Quesiti della seconda prova di Maturità 2012
I testi e gli svolgimenti dei dieci quesiti della seconda prova dell'esame di Stato 2012, tratti dalla Maturità nel liceo Scientifico tradizionale. Ogni quesito è corredato da una risposta dettagliata con i collegamento ai metodi di risoluzione e a tutta la teoria necessaria.
Tracce e soluzioni dei quesiti - seconda prova della Maturità 2012
1) Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore:
1.R) Rappresenta il limite del rapporto incrementale della funzione centrato nel punto
. Il suo valore coincide quindi con la derivata prima della funzione f valutata nel punto
.
2) Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione f(x) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali.
2.R) Per quanto riguarda la teoria e tutto quello che c'è da sapere, vi rimandiamo alla lezione sugli asintoti orizzontali e sugli asintoti verticali. Come esempio riportiamo la funzione
È chiaro che e
sono asintoti verticali per la funzione, per vederlo basta calcolare i limiti
e
Inoltre per quel che riguarda i limiti all'infinito abbiamo
questo a riprova del fatto che è un asintoto orizzontale per la funzione.
3) La posizione di una particella è data da . Qual è la sua accelerazione al tempo
?
3.R) Qui interviene il significato fisico di derivata prima e seconda. Sappiamo infatti che la derivata prima ha il significato fisico di velocità istantanea, in particolare è la velocità istantanea al variare del tempo t e si ottiene derivando la funzione posizione. Derivando rispetto al tempo la velocità otterremo l'accelerazione, infatti la derivata seconda della funzione posizione ha il significato fisico di accelerazione
Dopo averla calcolata ci basta valutare la derivata seconda in , per cui ricaviamo
.
4) Qual è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema un metro?
4.R) Dobbiamo calcolare il volume del cono, un disegno ci tornerà utile
Prendiamo come variabile , per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo generatore avremo che il raggio è
Il volume dipendente dalla lunghezza dell'altezza è
Calcoliamo la derivata prima rispetto ad h
La derivata prima della funzione V è zero se e solo se (la soluzione negativa va scartata per questioni geometriche). Inoltre la derivata prima della funzione è positiva se e solo se
mentre è negativa se
.
Ne deduciamo che è un punto di massimo. Il volume massimo vale
.
5) Siano dati nello spazio n punti . Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti triangoli hanno per vertici questi punti (si supponga che i punti non siano allineati)? Quanti tetraedri?
5.R) Possiamo rileggere l'esercizio in termini combinatori. Contiamo i modi di scegliere sottoinsiemi di m elementi in un insieme di n elementi facendo ricorso alle combinazioni semplici;
6) Sia .
Calcolare
6.R) Facendo ricorso alle formule di duplicazione, cioè osservando che e che
e sommando i termini simili, scopriamo che la funzione si riduce ad essere
e la sua derivata è banalmente
.
7) È dato un tetraedro regolare di spigolo e altezza
. Si determini l'ampiezza dell'angolo
formato da
e
.
7.R) Lavoriamo con una faccia del tetraedro regolare, che è ovviamente un triangolo equilatero. Il piede dell'altezza del tetraedro coincide con il circocentro del triangolo equilatero e la distanza tra il circocentro e uno dei vertici del triangolo equilatero è:
Detto l'angolo al vertice del tetraedro avremo che:
da cui
8) Qual è il valor medio della funzione da x= 1 a x= e?
8.R) Per definizione di valor medio:
9) Il problema di Erone consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r.
9.R) Per costruire il percorso minimo considero i punti A' e B' simmetrici rispettivamente ad A e B rispetto alla retta r. La distanza più breve tra A' e B è ovviamente il segmento A'B ed interseca la retta r nel punto P. che si candida come punto per il quale il percorso APB è quello minimo.
Consideriamo ora un punto P' appartenetente alla retta r diverso da P, si ha che:
Poiché se congiungiamo P' con B' abbiamo che P'B'= P'B e dunque:
ma per la disuguaglianza triangolare avremo AP>AP', pertanto AP'+PB>AP +PB.
10) Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni x reale?
10.R) La risposta corretta è la A. ha per immagine l'insieme
e il seno in questo intervallo, varia tra -1 e 1. Di conseguenza l'argomento del coseno è una quantità che varia in
. A questo punto possiamo concludere giacché il coseno è positivo nell'intervallo
.
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