Esercizi su unione e intersezione
Pronti per una carrellata di esercizi su unione e intersezione tra insiemi? In questa scheda vi proponiamo alcuni esercizi risolti, utili per consolidare ciò che abbiamo visto nelle lezioni sull'unione tra insiemi e sull'intersezione tra insiemi.
Oltre che sullo svolgimento delle operazioni di unione e intersezione, le tracce coinvolgono e richiedono di utilizzare i vari metodi per rappresentare gli insiemi: per elencazione, per caratteristica e mediante diagrammi di Venn. Per chi se la fosse persa, li abbiamo approfonditi nella scheda di esercizi su proprietà e rappresentazione degli insiemi.
Esercizi risolti su unione e intersezione di insiemi
Cominciamo con un riepilogo sulle operazioni insiemistiche di unione e intersezione, con definizioni e relativi simboli:
- l'unione di due insiemi 
e 
è l'insieme costituito dagli elementi che appartengono ad oppure a (connettivo logico 
), e si denota con 
;
- l'intersezione di due insiemi e è l'insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad che a (connettivo logico 
), e si indica con 
.
Esercizio 1) Dati gli insiemi e definiti da
determinare gli insiemi unione e intersezione , e fornirne una rappresentazione per elencazione e coi diagrammi di Eulero-Venn.
Esercizio 2) Determinare unione e intersezione degli insiemi 
rappresentati in figura e scriverne una rappresentazione per caratteristica.
Esercizio 3) Dati gli insiemi 
, con
determinare i seguenti insiemi intersezione:
Esercizio 4) Determinare l'unione e l'intersezione degli insiemi
e fornirne una rappresentazione per elencazione e coi diagrammi di Eulero-Venn.
Esercizio 5) Sapendo che 
, determinare gli insiemi e anche con l'ausilio dei diagrammi di Venn.
Esercizio 6) Data la seguente rappresentazione grafica, completare al posto dei puntini scrivendo gli insiemi per elencazione
Esercizio 7) Dire quale delle seguenti scritture è quella adatta ad indicare la parte colorata di:
Svolgimenti e soluzioni
Svolgimento esercizio 1
Traccia: dati gli insiemi e
determinare gli insiemi unione e intersezione , e fornirne una rappresentazione per elencazione e coi diagrammi di Eulero-Venn.
Soluzione: applichiamo la definizione di unione e intersezione.
Per l'unione consideriamo gli elementi appartenenti all'uno o all'altro insieme:
Per l'intersezione, invece, dobbiamo prendere gli elementi comuni a entrambi gli insiemi (appartenenti sia all'uno che all'altro)
Abbiamo così individuato unione e intersezione, e le abbiamo già descritte per elencazione. Non ci resta che fornire le rispettive rappresentazioni coi diagrammi di Eulero Venn:
Svolgimento esercizio 2
Traccia: determinare unione e intersezione degli insiemi rappresentati in figura e scriverne una rappresentazione per caratteristica.
Soluzione: l'insieme unione è costituito da tutti gli elementi indicati nella rappresentazione
Per la rappresentazione per caratteristica, osserviamo che l'unione contiene i numeri naturali minori o uguali a 6:
L'insieme intersezione è individuato dalla parte comune ai due insiemi
che per caratteristica possiamo esprimere come l'insieme dei numeri dispari compresi tra 0 e 6:
Svolgimento esercizio 3
Traccia: dati gli insiemi , con
determinare i seguenti insiemi intersezione:
Soluzione: ricordando che l'intersezione tra due o più insiemi è l'insieme costituito dagli elementi comuni, si ha:
Svolgimento esercizio 4
Traccia: determinare l'unione e l'intersezione degli insiemi
e fornirne una rappresentazione per elencazione e coi diagrammi di Eulero-Venn.
Soluzione: prima di tutto, le rappresentazioni per elencazione
A questo punto è facile disegnare il diagramma di Venn di unione e intersezione:
Svolgimento esercizio 5
Traccia: sapendo che , determinare gli insiemi e anche con l'ausilio dei diagrammi di Venn.
Soluzione: in questo caso conviene partire dal diagramma di Eulero Venn. Poiché per ipotesi è un sottoinsieme proprio di
Da qui si vede che 
e che 
. In altri termini l'unione tra due insiemi inscatolati coincide con il sovrainsieme, mentre l'intersezione tra due insiemi inscatolati coincide con il sottoinsieme.
Svolgimento esercizio 6
Traccia: data la seguente rappresentazione grafica, completare al posto dei puntini scrivendo gli insiemi per elencazione
Soluzione: procediamo con ordine
Svolgimento esercizio 7
Traccia: dire quale delle seguenti scritture è quella adatta ad indicare la parte colorata nel seguente diagramma di Venn:
Soluzione: per coprire la parte colorata, osserviamo che essa include l'intero insieme 
. Per arrivare alla soluzione basta notare che dobbiamo aggiungere a l'intersezione tra gli insiemi e (poco importa che ne contenga una parte a sua volta).
In conclusione la risposta esatta è 
.
Nella scheda successiva ci occupiamo degli esercizi sull'insieme complementare, non perdeteveli! Nel frattempo per eventuali dubbi potete cercare le risposte che vi servono tra le migliaia di esercizi svolti su YM: non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)
Buon lavoro!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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