Dirichlet, Lyapunov e piccole oscillazioni

Iniziamo introducendo la stabilità secondo Lyapunov:

Un punto x_s si dice stabile secondo Lyapunov se per ogni intorno U di x_s si ha che esiste V contenuto in U, a sua volta intorno di x_s, tale che le traiettorie che partono da punti interni a V sono contenute in U per ogni tempo t (positivo).

Un punto è asintoticamente stabile se

Per determinare la stabilità di Lyapunov di un punto necessitiamo delle funzioni di Lyapunov:

Una funzione V di classe C¹(U) con x_s in U si dice funzione di Lyapunov se

Teorema di stabilità di Lyapunov:

Se x_s possiede in un intorno U una funzione di Lyapunov, allora è stabile. Se esiste U contenuto in V intorno di x_s tale che

Allora il punto x_s è asintoticamente stabile.

La stabilità secondo Dirichlet è espressa dal seguente teorema:

Teorema di Dirichlet:

Se l'energia potenziale è minima in una configurazione, ivi l'equilibrio è stabile. In termini di potenziale, l'equilibrio è stabile se la posizione corrisponde a un massimo.

In sostanza una configurazione di equilibrio è stabile se in essa il potenziale U ha un massimo
locale in senso stretto (ovvero se l’energia potenziale V = −U ha un minimo locale in senso
stretto).

Dunque scegliendo come funzione di Lyapunov proprio la funzione potenziale non dovrebbero esserci differenze. Dunque il criterio di stabilità di Lyapunov è più generale di quello di Dirichlet.

Oltre a questo non saprei dirti, se vedendo le due teorie spiegate di seguito ti venisse in mente qualche richiesta più specifica, chiedi pure.