Esercizi sui sottoinsiemi
Passiamo agli esercizi svolti su sottoinsiemi e sovrainsiemi: leggendo e provando a risolvere autonomamente i seguenti esercizi potrete prendere confidenza con la nozione di sottoinsieme. Nel caso in cui non abbiate già letto la lezione correlata, vi consigliamo vivamente di farlo. ;)
Gli esercizi proposti sui sottoinsiemi non riguardano solamente la relazione di inclusione insiemistica: prevedono infatti di saper lavorare con i concetti già trattati in precedenza, e in particolare con i vari metodi per rappresentare un insieme.
Innanzitutto proponiamo un breve ripasso su definizioni e simboli, dopodiché passiamo alle tracce e infine agli svolgimenti commentati. ;)
Esercizi risolti sui sottoinsiemi
Richiamiamo rapidamente i concetti teorici che saranno alla base dei nostri esercizi.
Un insieme 
è un sottoinsieme di 
se ogni elemento di appartiene a . In tal caso diciamo che è un sovrainsieme di . In simboli matematici:
Un insieme è un sottoinsieme proprio di se valgono tre condizioni: contiene almeno un elemento; ogni elemento di appartiene a ; esiste almeno un elemento di che non appartiene ad . In simboli:
Un insieme è un sottoinsieme improprio di se è l'insieme vuoto oppure se coincide con . In simboli:
Esercizio 1) Completare gli insiemi nei casi proposti in modo che valga la relazione 
.
Esercizio 2) Dopo aver osservato attentamente le seguenti figure, completare le relazioni inserendo al posto dei puntini i simboli corretti.
Esercizio 3) Dati gli insiemi
stabilire quali tra le seguenti relazioni sono corrette, motivando la risposta:
Esercizio 4) Rappresentare graficamente, con un opportuno diagramma di Eulero Venn, i seguenti insiemi e le relative relazioni di inclusione:
Esercizio 5) Rappresentare graficamente la seguente relazione tra gli insiemi 
Svolgimenti e soluzioni
Svolgimento esercizio 1
Traccia: completare gli insiemi nei casi proposti in modo che valga la relazione .
Soluzione: per ciascuno degli insiemi dobbiamo individuare un insieme che sia un suo sovrainsieme proprio, ossia in modo che sia un sottoinsieme proprio di .
La traccia ci impone in particolare di esprimere , di volta in volta, mediante una rappresentazione per elencazione o una rappresentazione per caratteristica.
a) L'insieme contiene tre vocali
Affinché sia un sottoinsieme proprio di un insieme con cinque elementi, quest'ultimo deve contenere le tre lettere dell'insieme più altri due elementi, non importa quali siano.
L'insieme delle cinque vocali si presta perfettamente per lo scopo ed è uno dei possibili sovrainsiemi di
b) Nell'insieme riconosciamo i nomi di tre dei sette nani
Dobbiamo trovare un insieme che contenga e dobbiamo esprimerlo per caratteristica. La scelta più ovvia (ma non l'unica!) è data dall'insieme dei sette nani:
c) Qui dobbiamo ragionare al contrario:
vogliamo trovare un sottoinsieme proprio conoscendo .
è espresso per caratteristica, ed è l'insieme costituito dalle proposizioni semplici. Confidando nelle vostre conoscenze della grammatica italiana :P un possibile sottoinsieme di con quattro elementi è:
Ce ne sono molti altri, e lasciamo a voi il compito di trovarli.
d) Dobbiamo trovare un sovrainsieme proprio di ed esprimerlo per caratteristica:
Una delle possibili scelte, anche qui la più ovvia, è chiaramente
Svolgimento esercizio 2
Traccia: dopo aver osservato attentamente la seguente figura, completare le relazioni inserendo al posto dei puntini i simboli corretti.
Soluzione: nel primo diagramma di Venn l'insieme è contenuto in , e inoltre è diverso da
Nel secondo caso si vede subito che 
è contenuto sia in che in , e che è contenuto in . Nessuno dei sottoinsiemi coincide col suo sovrainsieme, per cui
Svolgimento esercizio 3
Traccia: dati gli insiemi
stabilire quali tra le seguenti relazioni sono corrette, motivando la risposta:
Svolgimento: analizziamo le relazioni una ad una.
, ossia . Falso, infatti contiene due elementi (5,6) che non appartengono ad , dunque non può essere un sottoinsieme di .
, ossia a 
. Falso, infatti contiene due elementi (1,4) che non appartengono a , dunque non può essere un sottoinsieme di .
In particolare notiamo che tra gli insiemi 
non sussiste alcuna relazione di inclusione.
. Falso, basta considerare l'elemento 4 che appartiene ad ma non a .
. Vero! Infatti tutti gli elementi di sono contenuti in .
Svolgimento esercizio 4
Traccia: rappresentare graficamente, con un opportuno diagramma di Eulero Venn, i seguenti insiemi e le relative relazioni di inclusione:
Soluzione: per renderci meglio conto della situazione scriviamo prima gli insiemi per elencazione:
In questo modo si vede immediatamente che tutti gli elementi di appartengono a e che tutti gli elementi di appartengono ad , quindi possiamo rappresentare graficamente i tre insiemi nel modo seguente:
Svolgimento esercizio 5
Traccia: rappresentare graficamente la seguente relazione tra gli insiemi :
Soluzione: potrebbe sembrare difficile, ma non lo è assolutamente. Traduciamo la scrittura:
contiene propriamente
non è contenuto in
è contenuto propriamente in
Abbiamo quindi due insiemi entrambi contenuti in , ma non è un sottoinsieme di . Una possibile rappresentazione della situazione è la seguente:
Attenzione! Abbiamo scritto una possibile rappresentazione perché avremmo anche potuto:
- disegnare gli insiemi in parziale sovrapposizione (ossia con intersezione non vuota, mentre abbiamo scelto di rappresentarli come insiemi disgiunti);
- disegnare in modo che contenesse a sua volta (infatti la traccia stabilisce che deve essere 
ma non dice nulla sulla possibile inclusione di in ).
Per questa lezione è tutto. Nelle schede successive ci occuperemo degli esercizi sull'insieme universo e degli esercizi sull'intersezione e sull'unione tra insiemi; nel frattempo per ogni dubbio potete trovare le risposte che vi servono con la barra di ricerca di YM. ;)
Buon lavoro!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
Tags: esercizi sui sottoinsiemi, sui simboli per i sottoinsiemi e sulla loro rappresentazione - esercizi su sottoinsiemi propri.
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