Soluzione esame di Stato PNI 2012 - problema 1
Stai per leggere la soluzione del problema 1 dell'esame di Stato 2012 per il PNI (Piano Nazionale Informatica). Lo svolgimento è suddiviso per punti e ogni passaggio che lo richiede è collegato alla lezione di teoria o al metodo di risoluzione necessario, per permetterti di preparare l'esame di Maturità al meglio.
Testo del problema 1 dell'esame di Stato 2012 per il PNI
Della funzione f, definita per si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata
, disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per x= 2 e per x= 4, si sa anche che f(0)= 9, f(3)= 6, f(5)= 3.
1) Si trovino le ascisse dei punti di flesso di f motivando le risposte.
2) Per quale valore di x la funzione f presenta il minimo assoluto? Sapendo che Per quale valore di x la funzione f presenta il suo massimo assoluto?
3) Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di f?
4) Sia g la funzione definita da g(x)= x f(x). Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa x= 3, si determini la misura, in gradi e primi, dell'angolo acuto che essi formano.
Soluzione per punti del problema 1 - esame di Stato 2012 PNI
(Per comodità ricopieremo in ogni punto la parte corrispondente del testo).
Punto 1
Si trovino le ascisse dei punti di flesso di f motivando le risposte.
Svolgimento: affinché f abbia punti di flesso dobbiamo richiedere che la derivata seconda si annulli in particolari punti, i quali saranno punti stazionali per la funzione f'(x), nel nostro caso, guardando il grafico x= 2 e x= 4 fanno al caso nostro. E' interessante osservare che in un opportuno intorno di x= 2 la funzione e f'(x)= 0 quindi il flesso è a tangente orizzontale.
Punto 2
Per quale valore di x la funzione f presenta il minimo assoluto? Sapendo che Per quale valore di x la funzione f presenta il suo massimo assoluto?
Risposta: studiamo il segno della derivata prima. Dal grafico si evince che mentre
, si ha quindi che la funzione
decresce in
mentre cresce in
. x= 5 è il punto di minimo e il minimo assoluto vale
(valore dato dalla traccia).
Da notare che per ipotesi la funzione f è definita in un intervallo chiuso e limitato ed è inoltre contina in esso, perché la derivata prima presenta è ivi continua. Il teorema di Weierstrass ci assicura l'esistenza dei punti di massimo e di minimo. Ci manca il punto di massimo che deve necessariamente vivere agli estremi. Non sappiamo però il valore che la funzione assume per x= 6, f(6). Ci viene in soccorso il teorema fondamentale del calcolo integrale
.
Poiché allora
è punto di massimo assoluto e il massimo vale
.
Punto 3
Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di f?
Soluzione: abbiamo visto che ha massimo assoluto in 0, ha un punto di flesso a tangente orizzontale in x= 2, decresce fino ad x= 5 per il quale abbiamo un minimo assoluto e poi ricomincia a crescere.
Punto 4
Sia g la funzione definita da g(x)= x f(x). Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa x= 3, si determini la misura, in gradi e primi, dell'angolo acuto che essi formano.
Svolgimento: per la regola di derivazione del prodotto:
e dunque
e inoltre
.
L'equazione della retta tangente al grafico è
se e solo se
mentre l'equazione della retta tangente al grafico della funzione f è:
L'angolo acuto tra le due rette è dato dall'equazione:
dove con indichiamo i coefficienti angolari delle rette. Possiamo affermare che
.
Se dovessi avere dubbi o domande teorico/pratiche, sappi che qui su YM hai a tua disposizione migliaia di esercizi risolti passo passo, per ogni tipo di argomento. Puoi trovare tutto quello che ti serve con la barra di ricerca.
Tags: svolgimento del problema 1 dell'esame di Stato 2012 per il Piano Nazionale Informatica - risoluzione del primo problema dell'esame di Maturità 2012 PNI.