Esercizi sulla partizione degli insiemi

Questa scheda propone una selezione di esercizi risolti sulla partizione degli insiemi, commentati in dettaglio e con tutti i passaggi necessari per arrivare alla soluzione.

Se avete ben chiari i concetti di sottoinsieme, unione e intersezione tra due o più insiemi, allora siete pronti per affrontare gli esercizi sulla partizione di un insieme.

A questo proposito vi raccomandiamo di leggere la lezione sul concetto di partizione, casomai non l'abbiate già fatto. ;)

Esercizi sulla partizione di insiemi con soluzioni

Rivediamo in breve la definizione e cosa si intende per partizione di un insieme. Dato un insieme , si dice partizione di una qualsiasi famiglia di sottoinsiemi che soddisfa le seguenti condizioni:

- nessuno dei sottoinsiemi deve essere vuoto;

- se la famiglia è costituita da almeno due insiemi, i vari sottoinsiemi devono essere a due a due disgiunti (ossia con intersezione vuota);

- l'unione di tutti i sottoinsiemi deve coincidere con l'insieme di partenza.

In tal caso scriveremo .

Siamo pronti per passare agli esercizi, ma prima sottolineiamo che una partizione di un insieme è un insieme di sottoinsiemi dell'insieme . In particolare, un insieme i cui elementi sono insiemi a loro volta.

Esercizio 1) Dato l'insieme definito da

e i suoi sottoinsiemi

stabilire se gli insiemi formano una partizione dell'insieme , motivando la risposta.

Esercizio 2) Stabilire se gli insiemi dati da

possono costituire una partizione di un altro insieme, e in caso affermativo determinare tale insieme e il criterio di ripartizione.

Esercizio 3) Dato l'insieme

determinare una partizione di formata da due insiemi e darne una rappresentazione mediante diagramma di Eulero-Venn.

Esercizio 4) Scegliere un criterio per individuare una partizione dell'insieme

Esercizio 5) Determinare una partizione dell'insieme

tenendo conto dell'appartenenza dei vari elementi ai regni animale, vegetale e minerale, e rappresentare i vari sottoinsiemi per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn.

Svolgimenti e soluzioni

Svolgimento esercizio 1

Traccia: dato l'insieme definito da

e i suoi sottoinsiemi

stabilire se gli insiemi formano una partizione dell'insieme , motivando la risposta.

Soluzione: la risposta è negativa, per due motivi:

- i sottoinsiemi non sono disgiunti, in quanto

dunque non viene soddisfatta la condizione per cui i sottoinsiemi devono essere a due a due disgiunti.

- L'unione dei tre insiemi non copre tutto , infatti è un suo sottoinsieme proprio

Svolgimento esercizio 2

Traccia: stabilire se gli insiemi dati da

possono costituire una partizione di un altro insieme, e in caso affermativo determinare tale insieme e il criterio di ripartizione.

Soluzione: tutti conosciamo la filastrocca sui mesi dell'anno, che ci viene insegnata alla Scuola Primaria: "Trenta giorni ha novembre, con aprile, giugno e settembre; di 28 ce n'è uno, tutti gli altri ne han 31".

Osservando gli insiemi notiamo subito che l'insieme ha come elementi i mesi dell'anno di 31 giorni, l'insieme quelli di 30 giorni e l'insieme il solo febbraio.

Ora analizziamo le proprietà richieste dalla definizione di partizione, una ad una:

- nessuno degli insiemi è vuoto: vero;

- gli insiemi sono a due a due disgiunti: vero, infatti

L'ultima proprietà, ossia che gli insiemi ricoprano l'insieme di cui costituiscono una partizione, è libera in questo caso. Essendo le prime due condizioni verificate, possiamo scegliere l'insieme di cui costituiscono una partizione. Chiamiamolo

che è ovviamente l'insieme di tutti i mesi dell'anno. In conclusione

Svolgimento esercizio 3

Traccia: dato l'insieme

determinare una partizione di formata da due insiemi e darne una rappresentazione mediante diagramma di Eulero-Venn.

Soluzione: di partizioni dell'insieme formate da due insiemi ce ne sono davvero tante.

Scegliamone una a piacere: consideriamo i seguenti insiemi espressi per caratteristica

o se preferite per elencazione:

Gli insiemi sono entrambi non vuoti, sono disgiunti e la loro unione è uguale ad , quindi ne costituiscono una partizione

Con un diagramma di Eulero-Venn:

Svolgimento esercizio 4

Traccia: scegliere un criterio per individuare una partizione dell'insieme

Soluzione: anche qui i criteri possono essere svariati. Ne proponiamo due:

- considerare una partizione formata da due insiemi, di cui uno contenente le parole di che iniziano per vocale e l'altro le parole che iniziano per consonante

- definire una partizione formata da tre sottoinsiemi di : uno contenente le parole di 5 lettere, uno con le parole di 6 lettere e l'altro con le parole che hanno 7 lettere

Svolgimento esercizio 5

Traccia: determinare una partizione dell'insieme

tenendo conto dell'appartenenza dei vari elementi ai regni animale, vegetale e minerale, e rappresentare i vari sottoinsiemi per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn.

Soluzione: seguendo il criterio proposto dal testo dell'esercizio abbiamo i seguenti tre sottoinsiemi:

che evidentemente formano una partizione dell'insieme . Con i diagrammi di Eulero-Venn:

Qui abbiamo finito. Nella prossima scheda svolgeremo e spiegheremo nel dettaglio alcuni esercizi sull'insieme delle parti. ;)

Nel frattempo per eventuali dubbi o domande non esitate e cercate le risposte che vi servono qui su YM: abbiamo risolto e spiegato migliaia di esercizi!

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

Tags: esercizi risolti sulla partizione di insiemi.