Esercizi sulla partizione degli insiemi

Questa scheda propone una selezione di esercizi risolti sulla partizione degli insiemi, commentati in dettaglio e con tutti i passaggi necessari per arrivare alla soluzione.

 

Se avete ben chiari i concetti di sottoinsieme, unioneintersezione tra due o più insiemi, allora siete pronti per affrontare gli esercizi sulla partizione di un insieme.

 

A questo proposito vi raccomandiamo di leggere la lezione sul concetto di partizione, casomai non l'abbiate già fatto. ;)

 

Esercizi sulla partizione di insiemi con soluzioni

 

Rivediamo in breve la definizione e cosa si intende per partizione di un insieme. Dato un insieme A, si dice partizione di A una qualsiasi famiglia di sottoinsiemi A_1,A_2,...,A_n\subseteq A che soddisfa le seguenti condizioni:

 

- nessuno dei sottoinsiemi deve essere vuoto;

 

- se la famiglia è costituita da almeno due insiemi, i vari sottoinsiemi devono essere a due a due disgiunti (ossia con intersezione vuota);

 

- l'unione di tutti i sottoinsiemi deve coincidere con l'insieme di partenza.

 

In tal caso scriveremo \{A_1,A_2,...,A_n\}=P(A).

 

Siamo pronti per passare agli esercizi, ma prima sottolineiamo che una partizione di un insieme A è un insieme di sottoinsiemi dell'insieme A. In particolare, un insieme i cui elementi sono insiemi a loro volta.

 

 

Esercizio 1) Dato l'insieme A definito da

 

A=\{a, \ b, \ c, \ d, \ e, \ f\}

 

e i suoi sottoinsiemi

 

B=\{b, \ c\}\\ \\ C=\{a, \ d\}\\ \\ D=\{d, \ e\}

 

stabilire se gli insiemi B,C,D formano una partizione dell'insieme A, motivando la risposta.

 

 

Esercizio 2) Stabilire se gli insiemi A,B,C dati da

 

A=\{\mbox{gennaio}, \ \mbox{marzo}, \ \mbox{maggio}, \ \mbox{luglio}, \ \mbox{agosto}, \ \mbox{ottobre}, \ \mbox{dicembre}\}\\ \\ B=\{\mbox{febbraio}\}\\ \\ C=\{\mbox{novembre}, \ \mbox{aprile}, \ \mbox{giugno}, \ \mbox{settembre}\}

 

possono costituire una partizione di un altro insieme, e in caso affermativo determinare tale insieme e il criterio di ripartizione.

 

 

Esercizio 3) Dato l'insieme

 

A=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 10 \}

 

determinare una partizione di A formata da due insiemi e darne una rappresentazione mediante diagramma di Eulero-Venn.

 

 

Esercizio 4) Scegliere un criterio per individuare una partizione dell'insieme

 

A=\{\mbox{youmath}, \ \mbox{aiuola}, \ \mbox{capra}, \ \mbox{inter}, \ \mbox{abruzzo}, \ \mbox{marte}, \ \mbox{albero}\}

 

 

Esercizio 5) Determinare una partizione dell'insieme

 

E=\{\mbox{cane}, \ \mbox{margherita}, \ \mbox{ferro}, \ \mbox{topo}, \ \mbox{argento}, \ \mbox{tigre}, \ \mbox{quercia} \}

 

tenendo conto dell'appartenenza dei vari elementi ai regni animale, vegetale e minerale, e rappresentare i vari sottoinsiemi per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

 

Svolgimento esercizio 1

 

Traccia: dato l'insieme A definito da

 

A=\{a, \ b, \ c, \ d, \ e, \ f\}

 

e i suoi sottoinsiemi

 

B=\{b, \ c\}\\ \\ C=\{a, \ d\}\\ \\ D=\{d, \ e\}

 

stabilire se gli insiemi B,C,D formano una partizione dell'insieme A, motivando la risposta.

 

Soluzione: la risposta è negativa, per due motivi:

 

- i sottoinsiemi C,D non sono disgiunti, in quanto

 

C \cap D=\{d\}

 

dunque non viene soddisfatta la condizione per cui i sottoinsiemi devono essere a due a due disgiunti.

 

- L'unione dei tre insiemi non copre tutto A, infatti è un suo sottoinsieme proprio

 

B \cup C \cup D = \{a, \ b, \ c, \ d, \ e\} \subset \{a, \ b, \ c, \ d, \ e,\ f\} = A

 

 

Svolgimento esercizio 2

 

Traccia: stabilire se gli insiemi A,B,C dati da

 

A=\{\mbox{gennaio}, \ \mbox{marzo}, \ \mbox{maggio}, \ \mbox{luglio}, \ \mbox{agosto}, \ \mbox{ottobre}, \ \mbox{dicembre}\}\\ \\ B=\{\mbox{febbraio}\}\\ \\ C=\{\mbox{novembre}, \ \mbox{aprile}, \ \mbox{giugno}, \ \mbox{settembre}\}

 

possono costituire una partizione di un altro insieme, e in caso affermativo determinare tale insieme e il criterio di ripartizione.

 

Soluzione: tutti conosciamo la filastrocca sui mesi dell'anno, che ci viene insegnata alla Scuola Primaria: "Trenta giorni ha novembre, con aprile, giugno e settembre; di 28 ce n'è uno, tutti gli altri ne han 31".

 

Osservando gli insiemi A,B,C notiamo subito che l'insieme A ha come elementi i mesi dell'anno di 31 giorni, l'insieme C quelli di 30 giorni e l'insieme B il solo febbraio.

 

Ora analizziamo le proprietà richieste dalla definizione di partizione, una ad una:

 

- nessuno degli insiemi A,B,C è vuoto: vero;

 

- gli insiemi sono a due a due disgiunti: vero, infatti

 

A\cap B=A\cap C=B\cap C=\emptyset

 

L'ultima proprietà, ossia che gli insiemi ricoprano l'insieme di cui costituiscono una partizione, è libera in questo caso. Essendo le prime due condizioni verificate, possiamo scegliere l'insieme di cui A,B,C costituiscono una partizione. Chiamiamolo D

 

D=A\cup B\cup C

 

che è ovviamente l'insieme di tutti i mesi dell'anno. In conclusione

 

\{A,B,C\}=P(D)

 

 

Svolgimento esercizio 3

 

Traccia: dato l'insieme

 

A=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 10 \}

 

determinare una partizione di A formata da due insiemi e darne una rappresentazione mediante diagramma di Eulero-Venn.

 

Soluzione: di partizioni dell'insieme A formate da due insiemi ce ne sono davvero tante.

 

Scegliamone una a piacere: consideriamo i seguenti insiemi espressi per caratteristica

 

P=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero pari compreso tra } 1 \mbox{ e } 11 \}\\ \\ D=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero dispari compreso tra } 0 \mbox{ e } 10 \}

 

o se preferite per elencazione:

 

P=\{2,4,6,8,10\}\\ \\ D=\{1,3,5,7,9\}

 

Gli insiemi P,D sono entrambi non vuoti, sono disgiunti e la loro unione è uguale ad A, quindi ne costituiscono una partizione

 

\{P,D\}=A

 

Con un diagramma di Eulero-Venn:

 

 

Figura esercizio 3 sulla partizione di un insieme

 

 

Svolgimento esercizio 4

 

Traccia: scegliere un criterio per individuare una partizione dell'insieme

 

A=\{\mbox{youmath}, \ \mbox{aiuola}, \ \mbox{capra}, \ \mbox{inter}, \ \mbox{abruzzo}, \ \mbox{marte}, \ \mbox{albero}\}

 

Soluzione: anche qui i criteri possono essere svariati. Ne proponiamo due:

 

- considerare una partizione formata da due insiemi, di cui uno contenente le parole di A che iniziano per vocale e l'altro le parole che iniziano per consonante

 

V=\{\mbox{aiuola}, \ \mbox{inter}, \ \mbox{abruzzo}, \ \mbox{albero}\}\\ \\ C=\{\mbox{youmath}, \ \mbox{capra}, \ \mbox{marte}\}\\ \\ \{V,C\}=P(A)

 

- definire una partizione formata da tre sottoinsiemi di A: uno contenente le parole di 5 lettere, uno con le parole di 6 lettere e l'altro con le parole che hanno 7 lettere

 

B=\{\mbox{capra}, \ \mbox{inter}, \ \mbox{marte}\}\\ \\ C=\{\mbox{aiuola}, \ \mbox{albero}\}\\ \\ D=\{\mbox{youmath}, \ \mbox{abruzzo}\}\\ \\ \{B,C,D\}=P(A)

 

 

Svolgimento esercizio 5

 

Traccia: determinare una partizione dell'insieme

 

E=\{\mbox{cane}, \ \mbox{margherita}, \ \mbox{ferro}, \ \mbox{topo}, \ \mbox{argento}, \ \mbox{tigre}, \ \mbox{quercia} \}

 

tenendo conto dell'appartenenza dei vari elementi ai regni animale, vegetale e minerale, e rappresentare i vari sottoinsiemi per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn.

 

Soluzione: seguendo il criterio proposto dal testo dell'esercizio abbiamo i seguenti tre sottoinsiemi:

 

A=\{\mbox{cane}, \ \mbox{topo}, \ \mbox{tigre}\}\\ \\ V=\{\mbox{margherita}, \ \mbox{quercia}\}\\ \\ M=\{\mbox{ferro}, \ \mbox{argento}\}

 

che evidentemente formano una partizione dell'insieme E. Con i diagrammi di Eulero-Venn:

 

 

Figura esercizio 5 sulla partizione di un insieme

 

 


 

Qui abbiamo finito. Nella prossima scheda svolgeremo e spiegheremo nel dettaglio alcuni esercizi sull'insieme delle parti. ;)

 

Nel frattempo per eventuali dubbi o domande non esitate e cercate le risposte che vi servono qui su YM: abbiamo risolto e spiegato migliaia di esercizi!

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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