Soluzioni
  • Ciao Giulialg88, il tempo di formulare la risposta...

    Risposta di Omega
  • i) si dica se esso è un campo o meno, giustificando la risposta;

    Non è un campo perchè 10 non è un numero primo;

    ii) si determinino in Z10 gli elementi invertibili e gli eventuali divisori dello zero;

    Gli elementi invertibili sono [3] e [7]. I divisori dello zero sono 2,4,5,6,8.

    iii) si determini 7-1 (facendo uso di una opportuna equazione congruenziale);

    L'inverso di 7 è evidentemente 3. Basta scrivere

    7x=m10+1

    i) un anello (Z,+,°)  è un campo se (Z/{0},°) è gr abeliano se è monoide,esistono elem simmetrizz evale la p. commutativa.

    il mio problema è che non ho una "formula" per verificare ciò...(es a°b=a+b+3) quindi come faccio?)

    Non ho capito molto della richiesta dell'ultimo punto...

    Risposta di Omega
  • potresti spiegarmi i "perchè" di queste tue risposte?

    non ho capito...

    grazie

    Risposta di Giulialg88
  • Certamente:

    1) la risposta al primo punto è un teorema che, se non hai ancora visto, vedrai a breve:

    \mathbb{Z}_{p} è un campo se e solo se p è un numero primo

    In particolare, un campo è, per definizione, un anello commutativo con tutti i suoi elementi che sono elementi unitari. Un divisore dello zero non può essere un elemento unitario, e Z10 di divisori dello zero ne ha eccome! Quindi non è un campo...

    2) Per vedere che [3] e [7] sono invertibili:

    3\cdot 7=21=1 mod(10)

    e sono gli unici elementi di Z10, oltre naturalmente a [1], che hanno inverso in Z10.

    Per i divisori dello zero, ti basta notare che

    2\cdot 5=10=0 mod(10)

    4\cdot 5=10=0 mod(10)

    e così via...

    3) Basta ripetere quanto detto al punto 2)

    4) non ho capito la richiesta.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • il 4 punto non esiste,i punti sono solo 3.

    per il secondo punto devo procedere moltiplicando ogni numero per un altro sempre appartenente  a Z10 e quindi trovo che il loro prodotto diviso per 10 ha resto 1(facendo tutte le combinazioni)?oppure c è un modo più veloce per vedere quali sono questi numeri invertibili?

    Risposta di Giulialg88
  • "il 4 punto non esiste,i punti sono solo 3." 

    Laughing avevo letto iv) invece di i), pensavo fosse un nuovo punto e non la tua soluzione al punto i). Ad ogni modo poco importa, non ci avevo capito granché.

    ---

    Potresti impostare delle congruenze, ma il modo più veloce qui è prendere tutte le combinazioni, e farne il prodotto. 

    Risposta di Omega
  • ma sono 81 combinazioni =S

    Risposta di Giulialg88
  • No, il prodotto è commutativo in Z10...... Wink

    Risposta di Omega
  • allora facendo tutti i calcoli viene che:

    3(3)=9-->1

    3(7)=21-->1

    9(9)=81-->1

    quindi? 9 è inverso di se stesso....ma 3 è inverso di se stesso e di 7?Undecided

    Risposta di Giulialg88
  • Alt, in effetti

    9(9)=81=1

    mi era sfuggito. Quindi anche 9 è invertibile e ha come inverso sé stesso.

    Ma

    3(3)=9\neq 1

    Perchè 9 dovrebbe essere 1 nell'anello delle classi di resto modulo 10?

    Risposta di Omega
  • scusami avevo fatto 10:9  invece che 9:10...hai ragione sorry

    Risposta di Giulialg88
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