Soluzioni
  • Ciao Whitecell, arrivo a risponderti, ma ti chiedo di chiudere la domanda precedente che è rimasta aperta, cliccando su "accetta risposta"...Grazie!

    Risposta di Omega
  • a ok scusami, mi sono dimenticato

     

    Risposta di WhiteCell
  • [Sugg.: per il coniugato di z, prova con il comando \overline{z} ]

    Qui credo che possa essere di grande aiuto passare alla forma esponenziale dei numeri complessi

    z=\rho e^{i\theta}

    infatti in questo modo risulta

    \overline{z}=\rho e^{-i\theta}

    e

    |z|=\rho.

    Purtroppo è vero: capita spesso che un esercizio svolto in aula si trasformi in "metodo spiegato rigorosamente e acquisito dagli studenti"...

    Personalmente ho sempre preferito l'impostazione "questo tipo di esercizio si fà secondo questo schema", oppure "quando l'equazione ha queste caratteristiche, fate così..." piuttosto del mero "Esercizio 1: svoglimento specifico; Esercizio 2: svolgimento specifico; Esercizio 3: svolgimento specifico" seguito dal deduzionismo empirico. 

    A noi piace molto un'impostazione come questa qui.

    Fammi sapere se riesci a risolvere l'equazione Wink se no procediamo insieme.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ti ringrazio, effettivamente riscontro questo problema più che non i numeri complessi che in altri argomenti, per esempio con i limiti, mi destreggio bene.

    Tornando a noi, dammi qualche suggerimento in più, così provo a risolverla da solo; cosa devo fare ora che sono in forma esponenziale? confronto moduli e argomenti a sistema giusto? ma in che modo dato che ho una somma al primo membro e 1 al secondo?

    Risposta di WhiteCell
  • Da lì puoi passare alla forma trigonometrica velocemente, e passare poi al sistema di due equazioni riferite a parte reale e parte immaginaria, con variabili il modulo e l'argomento.

    Resto a disposizione.

    Risposta di Omega
  • non ho capito come si fa, possiamo farlo insieme (cioè tu io non sono in grado XD)

    Risposta di WhiteCell
  • Ma certo che possiamo! Laughing Il tempo di scrivere la risposta...

    Risposta di Omega
  • Siamo arrivati qui:

    \rho^2e^{i2\theta}-\rho^2e^{-i\theta}=1

    passiamo alla forma trigonometrica

    \rho^2[\cos{(2\theta)})-i\sin{(2\theta)}]-\rho^{2}[\cos{(\theta)}-i\sin{(\theta)}]=1

    da qui passiamo direttamente al sistema

    \rho^2\cos{(2\theta)}-\rho^2\cos{(\theta)}=1

    -\rho^2\sin{(2\theta)}+\rho^2\sin{(\theta)}=0

    prendiamo la seconda equazione, che ci dà varie possibili soluzioni (dopo raccoglimenti vari):

    \rho^2=0   la prima equazione ci dice che non è accettabile

    \sin{(\theta)}=0\rightarrow \theta=k\pi\mbox{ con }k\in\mathbb{Z}

    \cos{(\theta)}=\frac{1}{2}\rightarrow\theta=\frac{\pi}{3}+2k\pi\mbox{, }\theta=-\frac{\pi}{3}+2k\pi

    Anche quest'ultima equazione sul coseno ci porta, per sostituzione nella prima equazione, ad avere valori non accettabili (troverai che il quadrato del modulo è uguale ad un numero negativo). Rimane solo l'equazione del seno, la cui soluzione sostituita nella prima equazione ci fornisce

    \rho^2\cos{(2k\pi)}-\rho^2\cos{(k\pi)}=1

    affinché sia risolubile dobbiamo prendere solamente i k dispari (vale a dire 2k+1), per cui troviamo

    \rho=\frac{1}{\sqrt{2}}

    e quindi tornando alla forma algebrica di z

    z=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos{((2k+1)\pi)})+i\sin{((2k+1)\pi)})=-\frac{1}{\sqrt{2}}

    Così è più chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok chiarissimo, grazie mille, quindi come schema logico faccio così

    -forma esponenziale (laddove altre non mi aiutino)

    -metto a confronto i coseni e i seni a sistema

    -e risolvo

     

    giusto?

    Risposta di WhiteCell
  • Esatto:

    - Forma esponenziale.

    --Se c'è uno spiraglio per una risoluzione immediata: risolvo. STOP. Laughing

    --Se la fine del tunnel è lontana Sealed Forma trigonometrica. Undecided

    ---Se c'è uno spiraglio per una risoluzione immediata: risolvo. STOP. Laughing

    ---Se la fine del tunnel è lontana Surprised Confronto tra parti reali e parti immaginarie. Undecided

    ----Risoluzione del sistema. Ho trovato le soluzioni. STOP. Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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