Esercizi risolti equazioni parametriche di secondo grado

State consultando la scheda di esercizi svolti sulle equazioni parametriche di secondo grado: qui di seguito potete mettervi alla prova con una selezione di esercizi sulle equazioni letterali di grado 2, ordinati per livello crescente di difficoltà e risolti nel dettaglio.

 

La scheda ricopre una vasta gamma di tipologie di esercizi: equazioni letterali di secondo grado con un parametro, con due parametri, equazioni parametriche fratte con uno o due parametri ed infine problemi parametrici di secondo grado.

 

Nel caso vi sentiste poco sicuri e voleste fare un passo indietro potete fare un po' di allenamento propedeutico con le schede dedicate agli esercizi svolti sulle equazioni di secondo grado, agli esercizi sulle equazioni fratte di secondo grado e ai problemi di secondo grado.

 

Per la teoria vi rimandiamo alla lezione sulle equazioni letterali di secondo grado.

 

Esercizi svolti sulle equazioni parametriche di secondo grado

 

La consegna dei seguenti esercizi è pressoché sempre la stessa: si richiede di studiare e discutere le equazioni letterali di secondo grado, con particolare riferimento a quanto richiesto nelle singole tracce. Gli ultimi esercizi dell'elenco sono leggermente più articolari e possono essere inquadrati come problemi parametrici di secondo grado.

 

I) Determinare il valore di k\in\mathbb{R} affinché x=-\frac{1}{4} sia soluzione della seguente equazione di secondo grado:

 

kx^2+6x+1=0

 

II) Data l'equazione parametrica di secondo grado

 

(k-1)x^2+2x-k+2 =0

 

determinare il parametro k di modo che:

 

(a) \ \ \ x=0 sia una soluzione dell'equazione;

 

(b) \ \ \ x=1 sia una soluzione dell'equazione.

 

III)  Determinare per quali valori del parametro k la seguente equazione ha soluzioni reali

 

4x(x-k)=3-4k^2

 

IV) Determinare k in modo che l'equazione parametrica di secondo grado

 

(k+1)x^2-3kx-k=0

 

ammetta due soluzioni reali e distinte.

 

V) Stabilire per quali valori di k l'equazione

 

x^2-2(k-1)x+k+5=0

 

non ha soluzioni in \mathbb{R}.

 

VI) Data l'equazione parametrica di secondo grado

 

(2-k)x^2-2(2k-3)x+6-5k=0

 

determinare i valori di k di modo che l'equazione ammetta soluzioni reali.

 

VII) Data l'equazione parametrica di secondo grado

 

x^2+(k-2)x+1=0 

 

e indicate con x_{1}\ \mbox{e} \ x_2 le sue soluzioni reali, determinare il valore di k per cui x_1=x_2.

 

VIII) Determinare le soluzioni della seguente equazione letterale, al variare del parametro reale k.

 

k^2-x^2-6k+9=0

 

IX) Discutere la seguente equazione letterale di secondo grado al variare del parametro reale k

 

x^2-3kx+2k^2=0

 

X) Discutere la seguente equazione di secondo grado al variare del parametro reale k

 

x^2-6kx+25k^2=0

 

XI) Esplicitare le eventuali soluzioni associate all'equazione di secondo grado letterale

 

x^2-2\sqrt{3}x+3+k^2=0

 

al variare del parametro reale k.

 

XII) Discutere l'equazione letterale di secondo grado

 

kx^2-(k+1)x+1=0

 

al variare del parametro reale k e, in caso sia possibile, esplicitare le soluzioni.

 

XIII) Determinare le soluzioni della seguente equazione letterale di secondo grado

 

-mx^2+4x+2-m=0 \ \ \ \mbox{con} \ m\ne 0

 

XIV) Si calcolino le eventuali soluzioni della seguente equazione di secondo grado al variare del parametro k\ne 1

 

(k-1)x^2-2(k+2)x+k+1=0

 

XV) Determinare le soluzioni della seguente equazione letterale, al variare del parametro reale k

 

(k-1)x^2-2(k+x)x+k+1=0

 

XVI) Determinare le soluzioni reali dell'equazione letterale di secondo grado

 

\frac{k+1}{k}x^2-2x-\frac{25+15k}{k}=0

 

al variare del parametro reale k.

 

XVII) Discutere al variare del parametro reale k la seguente equazione letterale di secondo grado

 

\left(\frac{x}{k}+1\right)\left(\frac{x}{k}-1\right)=\frac{x-k}{k-1}

 

XVIII) Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione letterale di secondo grado

 

x^2-4m n x-21 m^2n^2=0

 

al variare dei parametri reali m\ \mbox{e} \ n.

 

XIX) Calcolare le soluzioni reali dell'equazione parametrica di secondo grado

 

x^2-2(m-n)x-4mn=0

 

al variare dei parametri reali m\ \mbox{e} \ n.

 

XX) Al variare dei parametri reali m \ \mbox{e} \ n, determinare le eventuali soluzioni reali della seguente equazione letterale di secondo grado

 

m n(x^2-1)=3n^2x+m(-7n+2mx)

 

XXI) Discutere al variare del parametro reale k la seguente equazione letterale fratta di secondo grado

 

\frac{(x-k)^2-1}{x+1}=0

 

XXII) Determinare le soluzioni reali dell'equazione parametrica fratta di secondo grado al variare del parametro reale k

 

\frac{k}{2}+\frac{2k-1}{6(x-2)}-\frac{k+1}{3(x+1)}=0

 

XXIII) Determinare le soluzioni dell'equazione letterale fratta di secondo grado

 

\frac{k+3kx-x^2}{x^2+x}-\frac{7k-4}{6}=0

 

al variare del parametro reale k.

 

XXIV) Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione letterale fratta di secondo grado

 

\frac{x^2+3mx-n}{x-1}-n=0

 

al variare dei parametri m \ \mbox{e} \ n.

 

XXV) Discutere la seguente equazione fratta di secondo grado al variare dei due parametri reali n \ \mbox{e} \ m

 

\frac{nx^2-nx+2m x}{m x+nx+n+m}=0

 

XXVI) Nell'equazione letterale di secondo grado

 

x^2+3kx-8=0

 

determinare il valore del parametro k di modo che:

 

a) le radici siano reali;

 

b) una radice sia 2;

 

c) le radici siano opposte;

 

d) la somma delle radici sia 27.

 

XXVII) Nell'equazione

 

x^2-2(k-1)x+k(k+4)=0

 

determinare i possibili valori da attribuire al parametro k di modo che

 

a) l'equazione ammetta radici reali;

 

b) l'equazione sia impossibile nell'insieme dei numeri reali;

 

c) x_1=x_2;

 

d) x_1=-\frac{2}{x_2}

 

e) x_1\ \mbox{e} \ x_2\in\mathbb{R} con x_1+x_2=6

 

XXVIII) Determinare i valori del parametro k in modo tale che l'equazione

 

(3k-1)x^2-2x+1=0

 

abbia due soluzioni reali x_{1}\ \mbox{e} \ x_2 e tali che x_{1}\cdot x_2\le 4.

 

XXIX) Data l'equazione parametrica di secondo grado

 

k(k-1)x^2+2(k-1)x-4=0

 

a) calcolare il numero di soluzioni reali al variare del parametro reale k;

 

b) determinare il valore di k per il quale la somma delle radici sia \frac{2}{3};

 

c) esplicitare i possibili valori di k per i quali il prodotto delle radici sia pari a -2.

 

XXX) Determinare per quali valori del parametro k, l'equazione letterale di secondo grado

 

x^2-2(k-1)x+k+5=0

 

ammette:

 

a) due radici coincidenti;

 

b) radici opposte;

 

c) radici reciproche;

 

d) radici tali che la somma dei loro quadrati sia 30;

 

e) radici tali che la somma dei reciproci sia -4.

 

XXXI) Indicati con x_1\ \mbox{e} \ x_2 le radici dell'equazione parametrica

 

(k-2)x^2+x+k-2=0

 

determinare k in modo che:

 

a) x_1+x_2-3x_1x_2=-\frac{1}{2}

 

b) x_1=4x_2

 

c) le radici siano entrambe positive;

 

d) la somma delle radici sia maggiore del loro prodotto.

 

XXXII) Dopo aver verificato che l'equazione

 

x^2-2(3k+1)x+k^2-3k-4=0

 

ammette radici reali e distinte, determinare i valori di k per i quali si ha

 

\\ (a) \ \ x_1\cdot x_2+6=0 \\ \\ (b) \ \ x_1+x_2+2(x_1\cdot x_2)<0 \\ \\ (c)\ \ x_1^2+x_2^2>12

 

XXXIII) Data l'equazione parametrica di secondo grado

 

kx^2-2(k-2)x+k-7=0

 

determinare i valori di k in modo tale che:

 

a) le radici siano uguali;

 

b) le radici siano opposte;

 

c) le radici siano reciproche;

 

d) una radice sia \sqrt{3};

 

e) la somma delle radici sia uguale al loro prodotto.

 

XXXIV) Data l'equazione parametrica

 

x^2-(k^2-k+5)x+4(k^2-k+1)=0

 

e indicate le soluzioni con x_1\ \mbox{e}\ x_2, determinare i valori di k tali che:

 

\\ (a)\ \ \ x_1=-x_2 \\ \\ (b)\ \ \ x_{1}+x_2>7 \\ \\ (c)\ \ \ x_{1}\cdot x_{2}\ge 12

 

 

 

Svolgimento e soluzioni

 

I) Esercizio: valore del parametro di un'equazione di secondo grado per avere una soluzione specifica

 

II) Esercizio sulle soluzioni di un'equazione parametrica di secondo grado

 

III) Esercizio equazione di secondo grado parametrica e soluzioni reali

 

IV) Equazione letterale di secondo grado e parametro per soluzioni reali e distinte

 

V) Esercizio: equazione parametrica di secondo grado e nessuna soluzione reale

 

VI) Equazione letterale di secondo grado e valori del parametro per soluzioni reali

 

VII) Valori affinché le soluzioni di un'equazione di secondo grado parametrica siano coincidenti

 

VIII) Risolvere un'equazione parametrica di secondo grado

 

IX) Equazione letterale di secondo grado con parametro

 

X) Esercizio equazione parametrica di secondo grado

 

XI) Equazione letterale di secondo grado con parametro e radicali

 

XII) Discutere un'equazione letterale di secondo grado con un parametro

 

XIII) Esercizio: studiare un'equazione letterale di secondo grado

 

XIV) Studio di un'equazione parametrica di secondo grado

 

XV) Risoluzione di un'equazione letterale di secondo grado

 

XVI) Equazione letterale di secondo grado con parametro fratto

 

XVII) Equazione di secondo grado parametrica con parametro fratto

 

XVIII) Equazione letterale di secondo grado con due parametri

 

XIX) Equazione parametrica di secondo grado con due parametri

 

XX) Discutere equazione parametrica con due parametri

 

XXI) Equazione di secondo grado fratta e parametrica

 

XXII) Equazione letterale di secondo grado fratta

 

XXIII) Risolvere un'equazione parametrica fratta di secondo grado

 

XXIV) Equazione letterale fratta di secondo grado con 2 parametri

 

XXV) Esercizio: equazione letterale di secondo grado, fratta e con due parametri

 

XXVI) Discussione delle soluzioni di un'equazione parametrica di secondo grado

 

XXVII) Problema parametrico di secondo grado

 

XXVIII) Soluzioni di un'equazione parametrica di secondo grado che soddisfano una condizione

 

XXIX) Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di grado 2

 

XXX) Discussione di un problema parametrico di II grado

 

XXXI) Problema parametrico sulle soluzioni di un'equazione di secondo grado

 

XXXII) Discussione di un'equazione parametrica di secondo grado con diverse condizioni

 

XXXIII) Discussione di un'equazione letterale di secondo grado con condizioni sulle soluzioni

 

XXXIV) Analisi di un'equazione parametrica di grado 2 con condizioni sulle soluzioni

 

 

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