Quesiti della seconda prova PNI di Maturità 2012

Tutti i dieci quesiti con le relative soluzioni della seconda prova PNI, dell'esame di Maturità 2012 (Piano Nazionale Informatica). Ogni risposta che lo richiede presenta il link alla lezione di teoria e al metodo di svolgimento dell'esercizio nel caso generale.

Soluzioni dei quesiti della seconda prova PNI della Maturità 2012

1) Si calcoli il limite:

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{2^{3x}-3^{4x}}{x^2}$

1.R) Il limite si presenta nella forma indeterminata $\left[\frac{0}{0}\right]$ . Procederemo con il teorema di De l'Hopital

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{2^{3x}-3^{4x}}{x^2}$

Riscriviamo le funzioni al numeratore di modo che siano facilmente derivabili

$2^{3x}- 3^{4x}= e^{3x \ln(2)}- e^{4x \ln(3)}$

Il limite diventa

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{3x \ln(2)}- e^{4x \ln(3)}}{x^2}$

Applicando il teorema di De l'Hopital, le cui ipotesi sono soddisfatte, arriveremo a

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{3\ln(2)e^{3x\ln(2)}- 4 \ln(3)e^{4x \ln(3)}}{2x}=\left[\frac{3\ln(2)- 4\ln(3)}{0^{+}}\right]= -\infty$

2) Una moneta da 1 euro (diametro 23.25 mm) viene lanciata su un pavimemento ricoperto da mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella?

2.R) Per prima cosa osserviamo la figura:

Esagoni concentrici, quesito 2 della prova di Maturità PNI 2012

Per prima cosa calcoliamo l'area dell'esagono in rosso, di cui conosciamo che

$\mbox{apotema}= AH= \sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}}= \frac{\sqrt{3}}{2}l= 259.81\,\,mm$

e con essa possiamo determinare l'area

$A= \frac{\mbox{Perimetro}\times AH}{2}= \frac{3}{2}\sqrt{3}l^2=25980.80\,\,mm^2$

Affinché la moneta ricada internamente alla mattonella dobbiamo richiedere che il centro della moneta deve cadere all'esagono S. Consideriamo il triangolo TSO e l'angolo in S che chiamiamo $\alpha= 30^o$ . Per costruzione il segmento coincide con il raggio della moneta, inoltre

$ST= OS \cos(30^o)$

da cui calcoleremo il segmento che ci serve, cioè $OS= \frac{ST}{\cos(30^o)}= \frac{2r}{\sqrt{3}}$ , e dunque

$OT= OS \sin(30^o)= \frac{2r}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2}= \frac{r}{\sqrt{3}}$

Possiamo a questo punto determinare il lato dell'esagono di colore blu. Esso obbedisce alla relazione:

$\l_2= l-2 OT= l -\frac{2r}{\sqrt{3}}= 86.58\,\,mm$

L'apotema dell'esagono in blu è $AH_1= AH-r= \frac{\sqrt{3}}{2}l-r=74.98\,\, mm$ . La sua area è invece

$\mbox{Area}_{E_2}= \frac{6\times l_2\times AH_1}{2}=19475.30 \,\, mm^2$

La probabilità cercata è data dal quoziente delle aree dei due esagoni

$\mbox{Prob}= \frac{\mbox{Area}_{E_2}}{\mbox{Area}}=\frac{19475.30}{25980.80}= 0.749604\simeq 75 \%$

3) Sia . Per quali valori di x, approssimato a meno di $10^{-3}$ la pendenza della retta tangente alla curva nel punto è uguale a 1.

3.R) Scriviamo la funzione come $f(x)= e^{x\ln(3)}$ , e deriviamo rispetto ad x:

$f'(x)= \ln(3)e^{x\ln(3)}$

La pendenza della retta in un punto generico è data dalla derivata prima di f. Per soddisfare le richieste dell'esercizio dobbiamo richiedere che che si traduce nell'equazione $\ln(3)e^{x\ln(3)}= 1$ .

Dividiamo membro a membro per $\ln(3)$

$e^{x\ln(3)}= \frac{1}{\ln(3)}$

applichiamo il logaritmo membro a membro

$x\ln(3)= \ln\left(\frac{1}{\ln(3)}\right)$

dividiamo per $\ln(3)$ e applichiamo una nota proprietà dei logaritmi

$x= -\frac{\ln(\ln(3))}{\ln(3)}\simeq -0.085$

4) L'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti?

4.R) Sì, lo sono. Esiste infatti una biezione famosa tra $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Q}$ costruità tramite il procedimento diagonale di Cantor. Consiste nel creare una griglia di dimensioni infinite contenente tutte le frazioni, quindi tutti i numeri razionali positivi, dopodiché costruiremo un percorso a zig zag che permetta di dare un ordine e di conseguenza riusciremo a "contarli".

5) Siano dati nello spazio n punti . Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti triangoli hanno per vertici questi punti (si supponga che i punti non siano allineati)? Quanti tetraedri?

5.R) Possiamo rileggere l'esercizio in termini combinatori. Contiamo i modi di scegliere sottoinsiemi di m elementi in un insieme di n elementi;

$\mbox{numero segmenti}= {n\choose 2}= \frac{n(n-1)}{2}$

$\mbox{numero triangoli}= {n\choose 3}= \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

$\mbox{numero tetraedri}= {n\choose 4}= \frac{n(n-1)(n-2)(n-4)}{24}$

6) Si dimostri che la curva di equazione ha solo un punto di flesso rispetto a cui è simmetrica.

6.R) Consideriamo la funzione e calcoliamo la derivata prima e seconda:

$f'(x)= 3x^2+a\Rightarrow f''(x)= 6 x$

La derivata seconda si annulla per ed inoltre $f''(x)\textless 0$ se e solo se $x\textless 0$ . Questo ci assicura che il punto è l'unico punto di flesso. Verifichiamo la simmetria rispetto al punto , prendendo in considerazione la trasformazione e allora l'equazione da

diventa

Questa funzione è dispari e questo dimostra la simmetria puntuale nel punto F.

7) È dato un tetraedro regolare di spigolo e altezza . Si determini l'ampiezza dell'angolo $\alpha$ formato da e .

7.R) Lavoriamo con una faccia del tetraedro regolare, che è ovviamente un triangolo equilatero. Il piede dell'altezza del tetraedro coincide con il circocentro del triangolo equilatero e la distanza tra il circocentro e uno dei vertici del triangolo equilatero è:

$AC= \frac{\sqrt{3}}{3}l$

Detto $\theta$ l'angolo al vertice del tetraedro avremo

$AC= l \sin(\theta)\implies l\sin(\theta)= \frac{\sqrt{3}}{3}l \iff \sin(\theta)= \frac{\sqrt{3}}{3}$

da cui $\theta= \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\simeq 0.6154$ .

8) Un'azienda industriale possiede 3 stabilimenti (A,B, C). Nello stabilimento A si produce $\frac{1}{2}$ dei prezzi e il $10\%$ sono difettosi. Nello stabilimento B si produce $\frac{1}{3}$ dei prezzi e il $7\%$ sono difettosi. Nello stabilimento C si profucono i pezzi rimanenti e il $5\%$ sono difettosi. Sapendo che un pezzo è diffettoso, con quale probabilità proviene dallo stabilimento A?

R.8) L'evento che il pezzo proviene dallo stabilimento A, lo indichiamo con abuso di notazione con A e così via per gli altri eventi. La traccia dell'esercizio ci informa che

$P(A)= \frac{1}{2}\quad P(B)= \frac{1}{3}\quad P(C)= \frac{1}{6}$

le quali indicano che la probabilità che il pezzo provenga dallo stabilimeto A è un mezzo, dallo stabilimento B un terzo e dallo stabilimento C un sesto.

Inoltre la probabilità che il pezzo difettoso provenga dallo stabilimento A è $P(\mbox{diff}_{A})= \frac{1}{10}$ , dallo stabilimento B $P(\mbox{diff}_{B})= \frac{7}{100}$ e infine dallo stabilimento C $P(\mbox{diff}_{C})= \frac{5}{100}$ .

Per il teorema della probabilità totale si ha che la probabilità che il pezzo difettoso provenga dallo stabilimento A è:

$P(A_{\mbox{diff}})= \frac{P(D\cap A)}{P(D)}= \frac{\frac{1}{2}\cdot 0.1}{\frac{1}{3}\cdot 0.01+ \frac{1}{3}\cdot 0.07+ \frac{1}{6}\cdot 0.05}= 61.2\%$

dove con P(D) indichiamo la probabilità che pezzo proviente dai tre stabilimenti sia difettoso.

9) Il problema di Erone consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r.

9.R) Per costruire il percorso minimo considero i punti A' e B' simmetrici rispettivamente ad A e B rispetto alla retta r. La distanza più breve tra A' e B è ovviamente il segmento A'B ed interseca la retta r nel punto P. che si candida come punto per il quale il percorso APB è quello minimo.

Percorso minimo nel nono quesito di Maturità 2012

Consideriamo ora un punto P' appartenetente alla retta r diverso da P, si ha che

infatti se congiungiamo P' con B' abbiamo che P'B'= P'B e dunque

d'altra parte per la disuguaglianza triangolare avremo AP>AP', pertanto AP'+PB>AP +PB.

10) Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio r, quello di minima area laterale ha vertice che dista $r\sqrt{2}$ dalla superficie sferica.

10.R) In riferimento alla figura, chiamiamo il raggio della circonferenza di base del cono, e VB l'apotema.

Sezione del cono nel quesito 10, Maturità PNI 2012

Con le formule dirette del cono calcoliamo la superficie laterale: $S_{l}= \pi HB\cdot VB$ .

Sia ora con $x\textgreater 0$ cioè la distanza cercata. L'altezza del cono è dato dalla somma tra x e il diametro della sfera . Siamo interessanti anche al segmento che possiamo ottenere tramite l'applicazione del teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo VCD

$VD= \sqrt{(x+r)^2 -r^2}= \sqrt{x^2+2r x}$

Per la similitudine dei triangoli VCD e VHB si ha che:

equivalente a $(x+2r): VB= \sqrt{x^2+2 r x}: (x+r)$

$VB= \frac{(x+ 2 r)(x+r)}{\sqrt{x^2+2r x}}$

di conseguenza

$S_{l}= \pi HB\cdot VB=\frac{\pi r (x+ 2r) }{\sqrt{x^2+ 2r x}}\cdot \frac{(x+2r)(x+r)}{\sqrt{x^2+ 2r x}}$

Effettuando le moltiplicazioni e in seguito le dovute sostituzioni

$S_{l} = \pi \frac{r (x+2r)(x+r)}{x}$

$f(x)= \pi \frac{r (x+2r)(x+r)}{x}$

la derivata prima è

$f'(x)= \frac{\pi (x^2-2 r^2)}{x}$

Troviamo gli zeri della derivata prima

che conduce $x= \sqrt{2}r$ inoltre $f'(x)\textless 0$ che ha per insieme soluzione $0\textless x\textless \sqrt{2}r$ . Con questo concludiamo dicendo che la funzione ha massimo per $x= \sqrt{2}r$ e questo dimostra l'asserto.

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