Altre forme della disuguaglianza triangolare

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Conosco la disuguaglianza triangolare e volevo chiedervi se c'è qualche forma alternativa o che deriva dalla disuguaglianza triangolare stessa:

|x+y| ≤ |x|+|y|

Mi chiedevo se ci fosse una disuguaglianza che avesse a che fare con la differenza dei moduli, ripensando al fatto che in un triangolo la differenza di due lati è sempre minore del terzo. In rete non ho trovato nulla per ora.

Grazie mille!

Domanda di daniele_1

 
Soluzioni

  • Ciao Daniele_1, arrivo a risponderti!

    Risposta di Omega

  • Certo che c'è :)

    Potrebbe interessarti la seguente:

    |a-b| ≥ ||a|-|b||.

    Vediamone la dimostrazione: scriviamo, usando due volte la disuguaglianza triangolare

    |a+b+a-b| ≤ |a+b|+|a-b| ≤ |a|+|b|+|a-b|

    D'altra parte riscrivendo soltanto il primo membro e prendendo l'estremo destro della catena

    |2a| ≤ |a|+|b|+|a-b|

    cioè

    2|a|-|a|-|b| ≤ |a-b|

    cioè

    ♣ |a|-|b| ≤ |a-b|

    Il ragionamento lo puoi ripetere pari pari con

    |a+b+b-a| ≤ |a+b|+|b-a| ≤ |a|+|b|+|b-a|

    e arrivi a

    |2b| ≤ |a|+|b|+|b-a|

    cioè

    |b|-|a| ≤ |b-a|

    D'altra parte

    |b-a| = |a-b|

    e moltiplicando la disequazione per (-1)

    ♣♣ |a|-|b| ≥ -|a-b|

    Mettiamo i due risultati insieme e troviamo, condensandole in un'unica disequazione

    ||a|-|b|| ≤ |a-b|

     

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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