Quesiti seconda prova di Maturità 2011

Ciao ragazzi, vediamo come rispondere ai quesiti della seconda prova dell'esame di Maturità 2011. I quesiti sono tratti dalla traccia della Maturità per il liceo Scientifico tradizionale, e ogni passaggio che lo richiede è linkato alla lezione di teoria e al metodo di risoluzione dell'esercizio spiegato in generale.

 

Testi e risposte ai quesiti della seconda prova di Maturità 2011

 

1) Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Qual è la capacità massima in litri del serbatoio? 

 

1.R) Cominciamo con un disegno

 

Disegno del quesito 1 della traccia di Maturità 2011

 

Sia x= OH, per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo con lati il raggio di base del cilindro, il segmento OH e la superficie della sfera possiamo scrivere che:

 

r= \sqrt{R^2-x^2} ed il volume del cilindro sarà:

 

V(x)= \pi r^2\cdot 2x= 2\pi (R^2-x^2)x

 

Per determinare il massimo, calcoliamo la derivata prima della funzione V

 

V'(x)= 2\pi (R^2-3x^2)

 

Essa si annulla se e solo se R^2-3x^2= 0 da cui x= \pm \sqrt{\frac{R^2}{3}}

 

La soluzione negativa va scartata per questioni geometriche. Il punto x= \sqrt{\frac{R^2}{3}} si candida come punto estremante, non ci rimane altro da fare che studiare il segno della derivata seconda così da comprendere la natura del punto stazionario.

 

Risolvendo la disequazione V'(x)\textgreater 0 arriveremo a 2\pi (R^2-3x^2)\textgreater 0 e quindi 0\textless x\textless \frac{R}{\sqrt{3}} (tenete a mente il vincolo geometrico x\textgreater 0 ).

 

Concludiamo che x= \frac{R}{\sqrt{3}} è punto di massimo e il massimo vale V\left(\frac{R}{\sqrt{3}}\right)= 0.5223\,\, m^3= 522, 3\,\, l.

 

 

2) Si trovi il punto della curva y= \sqrt{x} più vicino al punto Q(4,0).

 

2.R) Sia P(x, \sqrt{x}) un punto generico del grafico \Gamma_{y= \sqrt{x}}. Per la formula della distanza possiamo determinare la legge che ci fornisce la distanza PQ al variare di x:

 

f(x)= PQ= \sqrt{(x-4)^2+ x}= \sqrt{x^2+ 16 -8x +x}= \sqrt{x^2- 7 x+ 16}

 

Calcoliamo la derivata prima, utilizzando la regola di derivazione per le funzioni composte

 

f'(x)= \frac{2x-7}{2\sqrt{x^2-7x+16}}

 

Essa è nulla se e solo se il numeratore si annulla e questo avviene per 2x-7=0 cioè per x= \frac{7}{2}

 

Osserviamo inoltre che la derivata prima della funzione f è positiva se x\textgreater \frac{7}{2} ergo la funzione f cresce se x\textgreater \frac{7}{2} mentre decresce in