Soluzioni
  • Per trovare l'immagine della funzione

    f(x)=1-\frac{1}{x}

    puoi usare il metodo grafico (ne parliamo nella lezione sulla suriettività) combinato con il metodo del grafico intuitivo di una funzione.

    Nel caso considerato la funzione è composta da un'iperbole equilatera simmetrizzata rispetto all'asse delle x ed in seguito traslata. L'immagine è tutto l'asse reale esclusa l'ordinata y=1 (perchè il termine 1/x non può mai essere zero).

    A proposito, qui ci sono un po' di esercizi su immagine e codominio, con le soluzioni.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Oltre al metodo grafico, c'è un ragionamento alternativo che potrei fare?

    Risposta di giacomo22
  • Ce ne sono molti, ma nessuno così veloce: il metodo grafico si basa su informazioni di tipo analitico minimali, ovvero sia:

    - scomponi la funzione nelle sue parti più elementari, messe insieme da operazioni algebriche di base;

    - parti dalle informazioni di cui dosponi su ciascuna delle funzioni elementari che la compongono;

    - fai considerazioni di tipo grafico, le più semplici in assoluto.

    Qui devi solo saper disegnare l'iperbole equilatera, rovesciarne il grafico rispetto all'asse delle x e spostarla di un valore di ordinata verso l'alto.

    Risposta di Omega
  • Lo so, ma può capitare quella funzione di cui io non so disegnare il grafico, e dopo sono guai! Tongue

    invece vorrei sapere un ragionamento, anche un po più contorto che però mi dia la garanzia di saperlo risolvere.

    Per esempio non si potrebbe ragionare sul dominio della funzione e sul dominio dell'inversa? Non c'è qualche relazione con l'immagine?

    Risposta di giacomo22
  • Non un buon metodo, a mio modo di vedere. Presuppone che il calcolo dell'inversa sia analiticamente semplice. Qui funziona, in generale no. Prendi ad esempio

    y=\ln{(x)}+x

    Qui l'inversa non riesci a calcolarla analiticamente...ma trovare l'immagine con il metodo grafico è una passeggiata.

    Risposta di Omega
  • Come si trova l'immagine con il metodo  grafico della funzione da te citata?

    E per cortesia potresti risolvermi la funzione da me proposta utilizzando l'inversa?? 

    Ti ringrazio Omega

    Risposta di giacomo22
  • La prima richiesta:

    con il metodo grafico, disegna la bisettrice del primo e del quarto quadrante: ha immagine tutto l'asse reale. Disegna il grafico del logaritmo: ha immagine tutto l'asse reale.

    Le due funzioni sono sommate tra loro. La somma copre tutto l'asse reale.

    La seconda richiesta:

    y=1-\frac{1}{x}

    (x deve essere diverso da zero)

    y=\frac{x-1}{x}

    devi isolare la x da una parte dell'uguale

    xy=x-1

    xy-x=-1

    x(y-1)=-1

    x=-\frac{1}{y-1}

    che ha dominio tutto l'asse reale tranne il punto y=1.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Quindi la somma delle immagini delle due funzioni è uguale all'immagine della somma delle due funzioni? Questa regola vale in ogni caso? Vale lo stesso per il prodotto, la composizione e il quoziente e la sottrazione tra funzioni?

    Risposta di giacomo22
  • Inoltre il dominio dell inversa della funzione (quando è possibile calcolarlo) è sempre uguale all'insieme immagine?

    Risposta di giacomo22
  • Quindi la somma delle immagini delle due funzioni è uguale all'immagine della somma delle due funzioni? Questa regola vale in ogni caso?

    Non in generale.

    Vale lo stesso per il prodotto, la composizione e il quoziente e la sottrazione tra funzioni?

    Assolutamente no.

    Inoltre il dominio dell inversa della funzione (quando è possibile calcolarlo) è sempre uguale all'insieme immagine?

    Si!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Perchè non in generale?

    Tra le lezioni da voi dello staff pubblicate, ce ne qualcuna che evidenzia la relazione che vi tra le operazioni tra funzioni e operazioni delle immagini di queste funzioni?

    Risposta di giacomo22
  • Tra le lezioni: sempre la stessa.

    "Perchè non in generale?" è una nuova domanda Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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