante diagramma di Eulero-Venn.
Esercizio 4) Scegliere un criterio per individuare una partizione dell'insieme
Esercizio 5) Determinare una partizione dell'insieme
tenendo conto dell'appartenenza dei vari elementi ai regni animale, vegetale e minerale, e rappresentare i vari sottoinsiemi per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn.
Svolgimenti e soluzioni
Svolgimento esercizio 1
Traccia: dato l'insieme definito da
e i suoi sottoinsiemi
stabilire se gli insiemi formano una partizione dell'insieme
, motivando la risposta.
Soluzione: la risposta è negativa, per due motivi:
- i sottoinsiemi non sono disgiunti, in quanto
dunque non viene soddisfatta la condizione per cui i sottoinsiemi devono essere a due a due disgiunti.
- L'unione dei tre insiemi non copre tutto , infatti è un suo sottoinsieme proprio
Svolgimento esercizio 2
Traccia: stabilire se gli insiemi dati da
possono costituire una partizione di un altro insieme, e in caso affermativo determinare tale insieme e il criterio di ripartizione.
Soluzione: tutti conosciamo la filastrocca sui mesi dell'anno, che ci viene insegnata alla Scuola Primaria: "Trenta giorni ha novembre, con aprile, giugno e settembre; di 28 ce n'è uno, tutti gli altri ne han 31".
Osservando gli insiemi notiamo subito che l'insieme
ha come elementi i mesi dell'anno di 31 giorni, l'insieme
quelli di 30 giorni e l'insieme
il solo febbraio.
Ora analizziamo le proprietà richieste dalla definizione di partizione, una ad una:
- nessuno degli insiemi è vuoto: vero;
- gli insiemi sono a due a due disgiunti: vero, infatti
L'ultima proprietà, ossia che gli insiemi ricoprano l'insieme di cui costituiscono una partizione, è libera in questo caso. Essendo le prime due condizioni verificate, possiamo scegliere l'insieme di cui costituiscono una partizione. Chiamiamolo
che è ovviamente l'insieme di tutti i mesi dell'anno. In conclusione
Svolgimento esercizio 3
Traccia: dato l'insieme
determinare una partizione di formata da due insiemi e darne una rappresentazione mediante diagramma di Eulero-Venn.
Soluzione: di partizioni dell'insieme formate da due insiemi ce ne sono davvero tante.
Scegliamone una a piacere: consideriamo i seguenti insiemi espressi per caratteristica
o se preferite per elencazione:
Gli insiemi sono entrambi non vuoti, sono disgiunti e la loro unione è uguale ad
, quindi ne costituiscono una partizione
Con un diagramma di Eulero-Venn:
Svolgimento esercizio 4
Traccia: scegliere un criterio per individuare una partizione dell'insieme
Soluzione: anche qui i criteri possono essere svariati. Ne proponiamo due:
- considerare una partizione formata da due insiemi, di cui uno contenente le parole di che iniziano per vocale e l'altro le parole che iniziano per consonante
- definire una partizione formata da tre sottoinsiemi di : uno contenente le parole di 5 lettere, uno con le parole di 6 lettere e l'altro con le parole che hanno 7 lettere
Svolgimento esercizio 5
Traccia: determinare una partizione dell'insieme
tenendo conto dell'appartenenza dei vari elementi ai regni animale, vegetale e minerale, e rappresentare i vari sottoinsiemi per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn.
Soluzione: seguendo il criterio proposto dal testo dell'esercizio abbiamo i seguenti tre sottoinsiemi:
che evidentemente formano una partizione dell'insieme . Con i diagrammi di Eulero-Venn:
Qui abbiamo finito. Nella prossima scheda svolgeremo e spiegheremo nel dettaglio alcuni esercizi sull'insieme delle parti. ;)
Nel frattempo per eventuali dubbi o domande non esitate e cercate le risposte che vi servono qui su YM: abbiamo risolto e spiegato migliaia di esercizi!
Buona Matematica a tutti!
Giuseppe Carichino (Galois)
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