esercizio relazione di equivalenza e d'ordine(correzione)

Sia S{1,-1,2}, denotata con R la relazione di equivalenza così definita in SxS:

(a,b)R(c,d) a-b=c-d

1)  si descriva l insieme quiziente SxS/R determinando il numero delle classi distinte ed i loro elementi

 

2)considerata in SxS la seguente relazione:

(a,b)R(c,d) (a,b)=(c,d) oppure  a-b

verifica se è una relazione d ordine,se è totale e determina min ,massimo elementi minimali e massimali

 

1){1}={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),(n,n-1)}

{-1}={(-1,0),(-2,1),(-3,2),(-n,-n-1)}

{2}={(2,0),(3,1),(4,2),(5,3),(n,n-2)}

è giusto?

 

2) è riflessiva,asimmetrica e transitiva.

per dimostrare che non è totale ho preso 2 coppie€ SxS

(1,2) e (2,2)      (1,2)≠(2,2) e 1-2≠2-2  è corretto?

 

 

In Uni - Algebra - Domanda di Giulialg88

Soluzioni

  • ho dimenticato: min(-1,-1) max(2,2) elementi minimali e massimali..??? 

    Risposta di Giulialg88

  • Ciao Giulialg88, il tempo di scrivere la risposta...

    Risposta di Omega

  • Cominciamo con 1).

    Attenzione che la relazione R è definita nel prodotto cartesiano SxS, quindi le classi di equivalenza le devi prendere di elementi del prodotto cartesiano.

    Ad esempio:

    [(1,1)]_R

    poi non capisco perchè tu abbia preso coppie formate da elementi non di S, nel senso che

    S\mbox{x}S=\{(1,1),(1,-1),(1,2),(-1,1),(-1,-1),(-1,2),(2,1),(2,-1),(2,2)\}

    Risposta di Omega

  • allora...

    [(1,1)]={(1,1),(-1,-1),(2,2)}

    [(1,-1)] ha come elemento solo se stesso

    [(1,2)]  "

    [(-1,1)] "

    [-1,2)] "

    [(2,1)] "

    [(2,-1)]"

    ????

    Risposta di Giulialg88

  • Corretto!

    Per il 2), non si legge bene la definizione della relazione, manca qualcosa dopo a-b...

    Risposta di Omega

  • a-b=c-d

    Risposta di Giulialg88

  • Sicura che sia antisimmetrica? Prova a prendere

    (1,1)\mbox{ e }(2,2)

    che sono in relazione tra loro, infatti

    1-1=0=2-2

    e quindi

    (1,1)R(2,2)\mbox{ e }(2,2)R(1,1)

    non implica

    (1,1)=(2,2).

    Risposta di Omega

  • si perchè nella relazione sta scritto (a,b)=(c,d) OPPURE  a-b=c-d

    Risposta di Giulialg88

  • Si, ma noi parliamo di antisimmetria. Una relazione è antisimmetrica, per definizione, se supponendo

    pippo R pluto   E    pluto R pippo

    ne consegue che

    pippo=pluto.

    Nel nostro caso l'ipotesi sussiste

    (1,1)R(2,2)   E   (2,2)R(1,1)

    infatti, rispettivamente, vale la seconda condizione che definisce la relazione

    1-1=2-2 da una parte, 2-2=1-1 dall'altra

    quindi sussiste l'ipotesi richiesta per la verifica dell'antisimmetria, ma essa non implica

    (1,1)=(2,2).

    Risposta di Omega

  • scusami era a-b

    Risposta di Giulialg88

  • nn mi fa scrivereeeee...

    a-b

    <

    c-d

    (mi toglie quello che scrivo =S )

    Risposta di Giulialg88

  • Ok, mistero risolto. Laughing C'è un simbolo di disuguaglianza in mezzo...

    Potrebbe essere un problema del tuo browser, scrivilo a parole.

    Risposta di Omega

  • quindi ècorretto coome ho detto io?

    Risposta di Giulialg88

  • In tal caso la relazione è una relazione d'ordine e non è totale, come hai giustamente osservato.

    Il minimo della relazione è l'elemento (-1,1), mentre il massimo è (2,-1).

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • perchè minimo e massimo sono quelli che tu hai scritto?

    il più piccolo elemento non è (-1,-1)? il più grande non è (2,2)?

    Risposta di Giulialg88

  • Perché se prendi (-1,-1) avrai in particolare -1-(-1)=0, mentre con (-1,1) ottieni -1-1=-2.

    Ragiona in modo analogo con (2,2) e con (2,-1).

    Risposta di Omega
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