Soluzione esame di Stato PNI 2012 - problema 1

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Stai per leggere la soluzione del problema 1 dell'esame di Stato 2012 per il PNI (Piano Nazionale Informatica). Lo svolgimento è suddiviso per punti e ogni passaggio che lo richiede è collegato alla lezione di teoria o al metodo di risoluzione necessario, per permetterti di preparare l'esame di Maturità al meglio.

Testo del problema 1 dell'esame di Stato 2012 per il PNI

Della funzione f, definita per $0\le x\le 6$ si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata , disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per x= 2 e per x= 4, si sa anche che f(0)= 9, f(3)= 6, f(5)= 3.

Immagine del problema 1 dell'esame di Stato 2012

1) Si trovino le ascisse dei punti di flesso di f motivando le risposte.

2) Per quale valore di x la funzione f presenta il minimo assoluto? Sapendo che $\int_{0}^{6}f'(x)dx= -5$ Per quale valore di x la funzione f presenta il suo massimo assoluto?

3) Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di f?

4) Sia g la funzione definita da g(x)= x f(x). Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa x= 3, si determini la misura, in gradi e primi, dell'angolo acuto che essi formano.

Soluzione per punti del problema 1 - esame di Stato 2012 PNI

(Per comodità ricopieremo in ogni punto la parte corrispondente del testo).

Punto 1

Si trovino le ascisse dei punti di flesso di f motivando le risposte.

Svolgimento: affinché f abbia punti di flesso dobbiamo richiedere che la derivata seconda si annulli in particolari punti, i quali saranno punti stazionali per la funzione f'(x), nel nostro caso, guardando il grafico x= 2 e x= 4 fanno al caso nostro. E' interessante osservare che in un opportuno intorno di x= 2 la funzione $f'(x)\le 0$ e f'(x)= 0 quindi il flesso è a tangente orizzontale.

Punto 2

Per quale valore di x la funzione f presenta il minimo assoluto? Sapendo che $\int_{0}^{6}f'(x)dx= -5$ Per quale valore di x la funzione f presenta il suo massimo assoluto?

Risposta: studiamo il segno della derivata prima. Dal grafico si evince che $f'(x)\le 0\iff 0\le x\le 5$ mentre $f'(x)\ge 0\iff 5\le x\le 6$ , si ha quindi che la funzione decresce in mentre cresce in . x= 5 è il punto di minimo e il minimo assoluto vale (valore dato dalla traccia).

Da notare che per ipotesi la funzione f è definita in un intervallo chiuso e limitato ed è inoltre contina in esso, perché la derivata prima presenta è ivi continua. Il teorema di Weierstrass ci assicura l'esistenza dei punti di massimo e di minimo. Ci manca il punto di massimo che deve necessariamente vivere agli estremi. Non sappiamo però il valore che la funzione assume per x= 6, f(6). Ci viene in soccorso il teorema fondamentale del calcolo integrale

$\int_{0}^{6}f'(x)dx= f(6)-f(0)= -5\implies f(6)= -5+f(0)= -5+9= 4$ .

Poiché $f(0)\ge f(6)$ allora è punto di massimo assoluto e il massimo vale .

Punto 3

Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di f?

Soluzione: abbiamo visto che ha massimo assoluto in 0, ha un punto di flesso a tangente orizzontale in x= 2, decresce fino ad x= 5 per il quale abbiamo un minimo assoluto e poi ricomincia a crescere.

Punto 4

Sia g la funzione definita da g(x)= x f(x). Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa x= 3, si determini la misura, in gradi e primi, dell'angolo acuto che essi formano.

Svolgimento: per la regola di derivazione del prodotto:

e dunque e inoltre .

L'equazione della retta tangente al grafico è se e solo se mentre l'equazione della retta tangente al grafico della funzione f è:

$r: y= f'(3)(x-3)+ f(3)\iff y= (-1)(x-3)+ 6\iff y= -x+9$

L'angolo acuto tra le due rette è dato dall'equazione:

$\tan(\alpha)= \left|\frac{m_1- m_2}{1+ m_1 m_2}\right|= 2$

dove con indichiamo i coefficienti angolari delle rette. Possiamo affermare che $\alpha = \arctan(2)= 63^{o}26' 5''$ .

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