Soluzioni
  • Ciao Giacomo22, ti rispondo subito!Wink

    Risposta di Omega
  • Quali condizioni si devono verificare affinchè una funzione si possa dire limitata?

    Deve avere immagine limitata. Prova a leggere qui.

    Una funzione discontinua può risultare ugualmente monotona?

    Nì. Prendi ad esempio la funzione

    y=\frac{1}{x}

    che ha una discontinuità di seconda specie in x=0 e che è monotona strettamente decrescente su tutto il suo dominio. Essa è però localmente monotona, non globalmente monotona.

    e poi prova a dare un'occhiata qui.

    Che relazione c'è tra immagine e inversa? Cioè l'immagine coincide con il dominio dell'inversa?

    Se con inversa intendi la funzione inversa, questo è naturalmente vero nel caso in cui la funzione considerata sia invertibile.

    Quindi quando mi si chiede di calcolare l'immagine, in realtà devo calcolare il dominio dell'inversa?

    Direi che fai prima a calcolare l'immagine direttamente. Poi eventualmente, se richiesto, usi l'informazione per conoscere il dominio della funzione inversa, se esiste. Il fatto è che conoscere l'immagine serve a stabilire se la funzione è suriettiva o meno, e dunque a partire da questa informazione potrai eventualmente invertire la funzione (dando per scontato che sia iniettiva sul suo insieme di definizione). A quel punto saprai che l'inversa ha dominio l'immagine della funzione di partenza.

    Prova a leggere qui.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ho letto gli articoli, ma ho ancora qualche dubbio! Vorrei proporti un esempio per cercare di capire: se ho la funzione y=xln(x) come faccio a dimostrare che è limitata inferiormente e illlimitata superiormente senza usare il grafico e senza usare le derivata?

    Risposta di giacomo22
  • Se vuoi trovare l'immagine di questa funzione senza usare gli strumenti da te indicati, puoi ragionare così:

    1) trova il dominio della funzione, che è

    (0,+\infty)

    2) calcola i limiti agli estremi del dominio

    \lim_{x\to 0^+}{f(x)}=0^-

    \lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty

    da cui si vede che è illimitata superiormente

    3) determina il segno della funzione: è non-negativa per

    x\geq 1

    4) osserva che tra 0 ed 1 la funzione è negativa e non ha alcuna discontinuità di seconda specie, quindi non può essere illimitata inferiormente. Non ci sono discontinuità di seconda specie nemmeno per x maggiore-uguale di 1. Si conclude che la funzione è limitata inferiormente.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ma se volessi trovare appunto qual'è l'estremo inferiore senza usare gli elementi da me indicati precedentemente come potri fare?

    Risposta di giacomo22
  • Per conoscere il valore esatto del minimo (come in questo caso), se esiste, non c'è modo più semplice del calcolo delle derivate.

    Un'informazione precisa richiede strumenti adeguati, mentre per un'informazione qualitativa come "dire se è inferiormente illimitata/limitata" puoi rinunciare a certi strumenti. Non è però possibile catalogare a priori una lista di metodi che si adattino all'analisi qualitativa di tutte le funzioni.

    Se vuoi conoscere il valore esatto del minimo per la funzione considerata devi per forza usare la derivata prima.

    Se invece vuoi rinunciare a certi strumenti analitici, non puoi avere la pretesa di avere informazioni precise. Poi posso sempre sbagliarmi, ed esistono centinaia di modi per determinare il minimo di qualsiasi funzione senza ricorrere alle derivate. Ma posso asserire con certezza che per trovare i minimi di qualsiasi funzione non esiste metodo più semplice e veloce delle derivate.

    In sintesi: tutto si gioca sul termine qualsiasi. Per una qualche specifica funzione trovare l'esatto valore del minimo senza studiarne la monotonia (ovvero: senza calolare le derivate) è possibile. Un esempio?

    f(x)=|x|

    ma, nel 99,99% dei casi, tra cui ricade la funzione da te proposta, non puoi rinunciare alla derivata prima.

    Risposta di Omega
  • Ho capito. Spiagazione esaustiva come sempre! 

    Risposta di giacomo22
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi