Quesiti della seconda prova di Maturità 2012

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I testi e gli svolgimenti dei dieci quesiti della seconda prova dell'esame di Stato 2012, tratti dalla Maturità nel liceo Scientifico tradizionale. Ogni quesito è corredato da una risposta dettagliata con i collegamento ai metodi di risoluzione e a tutta la teoria necessaria.

Tracce e soluzioni dei quesiti - seconda prova della Maturità 2012

1) Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore:

$\lim_{h\to 0}\frac{5\left(\frac{1}{2}+h\right)^4- 5 \left(\frac{1}{2}\right)^4}{h}$

1.R) Rappresenta il limite del rapporto incrementale della funzione centrato nel punto $x_0 = \frac{1}{2}$ . Il suo valore coincide quindi con la derivata prima della funzione f valutata nel punto $x= \frac{1}{2}$ .

$\begin{align*}\lim_{h\to 0}\frac{5 \left(\frac{1}{2}+h\right)^4- 5\left(\frac{1}{2}\right)^4}{h}&=f'\left(\frac{1}{2}\right)\\&= [20 x^3]_{x= \frac{1}{2}}= \frac{5}{2}\end{align}$

2) Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione f(x) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali.

2.R) Per quanto riguarda la teoria e tutto quello che c'è da sapere, vi rimandiamo alla lezione sugli asintoti orizzontali e sugli asintoti verticali. Come esempio riportiamo la funzione

$f(x)= \frac{1}{1-x^2}$

È chiaro che e sono asintoti verticali per la funzione, per vederlo basta calcolare i limiti

$\lim_{x\to-1^{+}} f(x)= +\infty \qquad \lim_{x\to-1^{-} }f(x)= - \infty$ e

$\lim_{x\to 1^{+}} f(x)= -\infty \qquad \lim_{x\to 1^{-} }f(x)= + \infty$

Inoltre per quel che riguarda i limiti all'infinito abbiamo

$\lim_{x\to \pm \infty}f(x)= 0$

questo a riprova del fatto che è un asintoto orizzontale per la funzione.

3) La posizione di una particella è data da $s(t)= 20 (e^{-\frac{t}{2}}+t-2)$ . Qual è la sua accelerazione al tempo ?

3.R) Qui interviene il significato fisico di derivata prima e seconda. Sappiamo infatti che la derivata prima ha il significato fisico di velocità istantanea, in particolare $v(t)= s'(t)= 20\left(1-\frac{e^{-\frac{t}{2}}}{2}\right)$ è la velocità istantanea al variare del tempo t e si ottiene derivando la funzione posizione. Derivando rispetto al tempo la velocità otterremo l'accelerazione, infatti la derivata seconda della funzione posizione ha il significato fisico di accelerazione

$a(t)= v'(t)= s''(t)=5 e^{-\frac{t}{2}}$

Dopo averla calcolata ci basta valutare la derivata seconda in , per cui ricaviamo $a(4)= 5 e^{-2}$ .

4) Qual è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema un metro?

4.R) Dobbiamo calcolare il volume del cono, un disegno ci tornerà utile

Cono del quesito 4 dell'esame di Stato 2012

Prendiamo come variabile , per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo generatore avremo che il raggio è

$r= \sqrt{a^2-h^2} = \sqrt{1-h^2}\mbox{ con }0\textless h\textless 1$

Il volume dipendente dalla lunghezza dell'altezza è

$V(h)= \frac{\pi (\sqrt{1-h^2})^2 h}{3}= \frac{\pi}{3} (h-h^3)$

Calcoliamo la derivata prima rispetto ad h

$V'(h)= \frac{\pi}{3}(1-3h^2)$

La derivata prima della funzione V è zero se e solo se $1-3h^2= 0{tex} cioÃ¨ {tex}h= \frac{1}{\sqrt{3}}$ (la soluzione negativa va scartata per questioni geometriche). Inoltre la derivata prima della funzione è positiva se e solo se $0\textless h\textless \frac{1}{\sqrt{3}}$ mentre è negativa se $\frac{1}{\sqrt{3}}\textless h\textless 1$ .

Ne deduciamo che $h= \frac{1}{\sqrt{3}}$ è un punto di massimo. Il volume massimo vale $V(1/\sqrt{3})= \frac{2\pi }{9 \sqrt{3}} m^3= \frac{2000 \pi}{9 \sqrt{3}}\mbox{ litri}$ .

5) Siano dati nello spazio n punti . Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti triangoli hanno per vertici questi punti (si supponga che i punti non siano allineati)? Quanti tetraedri?

5.R) Possiamo rileggere l'esercizio in termini combinatori. Contiamo i modi di scegliere sottoinsiemi di m elementi in un insieme di n elementi facendo ricorso alle combinazioni semplici;

$\mbox{numero segmenti}= {n\choose 2}= \frac{n(n-1)}{2}$

$\mbox{numero triangoli}= {n\choose 3}= \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

$\mbox{numero tetraedri}= {n\choose 4}= \frac{n(n-1)(n-2)(n-4)}{24}$

6) Sia $f(x)= 5 \sin(x)\cos(x)+ \cos^2(x)-\sin^2(x)- \frac{5}{2}\sin(2x )- \cos(2x)-17$ .

Calcolare

6.R) Facendo ricorso alle formule di duplicazione, cioè osservando che $\sin(2x)= 2\sin(x)\cos(x)$ e che $\cos(2x)= \cos^2(x)- \sin^2(x)$ e sommando i termini simili, scopriamo che la funzione si riduce ad essere e la sua derivata è banalmente .

7) È dato un tetraedro regolare di spigolo e altezza . Si determini l'ampiezza dell'angolo $\alpha$ formato da e .

7.R) Lavoriamo con una faccia del tetraedro regolare, che è ovviamente un triangolo equilatero. Il piede dell'altezza del tetraedro coincide con il circocentro del triangolo equilatero e la distanza tra il circocentro e uno dei vertici del triangolo equilatero è:

$AC= \frac{\sqrt{3}}{3}l$

Detto $\theta$ l'angolo al vertice del tetraedro avremo che:

$AC= l \sin(\theta)\implies l\sin(\theta)= \frac{\sqrt{3}}{3}l \iff \sin(\theta)= \frac{\sqrt{3}}{3}$

da cui $\theta= \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\simeq 0.6154$

8) Qual è il valor medio della funzione $f(x)= \frac{1}{x}$ da x= 1 a x= e?

8.R) Per definizione di valor medio:

$M(f, 1,e)= \frac{\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx}{e-1}= \frac{\ln(e)- \ln(1)}{e-1}= \frac{1}{e-1}$

9) Il problema di Erone consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r.

9.R) Per costruire il percorso minimo considero i punti A' e B' simmetrici rispettivamente ad A e B rispetto alla retta r. La distanza più breve tra A' e B è ovviamente il segmento A'B ed interseca la retta r nel punto P. che si candida come punto per il quale il percorso APB è quello minimo.

Percorso minimo nel nono quesito di Maturità 2012

Consideriamo ora un punto P' appartenetente alla retta r diverso da P, si ha che:

Poiché se congiungiamo P' con B' abbiamo che P'B'= P'B e dunque:

ma per la disuguaglianza triangolare avremo AP>AP', pertanto AP'+PB>AP +PB.

10) Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni x reale?

$A\,\,\, \cos(\sin(x^2+1))$

$B\,\,\, \sin(\cos(x^2+1))$

$C\,\,\, \sin(\ln(x^2+1))$

$D\,\,\,\cos(\ln(x^2+1))$

10.R) La risposta corretta è la A. ha per immagine l'insieme $[1, +\infty)$ e il seno in questo intervallo, varia tra -1 e 1. Di conseguenza l'argomento del coseno è una quantità che varia in . A questo punto possiamo concludere giacché il coseno è positivo nell'intervallo .

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