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  • Si Giulia, ora ti rispondo

    Risposta di Alpha
  • Nell'esercizio compaiono due relazioni di equivalenza: R ed S. Svolgo l'esercizio passaggio per passaggio per R.

     

    Una relazione si dice di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e  transitiva. Proviamo che R gode di queste proprietà:

     

    Siano

    (a,b),(c,d),(e,f)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}

     

    R è riflessiva, infatti, necessariamente

     

    \max\{a,b\}=\max\{a,b\}

     

    è simmetrica, infatti se la coppia (a,b) è in relazione con (c,d), anche (c,d) è in relazione con (a,b), visto che un'uguaglianza si può leggere sia da sinistra a destra che da destra a sinistra.

     

    R è transitiva:

    (a,b)\mathcal{R}(c,d)

     

    e

     

    (c,d)\mathcal{R}(e,f)

     

    allora

     

    \max\{a,b\}=\max\{c,d\}

     

    e

     

    \max\{c,d\}=\max\{e,f\}

     

    necessariamente si ha

     

    \max\{a,b\}=\max\{e,f\}

     

    Quindi R è di equivalenza.

     

    Le coppie in relazione con (1,1) sono quelle aventi come massimo esattamente 1. Dunque la classe di questa coppia è composta da lei sola.

    Le coppie in relazione con (1,3) sono tutte le coppie con massimo 3, quindi oltre a (1,3) abbiamo (2,3) (3,1) e (3,2), (3,3). Dunque la classe sarà data da

     

    (1,3),(2,3),(3,1),(2,3),(3,3)

     

    In generale, coppia (1,n), avrà come classe di equivalenza rispetto ad R quella di tutte le coppie (m,n) con m≤n e di tutte le coppie (n,m) con m strettamente minore di n, in modo da contare una sola volta la coppia (n,n).

    Risposta di Alpha
 
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