Problemi di secondo grado

Benvenuti nella scheda sui problemi di secondo grado! A partire da questa pagina potete consultare una serie di esercizi svolti sui problemi di secondo grado, sia di tipo algebrico che di tipo geometrico.

Questa tipologia di esercizi è estremamente variegata e trasversale e accompagna gli studenti nell'intero corso delle scuole superiori. La logica dei problemi di secondo grado è sempre la stessa: partendo da una traccia si richiede di interpretare il testo e di tradurlo in termini algebrici. Fatto ciò, con qualche calcolo, il problema si riduce sostanzialmente a un'equazione di secondo grado da risolvere e/o studiare in modo da ricavare le soluzioni del problema.

Nel caso abbiate difficoltà vi suggeriamo di fermarvi e di ripartire dagli esercizi svolti sulle equazioni di secondo grado, in modo da consolidare le tecniche di risoluzione. Fatto ciò potrete tornare qui e concentrare i vostri sforzi sulla parte interpretativa dei problemi di secondo grado. Potrebbero inoltre esservi d'aiuto fare un po' di riscaldamento con i problemi di primo grado. ;)

Esercizi svolti sui problemi di secondo grado

Ci sono essenzialmente due tipi di problemi di secondo grado: algebrici o geometrici. Nel primo caso la traccia fornisce un quesito di natura aritmetico-algebrica (ad esempio: trovare due numeri tali che...); nel secondo si parte da un problema di geometria piana, solida, analitica o ancora di Trigonometria (qui di seguito prediligeremo quesiti di Geometria Piana).

La parte più ostica nella risoluzione dei problemi di secondo grado è certamente quella relativa all'interpretazione della traccia, vale a dire tradurre il testo in linguaggio matematico. A tal proposito non esiste un vero e proprio metodo di risoluzione: per procedere correttamente sono richiesti allenamento, attenzione e precisione. La buona notizia è che, una volta che il problema è stato interpretato correttamente, la strada è spianata: a quel punto è sufficiente rifarsi al metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado. ;)

I) La somma tra il quadrato e il triplo del numero stesso è 4. Trovare il numero.

II) Trovare un numero naturale sapendo che il prodotto della sua metà con il suo consecutivo è 210.

III) Trovare due numeri interi positivi sapendo che il loro rapporto è $\frac{2}{3}$ e che la somma dei loro quadrati è 208.

IV) Trovare due numeri interi consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia 761.

V) Trovare 3 numeri pari consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia 116.

VI) Il doppio aumentato di 9 del prodotto di un numero naturale con un altro che lo supera di quattro è uguale a 3 volte il quadrato del primo. Determinare i due numeri.

VII) In un triangolo rettangolo un cateto misura $9\mbox{ cm}$ meno dell'ipotenusa e l'altro i $\frac{3}{4}$ del primo. Determinare l'area del triangolo rettangolo.

VIII) La somma delle diagonali di un rombo è $5\sqrt{2}$ mentre la sua area misura 4. Determinare il perimetro del rombo.

IX) Un rettangolo è equivalente a un quadrato di lato $10 \mbox{ cm}$ . Determinare il perimetro del rettangolo, sapendo che la metà della base sommata al doppio dell'altezza è $20\mbox{ cm}$ .

X) In un triangolo rettangolo il cateto misura $12\mbox{ cm}$ e il triplo dell'ipotenusa supera di $34\mbox{ cm}$ il doppio della proiezione del cateto sopra . Determinare la misura di .

[Suggerimento: ponendo , si ha ...]

XI) Un triangolo equilatero ABC ha area $2304\sqrt{3}\mbox{ m}^2$ . A partire da ogni vertice e sempre nello stesso senso prendi tre segmenti congruenti $AD, \ BE\ \mbox{e}\ CF$ . Congiungendo con , con , con si ottiene un nuovo triangolo equilatero di area $1008\sqrt{3}\mbox{ m}^2$ . Determinare le lunghezze dei due segmenti in cui è diviso ogni lato del triangolo equilatero .

Svolgimenti e soluzioni

I) Problema algebrico di secondo grado con quadrato e triplo

II) Problema di secondo grado con numeri naturali e consecutivo

III) Problema di secondo grado con interi consecutivi e somma di quadrati

IV) Problema algebrico di secondo grado con numeri consecutivi

V) Problema di secondo grado con interpretazione algebrica

VI) Problema algebrico da risolvere con le equazioni di secondo grado

VII) Problema geometrico di secondo grado con triangolo rettangolo

VIII) Problema geometrico di secondo grado con rombo

IX) Problema con le equazioni di secondo grado, rettangolo e quadrato

X) Problema di secondo grado geometrico

XI) Problema geometrico di secondo grado con triangolo equilatero

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