Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di determinare l'immagine della funzione

    f(x)=\lfloor x^2+x\rfloor

    dove \lfloor \ \cdot \ \rfloor è la funzione parte intera. Per raggiungere il nostro obiettivo, poniamo

    g(x)=x^2+x

    e notiamo che f(x) è la funzione composta dalla parte intera e da g(x)

    f(x)=\lfloor g(x)\rfloor

    Studiamo a parte la funzione polinomiale di secondo grado g(x), il cui grafico coincide con la parabola convessa \gamma di equazione

    y=x^2+x

    passante per i punti P_1(0,0), P_2(1,2) e avente vertice

    V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)

    dove a,b,c sono il coefficiente del termine in x^2, quello del termine in x e il termine noto.

    In generale, il vertice di una parabola convessa è il punto con ordinata minima; tutti gli altri punti della parabola avranno ordinata maggiore. Inoltre per ogni y maggiore dell'ordinata del vertice, esiste x\in\mathbb{R} tale che (x,y) è un punto della parabola.

    Traducendo queste informazioni nel linguaggio delle funzioni, possiamo affermare che:

    \bullet \ \ \ x_{V}=-\frac{1}{2} è il punto di minimo assoluto per la funzione g(x), mentre y_{V}=-\frac{1}{4} è il minimo assoluto per g(x);

    \bullet \ \ \ g(x) assume tutti i numeri reali più grandi del suo minimo, per cui la sua immagine è:

    Im(g)=\left[-\frac{1}{4},+\infty\right)

    Per come è definita la funzione parte intera, l'immagine di f(x) è composta da tutti gli interi appartenenti a Im(g) a cui aggiungiamo il più grande intero k_{0} minore del minimo assoluto di g(x), ossia

    \left\lfloor-\frac{1}{4}\right\rfloor=-1

    Ciò ci permette di concludere che l'immagine di f(x) è l'insieme dei numeri interi maggiori o uguali di -1.

    \\ Im(f)=\{k\in\mathbb{Z}: \ k\in Im(g)\ \vee \ k=-1\}=\\ \\ =\{-1,0,1,2,...\}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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