Svolgimento di un'equazione esponenziale in base 3

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Mi è capitato un esercizio in cui mi si chiede di calcolare le soluzioni di un'equazione esponenziale in cui compaiono diverse potenze di 3. Ho provato a risolverla utilizzando le proprietà delle potenze per ricondurmi a qualcosa di notevole, senza riuscirci.

 

Risolvere l'equazione esponenziale

 

3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2}=26

 

Grazie.

Domanda di

 
Soluzioni

  • L'equazione esponenziale

    3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2}=26

    è caratterizzata dalla presenza di potenze che condividono la base, 3, ma non l'esponente: così come si presenta, non possiamo fare molto altro. Fortunatamente, ci vengono in soccorso le proprietà delle potenze con cui siamo in grado di ricondurci a una forma elementare.

    Grazie alla proprietà sul prodotto di potenze con la stessa base, letta al contrario, possiamo scrivere le seguenti uguaglianze

    \\ 3^{x+1}=3^{x}\cdot 3^{1}=3\cdot 3^{x} \\ \\ 3^{x+2}=3^{x}\cdot 3^{2}= 9\cdot 3^{x}

    mediante le quali l'equazione data si riscrive nella forma equivalente

    3^{x}+3\cdot 3^{x}+9\cdot 3^{x}=26

    Non ci resta che sommare tra loro i termini simili al primo membro

    \\ (1+3+9)\cdot 3^{x}=26 \\ \\ 13\cdot 3^{x}=26

    e isolare 3^{x} dividendo a destra e a sinistra per 13

    3^{x}=\frac{26}{13}\ \ \ \to \ \ \ 3^{x}=2

    Applichiamo il logaritmo in base 3 a entrambi i membri per concludere che la soluzione dell'equazione è:

    x=\log_{3}(2)

    Osservazione: grazie alla formula del cambiamento di base per i logaritmi, possiamo esprimere il risultato in termini di logaritmi in base 10, ossia nella forma

    x=\frac{\mbox{Log}(3)}{\mbox{Log}(2)}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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