Esercizi sui sottoinsiemi

Passiamo agli esercizi svolti su sottoinsiemi e sovrainsiemi: leggendo e provando a risolvere autonomamente i seguenti esercizi potrete prendere confidenza con la nozione di sottoinsieme. Nel caso in cui non abbiate già letto la lezione correlata, vi consigliamo vivamente di farlo. ;)

 

Gli esercizi proposti sui sottoinsiemi non riguardano solamente la relazione di inclusione insiemistica: prevedono infatti di saper lavorare con i concetti già trattati in precedenza, e in particolare con i vari metodi per rappresentare un insieme.

 

Innanzitutto proponiamo un breve ripasso su definizioni e simboli, dopodiché passiamo alle tracce e infine agli svolgimenti commentati. ;)

 

Esercizi risolti sui sottoinsiemi

 

Richiamiamo rapidamente i concetti teorici che saranno alla base dei nostri esercizi.

 

Un insieme A è un sottoinsieme di B se ogni elemento di A appartiene a B. In tal caso diciamo che B è un sovrainsieme di A. In simboli matematici:

 

A\subseteq B\ \ ;\ \ B\supseteq A

 

Un insieme A è un sottoinsieme proprio di B se valgono tre condizioni: A contiene almeno un elemento; ogni elemento di A appartiene a B; esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A. In simboli:

 

A\subset B\ \ ;\ \ B\supset A

 

Un insieme A è un sottoinsieme improprio di B se è l'insieme vuoto oppure se coincide con B. In simboli:

 

A\subseteq B,\ A\not\subset B\ \Rightarrow\ A=\emptyset\ \vee\ A=B

 

 

Esercizio 1) Completare gli insiemi A nei casi proposti in modo che valga la relazione B \subset A.

 

a)\ B=\{a, \ e, \ i \} \ \to\ A=\{ ..., \ ..., \ ..., \ ..., \ ... \} \\ \\ b)\ B=\{\mbox{mammolo}, \ \mbox{pisolo}, \ \mbox{brontolo} \} \ \to \ A=\{x \ | \ x \ ... \} \\ \\ c)\ B=\{..., \ ..., \ ..., \ ...\} \ \to \ A=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una preposizione semplice}\}\\ \\ d)\ B=\{y, \ o, \ u, \ m, \ a, \ t\}\ \to\ A=\{x\ |\ x \ ... \}

 

 

Esercizio 2) Dopo aver osservato attentamente le seguenti figure, completare le relazioni inserendo al posto dei puntini i simboli corretti.

 

 

Esercizio sui sottoinsiemi

 

 


Soluzione esercizio sui simboli dei sottoinsiemi

 

 

Esercizio 3) Dati gli insiemi

 

A=\{1, \ 2, \ 3, \ 4\}\\ \\ B=\{2, \ 3, \ 5, \ 6\}\\ \\ C=\{1, \ 2, \ 3\}

 

stabilire quali tra le seguenti relazioni sono corrette, motivando la risposta:

 

a)\ A \supset B\\ \\ b)\ B \supset A\\ \\ c)\ A \subset C\\ \\ d)\ C \subset A

 

 

Esercizio 4) Rappresentare graficamente, con un opportuno diagramma di Eulero Venn, i seguenti insiemi e le relative relazioni di inclusione:

 

A=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero naturale minore di }10 \}\\ \\ B=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero pari tra } 1 \mbox{ e } 5 \}\\ \\ C=\{x\ |\ x\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero pari tra } 1 \mbox{ e } 9 \}

 

 

Esercizio 5) Rappresentare graficamente la seguente relazione tra gli insiemi A,B,C

 

C \supset A \not\subset B \subset C

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

 

Svolgimento esercizio 1

 

Traccia: completare gli insiemi A nei casi proposti in modo che valga la relazione B \subset A.

 

a)\ B=\{a, \ e, \ i \} \ \to\ A=\{ ..., \ ..., \ ..., \ ..., \ ... \} \\ \\ b)\ B=\{\mbox{mammolo}, \ \mbox{pisolo}, \ \mbox{brontolo} \} \ \to \ A=\{x \ | \ x \ ... \} \\ \\ c)\ B=\{..., \ ..., \ ..., \ ...\} \ \to \ A=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una preposizione semplice}\}\\ \\ d)\ B=\{y, \ o, \ u, \ m, \ a, \ t\}\ \to\ A=\{x\ |\ x \ ... \}

 

Soluzione: per ciascuno degli insiemi B dobbiamo individuare un insieme A che sia un suo sovrainsieme proprio, ossia in modo che B sia un sottoinsieme proprio di A.

 

La traccia ci impone in particolare di esprimere A, di volta in volta, mediante una rappresentazione per elencazione o una rappresentazione per caratteristica.

 

a) L'insieme B contiene tre vocali

 

B=\{a, \ e, \ i \}\ \to\ A=\{ ..., \ ..., \ ..., \ ..., \ ... \}

 

Affinché B sia un sottoinsieme proprio di un insieme A con cinque elementi, quest'ultimo deve contenere le tre lettere dell'insieme B più altri due elementi, non importa quali siano.

 

L'insieme delle cinque vocali si presta perfettamente per lo scopo ed è uno dei possibili sovrainsiemi di B

 

A=\{a, \ e, \ i, \ o, \ u\}

 

b) Nell'insieme B riconosciamo i nomi di tre dei sette nani

 

B=\{\mbox{mammolo}, \ \mbox{pisolo}, \ \mbox{brontolo} \}\ \to \ A=\{x\ |\ x \ ... \}

 

Dobbiamo trovare un insieme A che contenga B e dobbiamo esprimerlo per caratteristica. La scelta più ovvia (ma non l'unica!) è data dall'insieme dei sette nani:

 

A=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ uno dei sette nani}\}

 

c) Qui dobbiamo ragionare al contrario:

 

B=\{..., \ ..., \ ..., \ ...\}\ \to \ A=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una preposizione semplice}\}

 

vogliamo trovare un sottoinsieme proprio B conoscendo A.

 

A è espresso per caratteristica, ed è l'insieme costituito dalle proposizioni semplici. Confidando nelle vostre conoscenze della grammatica italiana :P un possibile sottoinsieme di A con quattro elementi è:

 

B=\{di, \ a, \ da, \ in\}

 

Ce ne sono molti altri, e lasciamo a voi il compito di trovarli.

 

d) Dobbiamo trovare un sovrainsieme proprio di A ed esprimerlo per caratteristica:

 

B=\{y, \ o, \ u, \ m, \ a, \ t\}\ \to\ A=\{x\ |\ x \ ... \}

 

Una delle possibili scelte, anche qui la più ovvia, è chiaramente

 

A=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ una lettera della parola YOUMATH}\}

 

 

Svolgimento esercizio 2

 

Traccia: dopo aver osservato attentamente la seguente figura, completare le relazioni inserendo al posto dei puntini i simboli corretti.

 

 

Esercizio sui sottoinsiemi

 

 

Soluzione esercizio sui simboli dei sottoinsiemi

 

 

Soluzione: nel primo diagramma di Venn l'insieme A è contenuto in B, e inoltre A è diverso da B

 

A \subset B\\ \\ B \supset A

 

Nel secondo caso si vede subito che C è contenuto sia in A che in B, e che A è contenuto in B. Nessuno dei sottoinsiemi coincide col suo sovrainsieme, per cui

 

A \subset B \supset C\\ \\ C \subset B \supset A

 

 

Svolgimento esercizio 3

 

Traccia: dati gli insiemi

 

A=\{1, \ 2, \ 3, \ 4\}\\ \\ B=\{2, \ 3, \ 5, \ 6\}\\ \\ C=\{1, \ 2, \ 3\}

 

stabilire quali tra le seguenti relazioni sono corrette, motivando la risposta:

 

a)\ A \supset B\\ \\ b)\ B \supset A\\ \\ c)\ A \subset C\\ \\ d)\ C \subset A

 

Svolgimento: analizziamo le relazioni una ad una.

 

A\supset B, ossia B\subset A. Falso, infatti B contiene due elementi (5,6) che non appartengono ad A, dunque B non può essere un sottoinsieme di A.

 

B\supset A, ossia a A\subset B. Falso, infatti A contiene due elementi (1,4) che non appartengono a B, dunque A non può essere un sottoinsieme di B.

 

In particolare notiamo che tra gli insiemi A,B non sussiste alcuna relazione di inclusione.

 

A \subset C. Falso, basta considerare l'elemento 4 che appartiene ad A ma non a B.

 

C \subset A. Vero! Infatti tutti gli elementi di C sono contenuti in A.

 

 

Svolgimento esercizio 4

 

Traccia: rappresentare graficamente, con un opportuno diagramma di Eulero Venn, i seguenti insiemi e le relative relazioni di inclusione:

 

A=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero naturale minore di }10 \}\\ \\ B=\{x\ |\ x \ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero pari tra } 1 \mbox{ e } 5 \}\\ \\ C=\{x\ |\ x\ \grave{\mbox{e}}\mbox{ un numero pari tra } 1 \mbox{ e } 9 \}

 

Soluzione: per renderci meglio conto della situazione scriviamo prima gli insiemi per elencazione:

 

A=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\}\\ \\ B=\{2, \ 4 \}\\ \\ C=\{2, \ 4, \ 6, \ 8 \}

 

In questo modo si vede immediatamente che tutti gli elementi di B appartengono a C e che tutti gli elementi di C appartengono ad A, quindi possiamo rappresentare graficamente i tre insiemi nel modo seguente:

 

 

Figura esercizio 4 sui sottoinsiemi

 

 

Svolgimento esercizio 5

 

Traccia: rappresentare graficamente la seguente relazione tra gli insiemi A,B,C:

 

C \supset A \not\subset B \subset C

 

Soluzione: potrebbe sembrare difficile, ma non lo è assolutamente. Traduciamo la scrittura:

 

C contiene propriamente A

 

A non è contenuto in B

 

B è contenuto propriamente in C

 

Abbiamo quindi due insiemi A,B entrambi contenuti in C, ma A non è un sottoinsieme di B. Una possibile rappresentazione della situazione è la seguente:

 

 

Figura - esercizio 5 sui sottoinsiemi

 

 

Attenzione! Abbiamo scritto una possibile rappresentazione perché avremmo anche potuto:

 

- disegnare gli insiemi A,B in parziale sovrapposizione (ossia con intersezione non vuota, mentre abbiamo scelto di rappresentarli come insiemi disgiunti);

 

- disegnare A in modo che contenesse a sua volta B (infatti la traccia stabilisce che deve essere A\not\subset B ma non dice nulla sulla possibile inclusione di B in A).

 

 


 

Per questa lezione è tutto. Nelle schede successive ci occuperemo degli esercizi sull'insieme universo e degli esercizi sull'intersezione e sull'unione tra insiemi; nel frattempo per ogni dubbio potete trovare le risposte che vi servono con la barra di ricerca di YM. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata

 
 

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