Immagine di una funzione con parte intera

Question

Ho bisogno di voi per ricavare l'immagine della funzione parte intera, composta con una funzione polinomiale di secondo grado. Il mio professore ha suggerito di studiare la funzione argomento e di sfruttare in qualche modo queste informazioni per dedurre l'immagine. Come si fa? Determinare l'immagine della funzione f(x) = lfloor x^2+x rfloor dove lfloor · rfloor è la funzione parte intera. Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

L'esercizio ci chiede di determinare l'immagine della funzione

dove è la funzione parte intera. Per raggiungere il nostro obiettivo, poniamo

e notiamo che è la funzione composta dalla parte intera e da

Studiamo a parte la funzione polinomiale di secondo grado , il cui grafico coincide con la parabola convessa di equazione

passante per i punti e avente vertice

dove sono il coefficiente del termine in , quello del termine in e il termine noto.

In generale, il vertice di una parabola convessa è il punto con ordinata minima; tutti gli altri punti della parabola avranno ordinata maggiore. Inoltre per ogni maggiore dell'ordinata del vertice, esiste tale che è un punto della parabola.

Traducendo queste informazioni nel linguaggio delle funzioni, possiamo affermare che:

è il punto di minimo assoluto per la funzione , mentre è il minimo assoluto per ;

assume tutti i numeri reali più grandi del suo minimo, per cui la sua immagine è:

Per come è definita la funzione parte intera, l'immagine di è composta da tutti gli interi appartenenti a a cui aggiungiamo il più grande intero minore del minimo assoluto di , ossia

Ciò ci permette di concludere che l'immagine di è l'insieme dei numeri interi maggiori o uguali di .

Im(f) = k∈Z: k∈ Im(g) ∨ k = -1 = -1,0,1,2,...

Abbiamo finito.