Problemi svolti del tre semplice e del tre composto

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In questa scheda troverete problemi del tre semplice e del tre composto svolti e accuratamente spiegati passo passo. Prima di addentrarvi in questa pagina, se ancora non lo avete fatto, vi consigliamo di rinfrescare le varie tecniche risolutive leggendo le lezioni sui problemi del tre semplice diretto, problemi del tre semplice inverso e problemi del tre composto raggiungibili con un click sui link precedenti. Fatto? Molto bene! Siamo pronti per partire!

Problemi del tre semplice e del tre composto risolti

Problema 1

Un commerciante ha avuto un guadagno netto di 80 € su un ricavo di 400 €. Se avesse avuto un ricavo di 700 € quale sarebbe stato il suo guadagno?

Svolgimento

Si vede immediatamente che entrano in gioco due grandezze: guadagno e ricavo. Siamo quindi di fronte ad un problema de tre semplice; rimane da capire se diretto o inverso.

Per farlo, dobbiamo stabilire se le due grandezze sono direttamente proporzionali o inversamente proporzionali e, come visto nelle lezioni sui problemi del tre semplice prima linkate, procediamo a questo punto a costruirci lo specchietto dei dati:

$\begin{array}{c c c} \mbox{\color{Red}{Guadagno}} & \ \ \ \ \ \ & \mbox{{\color{Red}Ricavo}} \\ 80 \ \mbox{Euro} & & 400 \ \mbox{Euro} \\ x \ \mbox{(valore incognito)} & & 700 \ \mbox{Euro}\end{array}$

per poi chiederci: al raddoppiare del ricavo raddoppierà anche il guadagno? Certo che sì! Abbiamo allora un problema del tre semplice diretto.

Disegnamo accanto ai dati, nello specchietto prima costruito, due frecce aventi lo stesso verso:

Problema svolto tre semplice diretto

e seguendone il verso impostiamo la proporzione risolutiva

Utilizzando la proprietà fondamentale delle proporzioni possiamo ora trovare il valore incognito

$x=\frac{80 \cdot 700}{400} = {\color{Red}140 \ \mbox{euro}}$

che è il guadagno cercato.

Problema 2

Per fare un regalo 4 amici spendono 12,60 € a testa. Quanto avrebbero speso se fossero stati in 6?

Risoluzione

Iniziamo dal costruirci l'utilissimo specchietto dei dati

$\begin{array}{l c r} \mbox{\color{Red}{Spesa a testa}} & \ \ \ \ \ \ & \mbox{{\color{Red}Numero amici}} \\ 12,6 \ \mbox{Euro} & & 4 \ \mbox{Euro} \\ x \ \mbox{(valore incognito)} & & 6 \ \mbox{Euro}\end{array}$

per poi chiederci: al raddoppiare del numero di amici, rimanendo fisso il prezzo del regalo, la spesa pro capite raddoppierà o dimezzerà? Di certo dimezzerà! Quindi le due grandezze sono inversamente proporzionali e siamo allora davanti ad un problema del tre semplice inverso. Faremo due frecce col verso opposto:

Problema svolto tre semplice inverso

per poi ricavare la proporzione (seguendo il verso delle frecce):

da cui:

$x=\frac{12,6 \cdot 4}{6} = {\color{Red}8,4 \ \mbox{euro}}$

Ovvero se fossero stati in 6 avrebbero speso 8,40 € anzichè 12,60 €.

Problema 3

Una stanza è pavimentata con 1400 piastrelle quadrate di 15 centimetri di lato. Si vuole ripavimentare la stanza con piastrelle rettangolari di 15 cm per 20 cm. Quante ne occorreranno?

Soluzione

In questo problema, a differenza dei precedenti dove potevamo partire direttamente con la rappresentazione dei dati, dobbiamo cercare un legame tra i due tipi di piastrelle per poi metterle in relazione col numero necessario per pavimentare la stanza.

Poiché conosciamo la forma e le dimensioni dei due tipi di piastrelle (le prime sono a forma di quadrato, le altre di rettangolo), il legame tra i due tipi sarà la superficie (area) che esse occupano.

Superficie piastrella quadrata $= 15^2 = 225 \ \mbox{cm}^2$

Superficie piastrella rettangolare $= 15 \cdot 20 = 300 \ \mbox{cm}^2$

Ora possiamo finalmente rappresentare i nostri dati

$\begin{array}{c c c} \mbox{\color{Red}{Numero piastrelle}} & \ \ \ \ \ \ & \mbox{{\color{Red}Superficie di una piastrella}} \\ 1400 & & 225 \ \mbox{cm}^2 \\ x \ \mbox{(valore incognito)} & & 300 \ \mbox{cm}^2\end{array}$

e chiederci: a parità di superficie da pavimentare, se la superficie di una piastrella raddoppia, il numero di piastrelle necessario per la pavimentazione raddoppierà o dimezzerà? Senza ombra di dubbio dimezzerà, quindi le nostre grandezze sono inversamente proporzionali.

Risoluzione problema tre semplice inverso

La proporzione che ci permetterà di ricavare il valore della x sarà

$x:1400 = 225:300 \ \to \ x=\frac{1400 \cdot 225}{300} = {\color{Red}1050 \ \mbox{piastrelle}}$

Cioè utilizzando quel genere di piastrelle rettangolari ne occorreranno 1050 per ripavimentare la stanza.

Problema 4

Una spedizione, composta da 60 persone, ha una scorta di viveri sufficiente per 32 giorni con una razione giornaliera di cibo di 1,3 kg ciascuno. Ritenendo opportuno aumentare la razione giornaliera di 0,7 kg a testa, essendosi unite al gruppo altre 12 persone, per quanti giorni è sufficiente la scorta di viveri?

Svolgimento

Entrano qui in gioco tre grandezze. Siamo quindi di fronte ad un problema del tre composto. Facciamoci quindi lo specchietto dei dati e nella colonna dove compare l'incognita disegnamo una freccia che va dalla "x" al valore noto:

Problema tre composto con tre grandezze

Attenzione! Sapevamo che le persone all'inizio della spedizione erano 60 e che poi se ne sono aggiunte 12, quindi il numero finale sarà 60+12=72. Stesso discorso per la razione giornaliera che inizialmente era di 1,3 kg poi aumentata di 0,7 kg, quindi alla fine ogni persona avrà 2 kg di viveri.

Dobbiamo ora stabilire il verso delle altre frecce. Per farlo dobbiamo scoprire in che relazione sta la grandezza in cui compare l'incognita con le altre due.

Chiediamoci allora: al raddoppiare delle persone cosa accadrà al numero di giorni per cui saranno sufficienti i viveri? Di certo dimezzerà, quindi "numero persone" e "numero giorni" sono grandezze inversamente proporzionali. Tracceremo allora una freccia di verso opposto a quella arancione.

Stesso ragionamento (che lasciamo a voi) per il confronto "numero giorni" - "razione giornaliera" che saranno anch'esse inversamente proporzionali.

La rappresentazione finale dei dati sarà la seguente

Svolgimento problema tre composto

Il valore della x sarà dato dal prodotto tra il valore noto ed il rapporto di tutte le altre grandezze scritto seguendo l'ordine delle frecce, cioè

$x=32 \cdot \frac{60}{72} \cdot \frac{1,3}{2} = 17,3 \ \mbox{giorni}$

Ovvero con le nuove aggiunte le scorte dureranno poco più di 17 giorni.

Problema 5

Un automobilista consuma 27 litri di benzina per percorrere i 3/7 di un percorso. Se la benzina costa 1,80 € a litro, quanto gli verrà a costare tutto il viaggio?

Svolgimento

Non facciamoci qui ingannare dal fatto che compaiono tre grandezze (benzina, percorso e prezzo benzina). Il prezzo della benzina al momento lo possiamo mettere da parte. Ci basta infatti sapere quanti litri consuma l'automobilista per percorrere l'intero percorso sapendo che gli occorrono 27 litri per farne 3/7. Una volta trovati moltiplicheremo per 1,80 € per sapere quanto ha speso.

Iniziamo quindi col rappresentare i dati

$\begin{array}{c c c} \mbox{\color{Red}{Benzina}} & \ \ \ \ \ \ & \mbox{{\color{Red}Percorso}} \\ 27 \ \mbox{litri} & & 3/7 \\ x \ \mbox{(valore incognito)} & & 1 \end{array}$

L'1 nella seconda riga sta appunto ad indicare l'intero percorso di cui i 3/7 ne rappresentano una parte.

Poiché al raddoppiare del persorso raddoppierà anche la benzina consumata, le due grandezze sono direttamente proporzionali. Faremo quindi due frecce dello stesso verso

Svolgimento completo problema tre semplice diretto

da cui la proporzione $x:27=1:\frac{3}{7}$

che ci porta a concludere che $x=\frac{27 \cdot 1}{\frac{3}{7}}=27 \cdot \frac{7}{3} = {\color{Red}63 \ \mbox{litri}}$

Poiché un litro di benzina costa 1,80 € l'automobilista spenderà $63 \cdot 1,80 = 113,40 \ \mbox{euro}$ per completare l'intero percorso

Problema 6

Una cisterna contenente 18000 litri d'acqua viene svuotata da 5 pompe in 12 ore. In quante ore viene svuotata una cisterna contenente 27000 litri d'acqua da 9 pompe uguali alle precedenti?

Risoluzione

Questa volta abbiamo tre grandezze tuttte il relazione tra loro. Siamo quindi di fronte al un problema del tre composto.

Rappresentiamo i nostri dati facendo una freccia che va dalla x al valore noto

Specchietto dati problema tre semplice composto

e vediamo in che relazione la grandezza incognita sta con le altre. Lasciamo a voi il compito di formulare le domande.. Ormai dovreste essere degli esperti.

"Capacità" e "tempo" sono in proporzionalità diretta (raddoppiando la capacità raddoppia anche il tempo necessario per lo svuotamento) mentre "numero pompe" e "tempo" sono inversamente proporzionali (raddoppiando le pompe il tempo dimezzerà). Lo schemino finale sarà il seguente

Risoluzione problema tre composto

da cui possiamo facilmente ricavare

$x = 12 \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{27000}{18000} = {\color{Red}10 \ \mbox{ore}}$

Problema 7

Per confezionare dei tendaggi occorono 40 metri di una tela alta 90 centimetri, ma si può usare anche una tela alta 120 cm. Sapendo che il primo tipo di tela costa 6 € al metro ed il secondo 10 €, stabilisci qual è la più conveniente e calcola il relativo risparmio.

Risoluzione

Anche in questo caso, così come è accaduto nel problema 5 non facciamoci ingannare dal fatto che compaiono 3 genere di dati. Il prezzo delle tele, infatti, è indipendente da tutto il resto e lo useremo dopo. Inizialmente non dobbiamo far altro se non trovare quanti metri di tela alta 120 cm occorrono sapendo che ne bastano 40 metri di quella alta 90 cm.

Come sempre basta fare schemino dei dati:

$\begin{array}{c c c} \mbox{\color{Red}{Tela che occorre}} & \ \ \ \ \ \ & \mbox{{\color{Red}Altezza tela}} \\ 40 \ m & & 900 \ cm \\ x \ \mbox{(valore incognito)} & & 120 \ cm \end{array}$

per poi capire in che relazione stanno le due grandezze; al raddoppiare dell'altezza i metri di tela necessari dimezzeranno. Faremo allora due frecce di verso opposto (essendo di fronte a grandezze inversamente porporzionali)

Svolgimento completo problema tre semplice inverso

Ricaveremo allora la proporzione

$x:40=90:120 \ \to \ x=\frac{40 \cdot 90}{120} = {\color{Red}30 \ m}$

Ora la prima tela lunga 40 metri costa 6 € al metro, quindi per acquistarla si spendono $40 \cdot 6 = 240 \ \mbox{euro}$ .

La seconda, lunga 30 metri, costa 10 € a metro quindi verrà a costare $30 \cdot 10 = 300 \ \mbox{euro}$ .

La più conveniente è quindi la prima e rispetto alla seconda si risparmieranno $300-240=60 \ \mbox{euro}$

Problema 8

Nella cucina di un ristorante tenendo accesi 20 fornelli a gas per 25 giorni e per 5 ore al giorno si sono consumati 750 m³ di gas. Se si usassero 15 fornelli per 20 giorni tenendoli accesi 4 ore al giorno, quanti metri cubi di gas si risparmierebbero?

Lasciamo questo problema del tre semplice composto interamente nelle vostre mani!

Se siete riusciti a svolgere da soli questi esercizi o, pur avendo qualche difficoltà, siete comunque giunti alla fine, potete star tranquilli che la vostra verifica andrà a gonfie vele.

Per qualsiasi dubbio non esitate a contattarci ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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