Capire la classe di appartenenza di una funzione?

Partiamo dalla definizione rigorosa: una funzione f:A→R è di classe C^k su un insieme aperto A in R se è derivabile k volte con continuità sull'insieme A.

In parole povere devono esistere le derivate fino all'ordine k-esimo e le sue derivate prima, seconda, terza e così via fino a quella di ordine k-esimo sono tutte funzioni continue.

Ad esempio una funzione di classe C¹(A) è una funzione derivabile su A con derivata prima continua su A.

In particolare una funzione appartenente alla classe C^∞(A) si dice funzione liscia, ed è una funzione derivabile infinite volte su A con tutte le derivate continue su A.

Un'altra classe speciale è quella delle funzioni C⁰(A), cioè delle funzioni continue su A.

Capirai subito che non c'è un metodo assoluto per capire a quale classe appartenga una funzione. Puoi pensare, come diceva la tua professoressa, a delle classi di funzioni, ad esempio e^x è C^∞. Così come i polinomi. 

Un esempio di funzione C⁰(R) ma non C¹(R) è il valore assoluto di x, , infatti non è una funzione derivabile in 0! Questo esempio ti insegna come stabilire immediatamente se una funzione è C⁰: se nel suo dominio esistono dei punti dove non è derivabile, allora non può certo essere di classe C¹, quindi sarà di classe C⁰.

Comunque sia non pensare che, "nella pratica", capiti spesso di avere a che fare con funzioni C^k con k diverso da 0 o ∞.

Facciamo qualche altro esempio:

la funzione

è di classe C^k per p compreso tra k e k+1, quindi, ad esempio

è di classe C³ ma non di classe C⁴. Per provarlo devi calcolare esplicitamente le sue derivate.

La morale quindi è che non c'è un metodo, per comprendere a quale classe appartiene una funzione devi calcolarne le derivate e vedere se sono continue e a loro volta derivabili!