Soluzioni
  • Ti rispondo tra poco Valentina

    Risposta di Alpha
  • Iniziamo introducendo la stabilità secondo Lyapunov:

    Un punto xs si dice stabile secondo Lyapunov se per ogni intorno U di xs si ha che esiste V contenuto in U, a sua volta intorno di xs, tale che le traiettorie che partono da punti interni a V sono contenute in U per ogni tempo t (positivo).

     

    Un punto è asintoticamente stabile se

     

    \lim_{t\to +\infty}x(t)=x_s

     

    Per determinare la stabilità di Lyapunov di un punto necessitiamo delle funzioni di Lyapunov:

    Una funzione V di classe C1(U) con xs in U si dice funzione di Lyapunov se

    \dot{V}\leq 0

    V(x_s)=0 \wedge V(x)>0\forall x\in U\setminus\{x_s\}

     

    Teorema di stabilità di Lyapunov:

    Se xs possiede in un intorno U una funzione di Lyapunov, allora è stabile. Se esiste U contenuto in V intorno di xs tale che

    \dot{V}< 0\forall x\in U\setminus\{x_s\}

    Allora il punto xs è asintoticamente stabile.

     

    La stabilità secondo Dirichlet è espressa dal seguente teorema:

     

    Teorema di Dirichlet:

    Se l'energia potenziale è minima in una configurazione, ivi l'equilibrio è stabile. In termini di potenziale, l'equilibrio è stabile se la posizione corrisponde a un massimo.

    In sostanza una configurazione di equilibrio è stabile se in essa il potenziale U ha un massimo
    locale in senso stretto (ovvero se l’energia potenziale V = −U ha un minimo locale in senso
    stretto).

     

    Dunque scegliendo come funzione di Lyapunov proprio la funzione potenziale non dovrebbero esserci differenze. Dunque il criterio di stabilità di Lyapunov è più generale di quello di Dirichlet.

    Oltre a questo non saprei dirti, se vedendo le due teorie spiegate di seguito ti venisse in mente qualche richiesta più specifica, chiedi pure.

     

    Risposta di Alpha
 
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