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  • Perfetto, ti rispondo ora

    Risposta di Alpha
  • Partiamo dalla definizione rigorosa: una funzione f:A→R è di classe Ck su un insieme aperto A in R se è derivabile k volte con continuità sull'insieme A.

    In parole povere devono esistere le derivate fino all'ordine k-esimo e le sue derivate prima, seconda, terza e così via fino a quella di ordine k-esimo sono tutte funzioni continue.

    Ad esempio una funzione di classe C1(A) è una funzione derivabile su A con derivata prima continua su A.

    In particolare una funzione appartenente alla classe C(A) si dice funzione liscia, ed è una funzione derivabile infinite volte su A con tutte le derivate continue su A.

    Un'altra classe speciale è quella delle funzioni C0(A), cioè delle funzioni continue su A.

     

    Capirai subito che non c'è un metodo assoluto per capire a quale classe appartenga una funzione. Puoi pensare, come diceva la tua professoressa, a delle classi di funzioni, ad esempio ex è C. Così come i polinomi. 

    Un esempio di funzione C0(R) ma non C1(R) è il valore assoluto di xf(x)=|x|, infatti non è una funzione derivabile in 0! Questo esempio ti insegna come stabilire immediatamente se una funzione è C0: se nel suo dominio esistono dei punti dove non è derivabile, allora non può certo essere di classe C1, quindi sarà di classe C0.

    Comunque sia non pensare che, "nella pratica", capiti spesso di avere a che fare con funzioni Ck con k diverso da 0 o ∞.

    Facciamo qualche altro esempio:

    la funzione

    |x|^{p}

    è di classe Ck per p compreso tra k e k+1, quindi, ad esempio

    y=|x|^{\frac{7}{2}}

    è di classe C3 ma non di classe C4. Per provarlo devi calcolare esplicitamente le sue derivate.

    La morale quindi è che non c'è un metodo, per comprendere a quale classe appartiene una funzione devi calcolarne le derivate e vedere se sono continue e a loro volta derivabili!

    Risposta di Alpha
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