L'esercizio ci chiede di determinare l'immagine della funzione
dove
è la funzione parte intera. Per raggiungere il nostro obiettivo, poniamo
e notiamo che
è la funzione composta dalla parte intera e da
Studiamo a parte la funzione polinomiale di secondo grado
, il cui grafico coincide con la parabola convessa
di equazione
passante per i punti
e avente vertice
dove
sono il coefficiente del termine in
, quello del termine in
e il termine noto.
In generale, il vertice di una parabola convessa è il punto con ordinata minima; tutti gli altri punti della parabola avranno ordinata maggiore. Inoltre per ogni
maggiore dell'ordinata del vertice, esiste
tale che
è un punto della parabola.
Traducendo queste informazioni nel linguaggio delle funzioni, possiamo affermare che:
è il punto di minimo assoluto per la funzione
, mentre
è il minimo assoluto per
;
assume tutti i numeri reali più grandi del suo minimo, per cui la sua immagine è:
Per come è definita la funzione parte intera, l'immagine di
è composta da tutti gli interi appartenenti a
a cui aggiungiamo il più grande intero
minore del minimo assoluto di
, ossia
Ciò ci permette di concludere che l'immagine di
è l'insieme dei numeri interi maggiori o uguali di
.
Abbiamo finito.
MEDIE | Geometria | Algebra e Aritmetica | |||
SUPERIORI | Algebra | Geometria | Analisi | Altro | |
UNIVERSITÀ | Analisi | Algebra Lineare | Algebra | Altro | |
EXTRA | Pillole | Wiki |